劉 覽

（徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221008）

1 引言

給定正常數(shù) T∈(0,∞),設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備的概率空間,(Bt)t≥0是此空間上的d-維布朗運(yùn)動(dòng),(Ft)t≥0是該布朗運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的自然σ域流,即有

其中N是以概率測(cè)度P為可略集組成的子集類(lèi).本文限定在概率空間(Ω,FT,P)中研究問(wèn)題.令 L2(Ω,FT,P)表示 FT-可測(cè)且滿足：=E[|ξ|2]＜+∞ 的實(shí)值隨機(jī)變量 ξ全體.令 s2(0,T；R)表示循序可測(cè)且滿足

的連續(xù)實(shí)值隨機(jī)過(guò)程(Yt)t∈[0,T]全體.令M2(0,T;Rd)表示Rd-值,(Ft)-循序可測(cè)且滿足

的隨機(jī)過(guò)程(Zt)t∈[0,T]全體.

1990年,我國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈與法國(guó)著名數(shù)學(xué)家Pardoux提出了倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)寫(xiě)為BSDE)的非線性形式(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).一維BSDE的一般形式如下:

其中終端時(shí)間T有限;終端條件ξ是FT-可測(cè)的;對(duì)任意的(y,z)∈R×Rd,生成元

是(Ft)-循序可測(cè)的.(g,T,ξ)稱為BSDE的參數(shù).文獻(xiàn)[1]在生成元g關(guān)于y和z一致Lipschitz連續(xù)條件下得到了BSDE的唯一平方可積適應(yīng)解,記為(Yt(g,T,ξ)，Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].如果對(duì)于任意的(t,y)∈[0,T)×R,生成元g還滿足g(t,y,0)≡0,文獻(xiàn)[2]將 Y0(g,T,ξ)定義為隨機(jī)變量 ξ的 g- 期望,記為 εg[ξ].g- 期望實(shí)際上是一種動(dòng)態(tài)的非線性期望,它具有除了線性之外幾乎所有的經(jīng)典數(shù)學(xué)期望所具有的性質(zhì).文獻(xiàn)[3]通過(guò)g-期望和條件g-期望誘導(dǎo)出一種風(fēng)險(xiǎn)度量和一種動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量,將g-期望引入到風(fēng)險(xiǎn)度量領(lǐng)域.現(xiàn)在g-期望理論已經(jīng)被許多學(xué)者所接受并被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、金融、微分幾何等領(lǐng)域.在眾多學(xué)者的努力下,BSDE理論逐步完善,形成了g-概率,g-方差,g-鞅,g-估價(jià)等在內(nèi)的一整套體系,并隨著研究的深入不斷發(fā)展.

很多學(xué)者為了完善g-期望的性質(zhì),研究了諸如H?lder不等式,Jensen不等式以及收斂性等性質(zhì),如[4],[5],[6],[7],[8],[9]和[10]等.文獻(xiàn)[11]另辟?gòu)较?從生成元 g 的角度出發(fā),根據(jù)g的性質(zhì)研究g-期望的性質(zhì),同時(shí)驗(yàn)證了g-期望和生成元g之間存在一些等價(jià)關(guān)系,從而使得g-期望的應(yīng)用更加廣泛.文獻(xiàn)[11]論證了生成元g和g-期望之間很多等價(jià)性質(zhì),如齊次性,次可加性,超可加性,平移不變性等,詳細(xì)研究了g-期望與風(fēng)險(xiǎn)度量之間的關(guān)系并利用g-期望量化金融頭寸的風(fēng)險(xiǎn).目前,對(duì)g-方差的理論研究則剛起步不久,[12]基于經(jīng)典期望的概念定義了g-方差,研究了g-方差的一些基本性質(zhì).之后[13]又定義了g-方協(xié)差的概念,并研究了相關(guān)性質(zhì).

受[11]和[12]的啟發(fā),在本文中我們主要根據(jù)g-期望的基本性質(zhì)研究g-方差和g-協(xié)方差之間的關(guān)系,以及二者和BSDE的生成元g之間的一些等價(jià)關(guān)系.由于g-期望不具有線性性,所以g-方差與g-協(xié)方差之間的關(guān)系并不像經(jīng)典方差和經(jīng)典協(xié)方差之間存在等式關(guān)系.此外,由[11]的結(jié)果可知生成元g的性質(zhì)直接影響g-期望的性質(zhì),因此生成元g的性質(zhì)也會(huì)影響到g-方差和g-協(xié)方差的性質(zhì).

