摘 要：鋁模板的支撐穩(wěn)定性計(jì)算對(duì)鋁模設(shè)計(jì)至關(guān)重要。鋁模支撐的抗壓力和它支撐的范圍息息相關(guān)。本文討論采用 voronoi 圖方法生成桿件的二維劃分多邊形，作為支撐桿的作用域，用于計(jì)算支撐所受到的恒荷載。最后，計(jì)算得到支撐桿的抗壓力，和規(guī)范中的設(shè)計(jì)值比較以判斷是否合規(guī)。實(shí)驗(yàn)證明我們的算法是可行的。

關(guān)鍵詞：voronoi圖 鋁模板 支撐體系

1.引言

在歐美發(fā)達(dá)國(guó)家，一些質(zhì)量要求高的高層建筑普遍采用鋁模板，而在國(guó)內(nèi)，鋁模板已經(jīng)逐漸被使用，它必將要代替木模板、鋼模板成為主要的模板型式[2]。在鋁模板體系的設(shè)計(jì)中，結(jié)合早拆模技術(shù)，設(shè)計(jì)計(jì)算除了要滿足強(qiáng)度、剛度的要求外，對(duì)于鋁模的支撐體系還要重點(diǎn)考慮支撐的穩(wěn)定計(jì)算[4]，[5]。

voronoi 圖由俄羅斯數(shù)學(xué)家 Voronoi 于 1908 年提出的，又叫泰森多邊形或Dirichlet圖。該模型在計(jì)算幾何學(xué)科中的重要地位，由于其根據(jù)點(diǎn)集劃分的區(qū)域到點(diǎn)的距離最近的特點(diǎn)，其在地理學(xué)、氣象學(xué)、結(jié)晶學(xué)、航天、核物理學(xué)、機(jī)器人等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。它是由一組由連接兩鄰點(diǎn)直線的垂直平分線組成的連續(xù)多邊形組成，這一模型有著實(shí)際的物理意義，voronoi 圖反映了自然界普遍存在的一種現(xiàn)象。

據(jù)此本文將 voronoi圖運(yùn)用于鋁模支撐體系的穩(wěn)定計(jì)算。本文的主要工作是，首先，將voronoi圖進(jìn)行改進(jìn)以使之適用于表達(dá)支撐桿和支撐桿作用域的關(guān)系，其次，提出分而治之的辦法，以桿件為單位來(lái)對(duì)支撐的作用范圍進(jìn)行劃分，最后，驗(yàn)證用voronoi圖劃分的多邊形來(lái)計(jì)算支撐穩(wěn)定性的算法是有效的。

2. 形成V多邊形

算法以voronoi圖中的散點(diǎn)（vertices）和邊界（border）作為輸入。第一部分介紹如何利用vertices生成非限制voronoi圖，第二部分介紹如何利用border生成限制性voronoi圖，第三部分介紹線性的voronoi圖。

最終的結(jié)果是對(duì)border的劃分（partition），這就是voronoi多邊形，簡(jiǎn)稱V多邊形。

2.1非限制性 voronoi 圖

本文采用的是Delaunay三角剖分算法來(lái)實(shí)現(xiàn)非限制的Voronoi圖。具體步驟如下：

形成凸殼

這里采用的是最優(yōu)的求凸殼算法即格雷厄姆方法 [1]，其中的主要依據(jù)是凸邊的定義，凸多邊形的各頂點(diǎn)必在該多邊形的任意一條邊的同一側(cè)。

對(duì)凸殼進(jìn)行三角化劃分

根據(jù)（1）中得到的凸殼鏈表對(duì)包絡(luò)體進(jìn)行三角劃分，。劃分準(zhǔn)則為：三點(diǎn)不共線且三角形中不包含其他凸殼點(diǎn)。

向凸殼內(nèi)添加內(nèi)部點(diǎn)

遍歷Vertices，對(duì)每個(gè)非凸點(diǎn)，遍歷已構(gòu)成的三角形，如果該點(diǎn)在當(dāng)前三角形中；對(duì)當(dāng)前點(diǎn)構(gòu)建新三角形，以當(dāng)前點(diǎn)為頂點(diǎn)，分裂為新的三角形。

