遲玉倫 李郝林

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

磨削是加工滾珠絲杠中的最后一道工序，磨削加工過(guò)程中發(fā)生的再生顫振是影響磨削工件質(zhì)量的主要因素之一。再生顫振是一種典型的因振動(dòng)位移延時(shí)反饋所導(dǎo)致的失穩(wěn)現(xiàn)象，屬于非線性振動(dòng)，產(chǎn)生機(jī)理復(fù)雜，消振和減振十分困難［1］。在滾珠絲杠加工中，機(jī)床的振動(dòng)不可避免，特別是砂輪與滾珠絲杠之間產(chǎn)生的再生顫振不僅影響滾珠絲桿的表面粗糙度和加工精度，還直接影響生產(chǎn)效率的提高。所以，如何有效分析和預(yù)測(cè)滾珠絲杠加工時(shí)的顫振穩(wěn)定域成為一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)［2－6］。

本文根據(jù)控制論中穩(wěn)定性判據(jù)理論分析預(yù)測(cè)磨削系統(tǒng)的再生顫振穩(wěn)定域，建立了滾珠絲杠磨削振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)大量磨削實(shí)驗(yàn)分析，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了磨削顫振穩(wěn)定性極限圖預(yù)測(cè)的實(shí)用性。該顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)對(duì)優(yōu)化磨削工藝參數(shù)提高加工質(zhì)量和加工效率有重要意義。

1 滾珠絲桿磨削再生顫振模型

如圖1所示，滾珠絲杠的兩端分別被機(jī)床尾架頂尖和工件頭架頂尖支撐頂緊;在滾珠絲杠磨削加工過(guò)程中，工件頭架主軸帶動(dòng)滾珠絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)調(diào)整機(jī)床磨削砂輪與滾珠絲杠滾道的磨削角度進(jìn)行磨削。

如圖2所示，砂輪－滾珠絲桿磨削系統(tǒng)模型的示意圖，該磨削動(dòng)力學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

式中:m為機(jī)床振動(dòng)系統(tǒng)等效質(zhì)量，kg;c為機(jī)床振動(dòng)系統(tǒng)等效阻尼，N·s/mm;k為機(jī)床振動(dòng)系統(tǒng)等效剛度，N/mm;X(t)為t時(shí)刻砂輪振幅，mm;F(t)為動(dòng)態(tài)磨削力，N。

以工件磨削深度方向?yàn)檎较?，由材料去除率表示的?dòng)態(tài)磨削力F(t)，可表示為

式中:km為砂輪磨削力系數(shù)，N/mm3;h為砂輪磨削深度，mm;u為磨削接觸寬度，mm;a(t)為工件表面振紋，mm;b為砂輪前后兩轉(zhuǎn)的重疊系數(shù);T為砂輪旋轉(zhuǎn)周期，s;a0為初始表振紋。

通過(guò)拉氏變換，式(1)在頻域中表示為

式中:s為拉氏算子，無(wú)量綱。

將磨削力F(t)的表達(dá)式式(2)經(jīng)過(guò)拉氏變換后代入式(3)，以X(s)作為顫振系統(tǒng)的輸出，a0(s)作為輸入，得到磨削系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式中:W(s)為砂輪系統(tǒng)動(dòng)柔度，m/N;ωn為砂輪系統(tǒng)固定角頻率，rad/s;ζ為砂輪系統(tǒng)阻尼比，無(wú)量綱。

由控制原理可知，振動(dòng)系統(tǒng)輸出的時(shí)域特性取決于系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)特征方程根s的性質(zhì)。s可寫(xiě)成s=δ+jω的形式，當(dāng)δ=0時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。令δ=0，即可據(jù)此求得系統(tǒng)穩(wěn)定性極限磨削深度hlim，將s=jω代入式(4)得

式中:ω為磨削砂輪顫振角頻率，rad/s。

根據(jù)磨削砂輪顫振系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(6)及控制論中的穩(wěn)定性判據(jù)，令式(6)傳遞函數(shù)的分母為零，可得到砂輪系統(tǒng)發(fā)生顫振條件，即

