趙明 李東瑋

摘要：利用有限覆蓋定理得到一個(gè)形式相似但對原定里中閉集的有界性不再要求的推論.以及閉區(qū)間的逆定理、聚點(diǎn)定理的逆定理。

關(guān)鍵詞：有限覆蓋；有界閉集；閉區(qū)間套定理；聚點(diǎn)定理

中圖分類號(hào)：O151.21

有限覆蓋定理是數(shù)學(xué)分析中基礎(chǔ)性定理，本文給出有限覆蓋定理的推論.在推論中不再要求被覆蓋的閉集有界.以及閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理的逆定理。并通過對文獻(xiàn)[1]Caratheodory定理的證明過程分析，適當(dāng)推廣了Caratheodory定理的適用范圍。另外通過推廣Toeplitz數(shù)表得到了另外一種形式的Stolz定理。

實(shí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，海涅波萊爾有限覆蓋定理、維爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理、閉區(qū)間套定理分別刻畫了實(shí)數(shù)集的連續(xù)性。文獻(xiàn)[1]給出了海涅波萊爾有限覆蓋定理的逆定理，受此啟發(fā)本文探索了閉區(qū)間套定理、維爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理的逆定理。并給出了有限覆蓋定理的另外一種形式，該種情形不再要求被覆蓋的集合是有界的僅要求是閉的。

1預(yù)備知識(shí)

以下命題來自文獻(xiàn)[2].

2結(jié)論

下面給出有界閉集套定理的逆定理：

定理2.2F為中非空子集，若對任一子集族：都有，則F閉，有界。

證：先證F閉。

設(shè)是F的極限點(diǎn)，則存在F中的互異點(diǎn)列

取

……

從而

，顯然x0∈∩

SymboleB@ k=0Fk

再證有界性。

反證.若F無界。不妨設(shè)F無上界，對都有，使得

取F中點(diǎn)列如下：

，，...

顯然，且，取，則這與已知條件矛盾，故F有界。

將此定理適當(dāng)修改可推廣至n維空間。

聚點(diǎn)定理的逆定理：

定理2.3若中非空子集F的任一無限子集至少有一個(gè)極限點(diǎn)則F有界.

證：反證。

若F無界，

則對使得取，

然而F中的無限子集無極限點(diǎn)。這是因?yàn)椤?/p>

為湊齊刻畫實(shí)數(shù)集連續(xù)性的幾大定理的逆定理特附上以下定理，該定理及其證明來自文獻(xiàn)[1]。

定理2.4設(shè)FRn，若F的任一覆蓋都包含有限子覆蓋則F是有界閉集。

證明：設(shè)y∈Fc，則對于任一x∈F，存在δx>0使得鄰域：

U（x，δx）∩U（y，δx）=。

顯然，{U（x，δx）：x∈F}是F的一個(gè)開覆蓋。由題目已知條件知存在有限子覆蓋，不妨設(shè)為：

U（x1，δx1），U（x2，δx2），…，U（xn，δxn）

令δ=max{δx1，δx2，…，δxn}，取M=[δ]+1，則對于任一x∈F有x

SymbolcB@ nM。有界性證畢。

再令δ0=min{δx1，δx2，…，δxn}，則F∩U（y，δ0）=，即yF'，因此F是閉集。

以下將Caratheodory定理中對集合G的要求從開集減弱為一般集合，相應(yīng)地對集合E適當(dāng)增加條件。

Caratheodory定理[1]：

GRn，G≠Rn，G為開集，EG.令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...）

則limkm*（Ek）=m*（E）

改進(jìn)為：

定理2.5：GRn，G≠Rn，EG，m*（E）=0，m*（Gc∩E）=0

令Ek={x∈E：d（x，Gc）1k}，（k=1.2...），

則limkm*（Ek）=m*（E）

證明：顯然limkm*（Ek）

SymbolcB@ m*（E），為證

反向不等式假設(shè)limkm*（Ek）<

SymboleB@

令A(yù)k=Ek+1/Ek，（k=1.2...），易知d（A2j，A2j+2）>0，（j=1.2...）再注意∪k1j=1AjE2k得：

m*（E2k）m*（∪k1j=1Aj）=∑k1j=1m*（A2j）

從而∑

SymboleB@ j=1m*（A2j）<

SymboleB@ ，同樣可得∑

SymboleB@ j=1m*（A2j+1）<

SymboleB@ 。令F{x∈E：d（x，Gc）=0}，V{E的孤立點(diǎn)}。對任意k有：

E=E2k∪（∪

SymboleB@ j=kA2j）∪（∪

SymboleB@ j=kA2j+1）∪（E）∪F∪V

其中m*（F）+m*（V）+m*（E）=0，從而：

m*（E）

SymbolcB@ m*（E2k）+∑

SymboleB@ j=km*（A2j）+∑

SymboleB@ j=km*（A2j+1）

令k→

SymboleB@ 得：

∑

SymboleB@ j=km*（A2j）=0，∑

SymboleB@ j=km*（A2j+1）=0

m*（E）

SymbolcB@ limkm*（Ek）

證畢

在文獻(xiàn)[3]中第二章的Toeplitz數(shù)表也有進(jìn)一步推廣的空間。介紹如下：

定義：由無窮正數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)表

t11

t21t22

t31t32t33

tn1tn2…tnn

表（1）

滿足條件：（1）∑nk=1tnk=1，n∈N（2）k∈N，limn→

SymboleB@ tnk=0

條件1在[3]中Stolz定理的引理證明中并未起關(guān)鍵作用，將其推廣為表（1）中任意有限個(gè)元素之和有一致的界。

定理2.6設(shè)tnk是一個(gè)如上推廣的Toeplitz數(shù)表，an是無窮小數(shù)列，設(shè)bn=∑nk=1tnkak，n=1，2，...，則limn→

SymboleB@ bn=0

證明：設(shè)M為Toeplitz數(shù)表中條件（1）的上界。對于ε>0，N1∈N，使得當(dāng)k>N1，

有ak<ε2M，對這個(gè)N1存在N2∈N，使得當(dāng)n>N2時(shí)有tn1a1+…+tN2an<ε2，標(biāo)記：

N3=max{N1，N2}，于是當(dāng)n>N3時(shí)：

bn

SymbolcB@ tn1a1+…+tnnan<ε2+ε2MM=ε

證畢

下面以推廣后的Toeplitz數(shù)表做出類Stolz定理：

定理2.7數(shù)列Cn滿足：Cn>0，M∈R，M>0，Cn

limnynyn1cn=a則limn（xnyn）=a

證：做推廣的Toeplitz數(shù)表

tnk=ckxn，k=1.2....

un=ynyn1cn，

vn=∑

SymboleB@ k=1tnkuk=∑

SymboleB@ k=1ckxnykyk1ck=xnyn

因此limnynyn1cn=limn（xnyn）=a

參考文獻(xiàn)：

[1]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[2]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)解題指南[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[3]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講第一冊[M].北京：北京大學(xué)出版社，1990.

作者簡介：趙明，男，河南警察學(xué)院基礎(chǔ)部，研究方向?yàn)榉汉治?；李東瑋，男，河南警察學(xué)院基礎(chǔ)部，博士，研究方向?yàn)楦吣芪锢怼?/m，級(jí)數(shù)∑xn絕對收斂。若>