胡 楓

(安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

在自然科學(xué)與工程計(jì)算中經(jīng)常會(huì)需要采集大量無規(guī)則的數(shù)據(jù)和遇見帶有極點(diǎn)的奇異函數(shù)的計(jì)算問題,前人在這方面做出了大量的貢獻(xiàn)[1-16]。朱功勤針對(duì)對(duì)角數(shù)據(jù)基于倒差商給出了一種逐步有理插值算法。在2016年,錢江基于逆差商提出了二元非張量積型連分式插值來處理散亂數(shù)據(jù)插值問題。本文研究散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值,將原有節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值乘以一個(gè)確定的數(shù),變成無預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值,最后除以帶有極點(diǎn)信息的函數(shù)得到散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值函數(shù),該方法具有預(yù)給極點(diǎn)的位置并且保持原來每個(gè)極點(diǎn)的重?cái)?shù),數(shù)值例子也給出了上述兩類插值算法之間的相對(duì)誤差比較。

1 二元對(duì)角逐步有理插值

設(shè)Dn={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}是R2中n+1個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集,當(dāng)i≠j時(shí),xi≠xj,yi≠yj。對(duì)應(yīng)函數(shù)值z(mì)i=f(xi,yi),i=0,1,…,n構(gòu)造二元有理插值函數(shù)R(x,y)=p(x,y)/q(x,y),其中p(x,y)和q(x,y)是關(guān)于x,y的多項(xiàng)式,滿足插值條件

R(xi,yi)=f(xi,yi),(xi,yi)∈Dn。

將已知數(shù)據(jù)按下列對(duì)角形式排列如表1所示。

表1 對(duì)角形式的散亂數(shù)據(jù)

給出倒差商算法

(1)

可以導(dǎo)出散亂數(shù)據(jù)對(duì)角排列如表2所示。

表2 導(dǎo)出的散亂數(shù)據(jù)對(duì)角排列

下面定義序列

(2)

l=1,2,…,n。

2 二元非張量積型連分式插值

給定既不在水平線上,也不在垂直線上n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)Dn={(xi,yi),i=0,1,…,n},通過二元非張量積型逆差商的遞推算法來求解系數(shù),定義了二元連分式插值如下：

(3)

其中插值系數(shù)滿足ci=φ0,…,i=φ[x0,…,xi;y0,…,yi],i=0,1,…,n。

具體系數(shù)算法如下

φi=φ[xi;yi]=f(xi,yi)=fi,i=0,1,…,n,

φ0,1,i=φ[x0,x1,xi;y0,y1,yi]

φ0,1,2,i=φ[x0,x1,x2,xi;y0,y1,y2,yi]

…

φ0,…,n=φ[x0,…,xn;y0,…,yn]

3 散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值

(4)

其中(xi,yi)是對(duì)應(yīng)分量互不相同的插值節(jié)點(diǎn),通過上述兩類插值算法構(gòu)造無預(yù)給極點(diǎn)的散亂數(shù)據(jù)二元有理插值

G(x,y)=d(x,y)R(x,y),

滿足

G(xi,yi)=d(xi,yi)f(xi,yi),i=0,1,…,n。

(5)

進(jìn)而得到散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值函數(shù)

(6)

4 數(shù)值實(shí)例

例1 對(duì)于給定函數(shù)

選取9個(gè)插值節(jié)點(diǎn)

雖然《中圖法》明確規(guī)定：當(dāng)遇有國籍改變的作家時(shí)，應(yīng)以作品發(fā)表時(shí)作者的國籍（國家）作為分類的依據(jù)；國籍不明，無從考察者，宜參考作品內(nèi)容分入相應(yīng)國家的文學(xué)類目。國籍不明的文學(xué)作品按內(nèi)容涉及的國家、地區(qū)歸類，也是基于作品所呈現(xiàn)的國家或民族意識(shí)因素考慮的。但在分類標(biāo)引實(shí)踐中仍存在許多做法和觀點(diǎn)不同于《中圖法》的規(guī)定，歸納起來主要有兩種。

如圖1所示。

圖1 散亂數(shù)據(jù)D8

對(duì)應(yīng)函數(shù)值

z0=0.07692308,z1=0.25279074,z2=0.74365637,z3=0.23686735,

z4=0.21069099,z5=0.31425685,z6=0.27088253,z7=0.14437886,z8=0.43275472。

顯然由上可知

d(x,y)=(x-3)2+(y-2)2,

依據(jù)二元對(duì)角逐步有理插值算法構(gòu)造關(guān)于散亂數(shù)據(jù)無預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值

其中

p8(x,y)=-2.48739910xy+8.42934257x4y4-15.95166282x4y3-14.65454045x3y4+10.057583

05x4y2+7.32833591x2y4-2.01249725x4y-1.01736052xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+17.67542827x3y3-7.82721866x3y2-0.80752730

x2y3+1.64619713x3y-2.89956393xy3-5.3627

2427x2y2+1.91453289x2y+5.55058918xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

q8(x,y)=-2.18689442xy+x4y4-1.5x4y3-2x3y4+0.765625x4y2+1.390625x2y4-0.15234375x4y-0.40234375xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+0.48938517x3y3+1.05770807x3

y2+1.80450143x2y3-0.19301445x3y-1.535516

81xy3-4.36064226x2y2+1.83347089x2y+3.83740901xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

由式(6)得到

同時(shí)根據(jù)上文中的二元非張量積型連分式插值

同理可以得出

兩類插值算法的相對(duì)誤差部分曲面圖像如圖2和圖3所示。

圖2 逐步對(duì)角插值相對(duì)誤差的部分曲面

圖3 二元非張量積型連分式插值相對(duì)誤差的部分曲面

從上可以得出對(duì)于處理散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值問題,二元非張量積型連分式插值相對(duì)誤差更小,逼近效果要比逐步對(duì)角有理插值更好,同時(shí)保有預(yù)給極點(diǎn)的位置和保持原有的重?cái)?shù)。

5 總結(jié)

文章中研究散亂數(shù)據(jù)預(yù)給極點(diǎn)的二元有理插值,每個(gè)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值乘上一個(gè)確定的數(shù),分別通過基于逆差商的二元非張量積型連分式插值和基于倒差商的對(duì)角逐步有理插值算法構(gòu)造無預(yù)給極點(diǎn)的二元散亂數(shù)據(jù)有理插值,最后除以帶有極點(diǎn)信息的函數(shù)得到預(yù)給極點(diǎn)的散亂數(shù)據(jù)二元有理插值,經(jīng)過兩類插值算法的相對(duì)誤差比較,非張量積型二元散亂數(shù)據(jù)有理插值函數(shù)相對(duì)誤差更小,同時(shí)也保有極點(diǎn)的位置和原來的重?cái)?shù),數(shù)值例子也很好的說明了該算法的有效性。