本文結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)主要介紹一些相關(guān)定義和引理；第3節(jié)主要研究g-方差與g-協(xié)方差之間的關(guān)系;第4節(jié)主要研究g-方差,g-協(xié)方差與BSDE生成元g之間的一些等價(jià)關(guān)系.

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于BSDE(1)的生成元g(ω,t,y,z),考慮如下假設(shè)條件:

(A1)生成元g關(guān)于y和z滿足一致Lipschitz條件,即存在常數(shù)k≥0,使得dP×dt-a.s.,對(duì)于任意的 y1,y2∈R,z1,z2∈Rd,有|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤K(|y1-y2|+|z1-z2|)；

(A2)dP×dt-a.s.,對(duì)于任意的 y∈R,g(t,y,0)≡0；

根據(jù)[1]的結(jié)果,我們可以知道如果生成元g滿足假設(shè)(A1)和(A3),那么對(duì)于任意的 ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在空間S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中存在唯一適應(yīng)解(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].此時(shí)需注意,假設(shè)(A2)可以推出假設(shè)(A3).因此,如果生成元g滿足假設(shè)(A1)和(A2),對(duì)于任意的 ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在空間S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中仍存在唯一解.

文獻(xiàn)[2]利用倒向隨機(jī)微分方程理論引出了g-期望的概念并詳細(xì)介紹了其相關(guān)性質(zhì),現(xiàn)歸納如下.

定義1設(shè)生成元g滿足假設(shè)(A1)與(A2),對(duì)于任意的ξ∈L2(Ω,FT,P),BSDE(1)在 S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)中有唯一解(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T].定義 g- 期望 εg[·]L2(Ω,FT,P)→R 如下

下面我們介紹g-期望的相關(guān)性質(zhì).

定理2([2])g-期望有如下基本性質(zhì):

(ⅰ)(保常性):對(duì)于任意常數(shù) c∈R,有 εg[c]:=c;

(ⅱ)(單調(diào)性):如果 X1,X2∈L2(Ω,FT,P),X1≥X2a.s.,則 εg[X1]≥εg[X2].

注3 根據(jù)g-期望的定義,我們可以得到,當(dāng)生成元g≡0 時(shí),εg[·]=E[·].

定理4(平移不變性,[11]) 設(shè)生成元g滿足假設(shè)(A1)和(A2),則如下敘述等價(jià):

(ⅰ)不依賴 y;

(ⅱ)對(duì)于任意 X∈L2(Ω,FT,P),c∈R,有 εg(X+c)=εg(X)+c.

定理5(次(超)可加性,[11]) 設(shè)生成元g滿足假設(shè)(A1)和(A2),則如下敘述等價(jià):

(ⅰ)g不依賴于y且g關(guān)于z是次(超)可加的;

(ⅱ)g- 期望 εg[·]是次(超)可加的.

定理6(齊次性,[11]) 設(shè)生成元g滿足假設(shè)(A1)和(A2),則如下敘述等價(jià):

(ⅰ)關(guān)于(y,z)滿足齊次性(正齊次性);

(ⅱ)g- 期望 εg[·]滿足齊次性(正齊次性).

注7([7]) 如果g關(guān)于(y,z)滿足超(次)齊次性,g-期望εg[·]也滿足超(次)齊次性.

下面我們介紹[12]和[13]給出的g-方差和g-協(xié)方差的定義.

定義 8(g-方差) 對(duì)任意X∈L4(Ω,FT,P),如果εg[(X-εg(X)2]存在,則稱εg[(X-εg(X)2]為隨機(jī)變量X關(guān)于生成元g的g-方差,記為Varg(X).

定義 9(g-協(xié)方差) 對(duì)任意X,Y∈L4(Ω,FT,P),稱 εg[(X-εg(X)(Y-εg(Y)]為隨機(jī)變量X和Y關(guān)于生成元g的g-協(xié)方差,記為Covg(X,Y).

注10 由注3可知,如果生成元g=0,此時(shí)的g-方差就是經(jīng)典方差,即Varg(·）＝Var（·）;g-協(xié)方差即為經(jīng)典協(xié)方差.