對(duì)三角形邊進(jìn)行拓?fù)鋭澐?/p>

主要是對(duì)新三角形局部?jī)?yōu)化，其準(zhǔn)則是：將兩個(gè)具有共同邊的三角形合成一個(gè)多邊形，以最大空?qǐng)A準(zhǔn)則作檢查，看其第四個(gè)頂點(diǎn)是否在三角形的外接圓之內(nèi)？如果在，修正對(duì)角線即將對(duì)角線對(duì)調(diào)，即完成局部?jī)?yōu)化過程的處理。對(duì)已構(gòu)網(wǎng)的三角形的每條邊進(jìn)行屬性編輯，三角形三個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針連線。

形成成對(duì)應(yīng)的Voronoi圖

求每個(gè)三角形的外接圓心，所有三角形的邊是有向邊，兩個(gè)點(diǎn)A，B，如果存在AB和BA邊，則說明該邊的度數(shù)為2，度數(shù)為1的邊是凸殼的邊；度數(shù)為2邊上，兩個(gè)三角形的外接圓心可以連線形成V邊，度數(shù)為1的邊和他所在圓心的連線，和三角形的三條邊的中點(diǎn)形成射線也是V邊。

這里產(chǎn)生的voronoi是對(duì)整個(gè)XoY平面的一個(gè)劃分（partition）。接下來(lái)我們要把他們的作用域根據(jù)border進(jìn)行限制。

2.2 限制性 voronoi 圖

根據(jù)我們算法的需要，這里要對(duì)voronoi 圖的邊界進(jìn)行劃分。

（1）根據(jù)2.1第（5）中生成的射線，以及連線對(duì)border的邊線進(jìn)行求交并去除在多邊形外的線，參照[3]；

（2）針對(duì)vertices中的每個(gè)散點(diǎn)Vertex做如下動(dòng)作；

（3）根據(jù)2.1（5）中描述的關(guān)系，將所有和Vertex相關(guān)的V邊找出；

（4）如果是邊界，要根據(jù)起始，終止兩個(gè)點(diǎn)將找出邊界上的線；

（5）根據(jù)這些線段，組成逆時(shí)針方向的多邊形，因?yàn)橛蠽ertex作為參考，是否逆時(shí)針很容易判斷，這樣就形成了以Vertex為內(nèi)點(diǎn)的多邊形我們稱之為V多邊形。

由上面討論可以知道我們的V多邊形的特點(diǎn)是：

（1）每個(gè)Vertex都有一個(gè)V多邊形；

（2）每個(gè)V多邊形內(nèi)點(diǎn)到該Vertex距離短于到其它Vertex距離；

（3）多邊形邊界上的點(diǎn)到生成此邊界的Vertex距離相等。

2.3 共線 voronoi 圖

通過上述討論我們知道，只有在節(jié)點(diǎn)能組成三角形的情況下才能生成V多邊形。然而在一些特殊情況下我們的支撐桿并不總能拍成三角形，比如梁的支撐。這時(shí)，我們對(duì)2.2的算法做些調(diào)整就可以適用了。

將所有的節(jié)點(diǎn)聯(lián)想生成直線，并根據(jù)線的方向排序；

兩個(gè)相鄰邊的中垂線就形成了多段線的劃分（partition）；

對(duì)已有的邊界進(jìn)行求交，并形成多邊形就形成了V多邊形了。

注意這里形成的多邊形，也是滿足2.2中敘述的V多邊形的特點(diǎn)的。

3.實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)過程中給，我們支撐桿抽象為voronoi圖中的散點(diǎn)（vertices），將支撐的作用范圍作為voronoi圖的邊界（border）。

我們利用 vertices生成非限制性 voronoi 圖，然后border對(duì)非限制性 voronoi 圖進(jìn)行剪裁，生成符合真實(shí)情況的限制性 voronoi 圖并進(jìn)行了分組，從而生成了對(duì)邊界的多邊形區(qū)域的劃分。

