張 寧

(閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程學(xué)院,福州 350108)

MEMS陀螺在低成本慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中已經(jīng)得到了較為普及的應(yīng)用。但MEMS陀螺的隨機(jī)漂移誤差具有典型的非平穩(wěn)性、弱非線性特征,這將直接影響陀螺的精度。為此,需要對(duì)MEMS陀螺的隨機(jī)漂移誤差進(jìn)行去除噪聲處理,以提高陀螺使用精度。目前,對(duì)MEMS陀螺隨機(jī)漂移信號(hào)進(jìn)行去噪,其常用的處理方法是Kalman濾波法和小波分析方法。但Kalman濾波法會(huì)存在由于誤差模型建立不準(zhǔn)確而導(dǎo)致出現(xiàn)濾波發(fā)散的現(xiàn)象[1];小波分析法在MEMS陀螺信號(hào)去噪中已經(jīng)取得了較多的成功應(yīng)用[2-4],但小波分析方法并不是一種自適應(yīng)濾波去噪方法,需提前設(shè)置小波基和分解級(jí)數(shù),而這些設(shè)置對(duì)去噪的效果影響較大。

近年來(lái),經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD(Empirical Mode Decomposition)[5]方法在濾波去噪領(lǐng)域被研究的較為廣泛[6-7],這是一種可以對(duì)非線性、非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解的信號(hào)處理方法。但該方法存在有較為嚴(yán)重的模態(tài)混疊問(wèn)題。為此,Wu等人提出通過(guò)對(duì)原始信號(hào)加入不同高斯白噪聲,提出了一種集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EEMD(Ensemble Empirical Mode Decomposition)方法,可以有效減弱EMD方法中存在的模態(tài)混疊現(xiàn)象[8]。但是EEMD方法分解后的信號(hào)包含有殘余噪聲[9],在重構(gòu)原始信號(hào)時(shí)將產(chǎn)生有較大的誤差,并不具有完備性。在EEMD的理論基礎(chǔ)上,Torres等提出了完備集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解CEEMD(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition)方法[10],該方法通過(guò)對(duì)每一階分解后的分量添加自適應(yīng)的白噪聲信號(hào),并計(jì)算唯一的殘差信號(hào)以獲取固有模態(tài)函數(shù)IMF(Instrinsic Mode Function)。CEEMD方法不僅可以大大減輕模態(tài)混疊現(xiàn)象,而且可以精確重構(gòu)原始信號(hào)[11]。

本文將CEEMD閾值濾波方法應(yīng)用于MEMS陀螺信號(hào)去噪中來(lái)。通過(guò)CEEMD可以對(duì)原有隨機(jī)漂移信號(hào)進(jìn)行完備有效的分解,并利用相關(guān)系數(shù)原理準(zhǔn)確判定噪聲分量與有用分量的界限。在此基礎(chǔ)上,考慮到高頻噪聲分量可能也包含有效成分,為此借鑒小波分析中的軟閾值處理方式和EMD方法中的閾值計(jì)算模型,對(duì)含噪聲高頻分量采用閾值濾波去噪,并進(jìn)而將其與有用分量相結(jié)合進(jìn)行信號(hào)重構(gòu),以獲得去噪后的隨機(jī)漂移信號(hào)。通過(guò)對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)際漂移信號(hào)進(jìn)行分析,其結(jié)果表明本文所提出的方法可以有效抑制陀螺信號(hào)噪聲,并取得良好的去噪效果。

1 理論背景分析

1.1 EEMD的基本原理

EEMD方法本質(zhì)上是一種附加高斯白噪聲的多次EMD分解的平均結(jié)果。其算法流程為:

①對(duì)原始信號(hào)x(t)多次添加均值為0,幅值標(biāo)準(zhǔn)差為一常數(shù)的白噪聲ni(t),i=1…N,有:

xi(t)=x(t)+ni(t)

(1)

②對(duì)附加噪聲信號(hào)xi(t)進(jìn)行EMD分解,得到j(luò)個(gè)IMF分量和一個(gè)殘余分量,記為IMFij(t)與ri(t)。

③對(duì)經(jīng)歷N次分解的每一個(gè)IMF進(jìn)行總體平均計(jì)算,以得到最終分解結(jié)果,即為:

(2)