2 滾珠絲杠磨削再生顫振模型求解

令 λ = ω/ωn及e－jωT=cosωT－jsinωT，將式(5)代入式(7)后，經(jīng)整理得

式中:ζ為振動(dòng)系統(tǒng)阻尼比;ωn為振動(dòng)系統(tǒng)固定角頻率，rad/s。

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可知，等式左右兩邊實(shí)部與幅角分別相等，如式(9)和式(10)所示

由式(6)、(9)和(10)可推得保證磨削過(guò)程穩(wěn)定性的磨削深度h和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n分別為

由上述式(11)和式(12)，可確定磨削中磨削深度hlim和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n顫振穩(wěn)定性極限圖。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)機(jī)床為SK7432萬(wàn)能外圓數(shù)控磨床，測(cè)量?jī)x器為KISTLER振動(dòng)分析儀。通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)，對(duì)力激勵(lì)下測(cè)得的機(jī)床振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，識(shí)別磨床砂輪結(jié)構(gòu)的各階固有頻率及相關(guān)的模態(tài)參數(shù)。

在磨床的砂輪架結(jié)構(gòu)上設(shè)置振動(dòng)傳感器的響應(yīng)測(cè)點(diǎn)，如圖3所示。激勵(lì)點(diǎn)設(shè)置在各響應(yīng)測(cè)點(diǎn)附件，使用鋼頭力錘進(jìn)行錘擊。在模態(tài)試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)盡可能地減少隨機(jī)誤差和噪聲對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。圖4、圖5分別為力錘激勵(lì)的力信號(hào)和加速度響應(yīng)信號(hào)隨時(shí)間變化曲線。

通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)分析及磨削工藝參數(shù)計(jì)算，可確定出式(11)和(12)的各機(jī)床動(dòng)態(tài)特性參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)床動(dòng)態(tài)特性各參數(shù)

3.2 磨削顫振穩(wěn)定性極限圖確定

穩(wěn)定性極限圖是用磨削深度與砂輪轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系來(lái)確定磨削過(guò)程中穩(wěn)定磨削和不穩(wěn)定磨削區(qū)域的臨界條件。將表1中各機(jī)床動(dòng)態(tài)特性參數(shù)值代入式(11)和(12)可確定磨削中磨削深度hlim和砂輪主軸轉(zhuǎn)速n顫振穩(wěn)定性極限圖，如圖6所示。圖中耳垂線之上為不穩(wěn)定區(qū)，耳垂線之下為穩(wěn)定區(qū)。

為驗(yàn)證上述顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)圖的準(zhǔn)確性，分別選取砂輪轉(zhuǎn)速800 r/min、1 000 r/min、1 200 r/min和1 400 r/min進(jìn)行磨削顫振實(shí)驗(yàn)。通過(guò)多次改變切削深度確定出各砂輪轉(zhuǎn)速下發(fā)生顫振與未發(fā)生顫振的臨界磨削深度h'lim。實(shí)驗(yàn)測(cè)量各砂輪轉(zhuǎn)速與臨界磨削深度的坐標(biāo)為:(800 r/min，18 μm)、(1 000 r/min，17 μm)、(1 200 r/min，16 μm)和(1 400 r/min，20 μm)。

如圖7所示，利用實(shí)驗(yàn)臨界坐標(biāo)測(cè)點(diǎn)驗(yàn)證上述圖6中顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)圖(圖中星號(hào)點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)臨界坐標(biāo)測(cè)點(diǎn))。如表2所示，列出在不同轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定性圖的預(yù)測(cè)磨削深度hlim、實(shí)驗(yàn)測(cè)量臨界磨削深度h'lim和兩個(gè)絕對(duì)值之差Δ=|h'lim－h(huán)lim|。計(jì)算結(jié)果Δ≤0.25，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論預(yù)測(cè)曲線結(jié)果一致，驗(yàn)證了文中再生顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)方法的有效性。

表2 各砂輪轉(zhuǎn)速下臨界磨削深度

4 結(jié)語(yǔ)

(1)基于再生顫振機(jī)理，對(duì)磨削滾珠絲杠振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

(2)根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型繪制出再生顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)圖，并對(duì)該再生顫振模型進(jìn)行磨削實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性。

(3)該磨削顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測(cè)方法為機(jī)床加工人員選擇正確切削參數(shù)提供理論依據(jù)，對(duì)提高磨削工件的表面質(zhì)量和加工效率有重要意義。

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