王本強,趙前進

(安徽理工大學數學與大數據學院,安徽 淮南 232001)

引言

近年來,對于多變量散亂數據插值的研究,逐漸成為研究的熱門領域[1]。由于很多傳統(tǒng)的單變量理論不能直接推廣到多變量理論,因此新的方法仍在不斷探索。例如Buhmann提出的徑向基函數理論[2],王仁宏給出的基于平滑輔因子方法的多變量樣條[3],用于構造樣條準插值[4-7]以及有理逼近[8-10]等。

Cuyt和Verdonk在1988年構建了Thiele型連分式有理插值的分支[11-12]。2016年,錢江提出了散亂數據的連分式插值[13]。通過構造二元連分式插值,結果是可行有效的,但其難以避免極點的出現和控制極點的位置。本文研究散亂數據的重心有理插值,通過選取特殊的權函數,構造出了無極點的重心有理插值。

對于給定的一元函數f:[a,b]→R,a=x0

同時,Berrut選取函數[15]

wi=(-1)i,i=0,…,n,

構造出了無實極點的重心有理插值。

1 散亂數據的重心有理插值新方法

對于任意n+1個點(xi,yi),i=0,…,n,其對應的值為f(xi,yi),重心形式的有理插值公式可表示為：

選取

則

定理1 r(x,y)滿足插值條件并且無極點。

對任意的插值節(jié)點(xk,yk),

=fk.

證畢。

2 數值例子

圖1 插值節(jié)點圖

對其做散亂數據重心有理插值,得到函數圖像如圖2和圖3所示。

圖2 f1(x,y)在[0,1]∪[0,1]內的插值圖像

圖3 f1(x,y)在[0,1]∪[0,1]內的插值誤差圖

圖4 插值節(jié)點圖

對其做散亂數據重心有理插值,得到函數圖像如圖5和圖6所示。

圖5 f2(x,y)在[0,1]∪[0,1]內的插值圖像

圖6 f2(x,y)在[0,1]∪[0,1]內的插值誤差圖

根據以上兩個例子可以看出插值函數在插值節(jié)點較多的區(qū)域誤差較小,而在插值節(jié)點較少的區(qū)域誤差相比較為增大,同時插值函數保證無極點。

3 結論

本文研究二元散亂數據重心有理插值,通過選取特殊的權函數,構造出二元散亂數據重心有理插值。對比散亂數據連分式插值,其優(yōu)點在于避免了極點的出現。給出的數值例子驗證了新方法的可行性和有效性。