1.2 CEEMD的基本原理

①對(duì)原始信號(hào)x(t)添加不同的高斯白噪聲ωi(t),則原始信號(hào)變?yōu)閤(t)+ε0ωi(t),其中ε0為噪聲系數(shù)。使用EMD方法進(jìn)行I次分解,對(duì)其進(jìn)行總體平均可得到第1個(gè)IMF分量為:

(3)

則第1個(gè)殘余分量為:

r1(t)=x(t)-IMF1(t)

(4)

②定義算子Ej(·)為信號(hào)通過(guò)EMD分解后得到的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)。對(duì)信號(hào)r1(t)+ε1E1(ωi(t))繼續(xù)進(jìn)行I次分解,可得到第2個(gè)IMF分量為:

(5)

③對(duì)于k=2,…,K,計(jì)算k階殘余分量為:

rk(t)=rk-1(t)-IMFk(t)

(6)

④提取信號(hào)rk(t)+εkEk[ωi(t)]的第1個(gè)IMF分量,定義k+1個(gè)模態(tài)函數(shù)分量為:

(7)

⑤重復(fù)執(zhí)行步驟③和步驟④,直到殘余信號(hào)不可再繼續(xù)被分解為止,最終可得到K個(gè)模態(tài)函數(shù)分量,其最終殘差分量為:

(8)

由上式原始信號(hào)x(t)可以被表示為:

(9)

從上述CEEMD方法的原理可以看出,CEEMD充分利用了EEMD噪聲輔助分析的特點(diǎn),并可對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行精確完整的重構(gòu)。

2 CEEMD閾值濾波去噪模型

2.1 利用相關(guān)系數(shù)原理確定噪聲層數(shù)

采用CEEMD方法對(duì)陀螺隨機(jī)漂移信號(hào)進(jìn)行有效分解后,為了對(duì)原信號(hào)進(jìn)行去噪處理,關(guān)鍵在于要準(zhǔn)確確定分解后的噪聲分量和有用分量之間的界限。目前判定噪聲層數(shù)常用的方法有排列熵[12]、Shannon熵[13]等,而在本文中將采用分解后的各個(gè)IMF分量與原始信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)來(lái)進(jìn)行確定。相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為[14]:

(10)

式中:L為信號(hào)長(zhǎng)度,ρ(i)代表第i個(gè)IMF分量與原始信號(hào)x(t)之間的相關(guān)系數(shù)。

在計(jì)算出各個(gè)IMF分量的相關(guān)系數(shù)后,可以繪制出相關(guān)系數(shù)曲線圖。經(jīng)過(guò)作者對(duì)大量加噪仿真信號(hào)分解后分量進(jìn)行計(jì)算的統(tǒng)計(jì)分析,得到相關(guān)系數(shù)與噪聲層數(shù)之間存在一定的變化規(guī)律為:

①當(dāng)含噪信號(hào)x(t)信噪比非常大時(shí),第一階IMF 處相關(guān)系數(shù)較小,從第二階IMF起相關(guān)系數(shù)會(huì)突然增大,此時(shí)可以認(rèn)為第一階IMF為噪聲分量;

②當(dāng)含噪信號(hào)x(t)信噪比不是非常大時(shí),從第一階IMF到第(m-1)階IMF的相關(guān)系數(shù)數(shù)值會(huì)呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢(shì),直至第m階時(shí)相關(guān)系數(shù)會(huì)逐漸明顯增大?？梢哉J(rèn)為,第(m-1)階前的所有IMF分量都為噪聲分量。

通過(guò)相關(guān)系數(shù)曲線的變化規(guī)律,可以準(zhǔn)確判定噪聲層數(shù)。與排列熵、Shannon熵相比,相關(guān)系數(shù)原理判定噪聲層數(shù)不僅準(zhǔn)確,而且具有簡(jiǎn)易性的特點(diǎn)。

2.2 CEEMD閾值去噪流程

在確定噪聲層數(shù)后,一般的去噪方法是直接將所有噪聲分量置零,將有用分量重構(gòu)即可獲得去噪后的信號(hào)。在本文中,考慮到CEEMD方法由于借助了噪聲輔助分析手段,分解后的高頻噪聲信號(hào)中可能還包含有效成分,為此借鑒小波軟閾值的處理方式和EMD閾值的設(shè)置方法,對(duì)高頻噪聲分量進(jìn)行閾值濾波處理,對(duì)其濾波后的分量與有用分量進(jìn)行重構(gòu)以達(dá)到信號(hào)去噪的目的。其具體去噪流程如下:

①對(duì)原始信號(hào)x(t)使用CEEMD進(jìn)行分解,分解后得到K個(gè)固有模態(tài)函數(shù)分量IMF和一個(gè)殘差分量R(t);

②使用式(10)計(jì)算各個(gè)IMF分量與x(t)的相關(guān)系數(shù),以確定噪聲層數(shù)為(m-1);

③對(duì)前(m-1)個(gè)IMF噪聲分量使用閾值濾波。閾值處理形式采用軟閾值方式:

(11)

(12)

圖1 仿真信號(hào)及其各組成成分

式中:C為一常數(shù),Ei為第i階IMF對(duì)應(yīng)的能量,其值可以使用下列公式進(jìn)行估計(jì)[17]:

(13)

此處E1為第一階IMF對(duì)應(yīng)的信號(hào)能量,采用如下公式進(jìn)行計(jì)算:

(14)

④將閾值濾波后的噪聲分量與有用分量重構(gòu),獲得去噪后的信號(hào):

(15)

2.3 去噪效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

3 仿真算例分析

考察以下仿真信號(hào):

x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)

(16)

式中:x1(t)=2sin(2π30t+π/2),x2(t)=(t+1)×sin(2π8t+π/3),t=1/1 000∶1/1 000∶2。n(t)是以x1(t)+x2(t)基礎(chǔ)加入的信噪比為5 dB的噪聲信號(hào)。仿真信號(hào)組成如圖1所示。

對(duì)仿真信號(hào)分別采用EMD、EEMD、CEEMD 3種方法進(jìn)行分解,其中EEMD、CEEMD方法中的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差都設(shè)為0.2,總體平均次數(shù)設(shè)為100?？紤]到圖形的顯示效果,對(duì)于每種方法的分解結(jié)果只在圖中列出了前8階IMF,如圖2～圖4所示。

圖2 EMD方法分解結(jié)果(前8個(gè)IMF)

圖3 EEMD方法分解結(jié)果(前8個(gè)IMF)

圖4 CEEMD方法分解結(jié)果(前8個(gè)IMF)

從圖2可以看出,EMD方法分解的第3、4階IMF分量中產(chǎn)生了非常明顯的模態(tài)混疊現(xiàn)象;從圖3、圖4可以看出,EEMD和CEEMD兩種方法的分解結(jié)果較為有效的克服了模態(tài)混疊現(xiàn)象,并可有效的提取出原信號(hào)分量:在圖3中,第4、5階IMF分量分別對(duì)應(yīng)仿真信號(hào)中的x1(t)、x2(t)分量;在圖4中,第5、7階IMF分量分別對(duì)應(yīng)仿真信號(hào)中的x1(t)、x2(t)分量。為了進(jìn)一步說(shuō)明CEEMD方法的優(yōu)越性,對(duì)3種方法分解后的分量加以重構(gòu),并與原始仿真信號(hào)對(duì)比以計(jì)算重構(gòu)誤差,結(jié)果如圖5所示。信號(hào)的重構(gòu)精度以均方根誤差來(lái)評(píng)定,如表1所示。

圖5 3種方法的重構(gòu)誤差

信號(hào)分解方法EMDEEMDCEEMDRMSE3.580 4×10-160.047 43.941 0×10-16

從圖5和表1可以看出,EMD方法和CEEMD方法的重構(gòu)誤差數(shù)量級(jí)為10-15,其重構(gòu)精度達(dá)到10-16,因此可以忽略不計(jì);而EEMD方法在噪聲輔助分析下,雖然能夠消除模態(tài)混疊的影響,但其重構(gòu)誤差較大。顯然對(duì)于這3種自適應(yīng)信號(hào)分解方法,CEEMD方法不僅可以消除模態(tài)混疊現(xiàn)象,而且能完備重構(gòu)信號(hào),因此在信號(hào)分解中具有明顯的優(yōu)越性。

為了使用CEEMD方法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行去噪,計(jì)算其分解后各個(gè)IMF與x(t)的相關(guān)系數(shù),如圖6所示。

圖6 各個(gè)IMF與原始信號(hào)的相關(guān)系數(shù)