本文采用分而治之的辦法來(lái)處理復(fù)雜的支撐問題。即以桿件為單位對(duì)其中的支撐做穩(wěn)定性計(jì)算。

3.1 板的劃分

輸入為一個(gè)板時(shí)，找出和該板相關(guān)的支撐桿，開始計(jì)算其V多變形，具體過程如下：

（1）得到板的支撐的有效支持范圍：和板支座最近的支撐到該支座的中線的連線形成封閉多段線為支撐的有效支持范圍border；

（2）將板的所有支撐點(diǎn)作為vertices；

（3）將vertices，border作為輸入，根據(jù)2.2得到相應(yīng)的V多邊形。

3.2 梁的劃分

當(dāng)輸入是梁時(shí)，其V多邊形的形成過程如下：

（1）以此梁作為支座的板剩下部分，作為該梁的一部分，即多個(gè)多邊形合并在一起；

（2）跟梁兩邊的支座到最近的支撐的距離將梁的兩邊去掉，得到了相應(yīng)的border；

（3）將梁的所有支撐點(diǎn)作為vertices；

（4）將vertices，border作為輸入，根據(jù)2.3得到相應(yīng)的V多邊形。

3.3計(jì)算的結(jié)果

立桿的承載力和穩(wěn)定性：板模板支撐的立桿承載力根據(jù)軸心受壓構(gòu)件計(jì)算其軸向荷載極限值；根據(jù) JGJ162—2008 建筑施工模板安全技術(shù)規(guī)范規(guī)定按照工具式鋼管立桿受壓穩(wěn)定性計(jì)算其受壓穩(wěn)定性；受壓穩(wěn)定性公式為[5]：

（1）

其中，計(jì)算桿件的軸心壓力設(shè)計(jì)值N根據(jù)相關(guān)的V多邊形算出，以板為例

板支撐：N=1.2X（G1K*AV + G2K*VV + G3K*VV）+1.4*（Q1K*AV） （2）

其中，AV為V多邊形的面積，VV為V多邊形的體積。

根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果我們就可以知道桿件內(nèi)的某個(gè)立桿是否合規(guī)。我們舉某塊板的某幾個(gè)支撐作為說明，如下圖：

圖1的voronoi 多邊形反映了撐頭的支撐作用域，圖2說明撐頭的軸力的計(jì)算結(jié)果。從計(jì)算結(jié)果可以看出，用voronoi圖表示撐頭的作用域有一定的合理性。

4. 結(jié)論

本文提出了用voronoi圖作為支撐桿的作用域的劃分的方法，比較符合實(shí)際工程情況；從實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看這種表示方式也是有效的。計(jì)算得出了沒有支撐桿所受到的軸力，可以給模板的設(shè)計(jì)，排布者一個(gè)參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] Graham， R. lo， An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set， Info. Proc. lett. ， 1972： 132-133.

[2] 仇銘華. 鋁模板技術(shù)在北美超高層建筑綠色施工中的應(yīng)用[J]. 施工技術(shù)，2013（14）：122-123.

[3] 劉英偉， 張洋. 基于 voronoi 圖的材料初始組織的生成. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)， Jun.2018： Vol039 No.6

[4] 羅 雯. 鋁模支撐系統(tǒng)數(shù)值模擬與計(jì)算. 經(jīng)濟(jì)·管理·綜述Jan.2018

[5] 祝冰青. 鋁模板支撐體系的計(jì)算與應(yīng)用. 山西建筑， Apr. 2015： Vol.41 No.12

作者簡(jiǎn)介：丘衍航（1982-），男，碩士研究生，主要研究方向：BIM，鋁模板設(shè)計(jì)。

基金項(xiàng)目：中國(guó)建筑科學(xué)研究院應(yīng)用技術(shù)研究課題“基于BIM技術(shù)的鋁模板施工智能設(shè)計(jì)軟件研究與開發(fā)”（項(xiàng)目編號(hào)：20160120330730035）