3 g-方差與g-協(xié)方差之間的關(guān)系

在經(jīng)典方差理論中,我們知道經(jīng)典方差和經(jīng)典協(xié)方差之間的關(guān)系如下,

那么對(duì)于由不滿足線性的g-期望誘導(dǎo)出來(lái)的g-方差是否有類(lèi)似的等式

成立呢?如果不存在上述相等關(guān)系,那么g-方差和g-協(xié)方差之間到底存在何種關(guān)系呢?

由于g-期望不具有線性性,一般來(lái)說(shuō)g-方差與g-協(xié)方差之間應(yīng)該不具有類(lèi)似的關(guān)系式,即一般來(lái)說(shuō),

下面我們著手研究g-方差與g-協(xié)方差之間的具體關(guān)系.

定理11設(shè)生成元g不依賴于y且關(guān)于z是正齊次和次可加的,則對(duì)于任意的X,Y∈L4(Ω,FT,P),有

證明由于生成元g不依賴于y且關(guān)于z是正齊次和次可加的,根據(jù)定理4,5和6,g-期望εg[·]滿足正齊次性,次可加性和平移不變性.根據(jù)g-方差的定義,有

由g-期望的正齊次性和次可加性可得,

由于g-期望具有次可加性,故

再根據(jù)g-方差,g-協(xié)方差的定義以及g-期望的正齊次性、平移不變性可得,

從而得出結(jié)論,

證畢.

注12 定理11中生成元g的條件可以改為,g不依賴于y且關(guān)于z是次可加和次齊次的,即對(duì)于任意的λ∈R,g(t,λz)≤λg(t,z)dP×dt-a.s.事實(shí)上,由g關(guān)于z是次可加和次齊次可以得到g關(guān)于z是正齊次的.

類(lèi)似地,我們可以得到如下定理13.

定理13設(shè)生成元g不依賴于y且關(guān)于z是超齊次和超可加的,則對(duì)于任意的X,Y∈L4(Ω,FT,P),有

證明由于生成元g不依賴于y且關(guān)于z是超齊次和超可加的,根據(jù)定理4,5和注7,g-期望εg[·]滿足超齊次性,超可加性和平移不變性.根據(jù)(2)式和超可加性可得,

由于g-期望具有超齊次性和平移不變性,故

同理可得,

將上述兩個(gè)不等式代入(3),再根據(jù)g-方差,g-協(xié)方差的定義可得,

從而得出結(jié)論,

證畢.

4 g-方差,g-協(xié)方差與生成元g之間的關(guān)系

我們?cè)谘芯縢-方差的性質(zhì)時(shí),依賴于生成元g的性質(zhì),因?yàn)間的性質(zhì)直接影響g-期望的性質(zhì),從而間接影響g-方差的性質(zhì).文獻(xiàn)[11]通過(guò)g的性質(zhì)研究g-期望的性質(zhì)時(shí),得到了很多等價(jià)的性質(zhì),即生成元g不僅可以影響g-期望的性質(zhì),反過(guò)來(lái),g-方差的性質(zhì)應(yīng)該也可以影響生成元g的性質(zhì),二者之間存在哪些具體關(guān)系呢?根據(jù)定理11,借助于g-協(xié)方差我們可以得到g-方差Varg(·)與生成元g之間的等價(jià)關(guān)系.

定理14設(shè)生成元g不依賴于y且關(guān)于z是正齊次和次可加的,有

成立的充分必要條件為g是線性的.

證明首先,充分性是顯然的.如果g是線性的,則g-期望εg[·]是線性的,從而很容易得到(5)成立.下面證明必要性.根據(jù)定理11的證明過(guò)程,可以得到,對(duì)于任意的X,Y∈L4(Ω,FT,P),

由于(5)成立,可以得出

從而對(duì)于 g- 期望 εg[·]有

由于g不依賴于y且關(guān)于z是正齊次和次可加的,從而g是次線性的.由(6)可知g-期望是超可加的,根據(jù)定理5可得g是超可加的,于是生成元g是線性的.證畢.

類(lèi)似于定理14,我們還可以得到如下定理.

定理15設(shè)生成元g不依賴于y且關(guān)于z是超齊次和超可加的,

成立的充分必要條件為g是線性的.

證明充分性是顯然的.如果g是線性的,則g-期望εg[·]是線性的.

對(duì)于必要性.根據(jù)定理13證明過(guò)程中的(4),可以得到,

根據(jù)已知條件可以得出

從而對(duì)于 g- 期望 εg[·]有

于是生成元g是線性的.證畢.