從圖6中可以看出,從第1到4階IMF有單調(diào)遞減的趨勢(shì),至第5階IMF相關(guān)系數(shù)明顯變大,可以確定前4階IMF為噪聲分量。為了與本文所提出的CEEMD閾值去噪的效果進(jìn)行對(duì)比,本文還對(duì)仿真信號(hào)分別使用了小波分析、EMD、EEMD、CEEMD方法進(jìn)行去噪處理。其中EMD、EEMD、CEEMD使用的是強(qiáng)制去噪處理,即在判斷出噪聲層數(shù)后,直接舍去噪聲分量進(jìn)行重構(gòu)以獲得去噪后信號(hào);小波分析法使用的是軟閾值處理方式,設(shè)置的小波基函數(shù)和分解級(jí)數(shù)分別為sym3和7。去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比如表2所示。

表2 各種方法的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

從表2中可以看出,CEEMD閾值去噪方法在去噪后其信噪比最大,同時(shí)其均方根誤差最小,表明該去噪方法最優(yōu);而小波分析方法效果最差;CEEMD強(qiáng)制去噪方法的去噪效果也要優(yōu)于EMD、EEMD強(qiáng)制去噪方法。CEEMD閾值去噪方法的結(jié)果如圖7所示,從中可以看出,大量隨機(jī)噪聲能夠被有效去除。

圖7 CEEMD閾值去噪結(jié)果

圖8 MPU6050型陀螺儀

4 MEMS陀螺信號(hào)實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)中采用MPU6050型MEMS陀螺儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,該設(shè)備包括有三軸陀螺儀和三軸加速度計(jì),如圖8所示。

本文以X軸陀螺儀數(shù)據(jù)為例,以100 Hz的采樣頻率采集了一組靜態(tài)數(shù)據(jù),將其作為X軸陀螺儀隨機(jī)漂移序列信號(hào)。截取該序列中的1 024個(gè)數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),如圖9所示。

圖9 陀螺漂移實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用CEEMD方法進(jìn)行分解,并計(jì)算各IMF分量與其實(shí)驗(yàn)漂移信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù),可以發(fā)現(xiàn)從第5階開(kāi)始顯著增大現(xiàn)象,則確定前4階IMF分量為噪聲分量。進(jìn)而使用閾值濾波,其去噪結(jié)果如圖10所示。

圖10 陀螺漂移CEEMD閾值濾波結(jié)果

從圖10可以看出,陀螺漂移信號(hào)噪聲可以得到有效抑制。為了對(duì)比其去噪效果,與仿真信號(hào)算例類似,繼續(xù)使用小波分析、EMD、EEMD、CEEMD 4種方法對(duì)其進(jìn)行去噪。參數(shù)的設(shè)置與上述設(shè)置相同。去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果如表3所示。

從表3可以看出,CEEMD閾值去噪的效果仍然最優(yōu)。幾種方法的去噪效果可以得到與仿真算例一致的結(jié)論。

表3 各種方法對(duì)陀螺漂移信號(hào)的去噪評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

5 結(jié)論

本文充分分析了EMD、EEMD、CEEMD 3種自適應(yīng)信號(hào)分解方法的優(yōu)缺點(diǎn)。通過(guò)借鑒小波閾值處理方式和EMD閾值設(shè)置方法,在利用相關(guān)系數(shù)原理合理確定了分解后噪聲分量與有效分量界限的基礎(chǔ)上,提出了基于CEEMD閾值濾波的MEMS陀螺信號(hào)去噪方法。通過(guò)對(duì)仿真信號(hào)去噪結(jié)果分析可以得到如下結(jié)論:

①CEEMD閾值濾波方法的去噪效果要優(yōu)于CEEMD、EEMD、EMD強(qiáng)制去噪方法和小波分析方法。仿真信號(hào)和實(shí)際數(shù)據(jù)算例結(jié)果充分表明了CEEMD閾值濾波去噪方法在MEMS陀螺漂移信號(hào)去噪中的應(yīng)用具有可行性和有效性。

②盡管本文采用CEEMD閾值濾波方法相對(duì)于強(qiáng)制去噪方法提升了去噪性能,但在實(shí)際MEMS信號(hào)分析中,其提升的幅度并不大?？紤]到本文采用的是軟閾值函數(shù),其在閾值處理過(guò)程中會(huì)造成一定程度的高頻信息損失。為此,進(jìn)一步的研究需要改進(jìn)閾值函數(shù),以更好的提升去噪性能。