朱 峰, 劉順攀

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

0 引言

與靜電場一樣，恒定磁場中也儲存有能量。這些能量是在磁場形成的過程中，由外源提供的其它形式的能量做功轉(zhuǎn)化而來的[1]。若空間中存在兩個或更多的電流回路，其電流變化使穿過回路的磁通發(fā)生變化并在不同的回路中相互影響，產(chǎn)生電流回路之間的相互作用能。它與各回路電流及互感系數(shù)M有關(guān)，稱為互有能。

若線性媒質(zhì)中有兩個回路l1、l2，在兩個回路中的電流從0分別增加到l1,l2的過程中，外源對回路所做的功都轉(zhuǎn)變成磁場中所儲存的能量Wm，有：

(1)

式中，n表示在此系統(tǒng)中的回路個數(shù)，ψ1和ψ2分別表示穿過l1，l2回路的磁鏈，有：

(2)

將磁鏈表達(dá)式帶入能量計算式得：

(3)

在各類電磁波與電磁場的教材中，對于互感能量MI2I2的結(jié)論，往往僅從一個角度去計算和推導(dǎo)，使學(xué)生理解互感能量的實際產(chǎn)生過程存在一定難度。

本文將闡述三種計算兩個電流回路間互感能量的計算方法。

1 對充電過程積分計算互感能量

1.1 對單一回路的充電過程計算互感能量

在兩個電流回路l1、l2構(gòu)成的磁場系統(tǒng)中，為方便計算互感能量，可將其中回路l1的電流固定為l1，僅對另一回路l2的電流從增加到l2的充電過程進(jìn)行分析，以求解其互感能量。

將l1、l2的充電過程所產(chǎn)生的互感能量分別討論，在回路l1充電時，在兩個回路中均未產(chǎn)生互感能量。回路l1充電完成后，令回路l1的電流保持不變，回路l2的電流從0增加到I2的過程中，在時間dt內(nèi)，回路l2對回路l1引起的磁通改變量為

dψ12=M·di2

(4)

在回路l1中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為

(5)

由于在回路l2充電的過程中，穿過其回路自身的磁通也穿過了回路l1，故回路l2的電流變化也會導(dǎo)致回路l1中產(chǎn)生相應(yīng)的感應(yīng)電動勢，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢方向與回路l2磁通變化的方向有關(guān)，故此過程中回路一要維持電流I1不變，外源可能吸收或釋放能量[3]。

外源做功(或吸收能量)的微元為

dW=-ε12·I1dt

(6)

圖1 線圈互感示意圖

在此過程中，外源所做總功為

(7)

可得：

(8)

由于回路l1中電流沒有變化，故回路l2磁通并未受到回路l1電流影響，即回路l2中沒有產(chǎn)生互感能量。則回路一中的互感能量為

W12=W=MI1I2

(9)

回路2中的互感能量：

W21=0

(10)

兩回路磁場系統(tǒng)中儲存的互感能量為

W12+W21=MI1I2

(11)

1.2 對充電過程積分計算互感能量

在1.1節(jié)中，已經(jīng)討論了關(guān)于兩個電流回路異步充電的互感能量計算過程。若不固定任何一回路的電流，將兩回路電流建立為兩個關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式i1(t)和i2(t)可得，兩回路的磁通ψ(t)，感應(yīng)電動勢ε(t)，l1、l2中產(chǎn)生的互感能量W12(t)和W21(t)，均是關(guān)于時間的t函數(shù)。

若當(dāng)t>T時，回路l1、l2中的電流均不再變化，在0

圖2 線圈同步充電互感示意圖

回路l2電流變化對回路l1產(chǎn)生的磁通的影響為：

dψ12(t)=M·di2(t)

(13)

回路l1中產(chǎn)生的互感感應(yīng)電動勢為

(14)

回路l1的電源提供的互感能量等于回路l1中增加的互感能量：

dW12(t)=-ε12(t)·i(t)dt=M·i1(t)di2(t)

(15)

由能量守恒得，在t=0到t=T的過程中，回路l1中外電源做功即為互感能量的增量，為

(16)

(17)

在上式中，當(dāng)時t≥T時，i1(t)=I1，i2(t)=I2，即T表示兩個電流回路均完成充電的時間點，則有：

(18)

又因為：

(19)

其中，W21恰好為回路l1的電流變化對回路l2電流的影響過程中，回路l2外源所做功，

W12=MI1I2-W21

(20)

則有，兩回路均充電完成后，兩回路產(chǎn)生的互感能量之和為：

W21+W21=MI1I2, (t≥T)

(21)

2 廣義力矩積分求互感能量

對于線圈法向互相垂直的兩恒定電流回路l1和l2，如圖3所示：

圖3 線圈回路旋轉(zhuǎn)初始狀態(tài)

兩回路產(chǎn)生的磁場互不交鏈(假設(shè)兩線圈間的距離足夠長)，此時的互感能量為0，兩線圈回路之間作用力為0，且處于臨界平衡狀態(tài)，若此時給回路l2一個微小的力，同時固定住回路l1，則由于磁場力的作用，回路l2會發(fā)生繞軸AA′的順時針方向的轉(zhuǎn)動[2,3]。此時回路l2的磁距為

m2=I2·S2

(22)

其所受回路l1的磁場產(chǎn)生的力矩為[1]

(23)

其中，α表示回路l2的法線方向與回路l1產(chǎn)生磁場的方向夾角，T21<0表示力矩企圖使廣義坐標(biāo)α減小。在兩回路內(nèi)的電流保持不變時，外源提供的能量，有一半作為磁場能量的增量，另一半用于作機(jī)械功[1]。對力矩T21積分可得回路轉(zhuǎn)動所需的機(jī)械能量WF，此能量在數(shù)值上等于在新的磁場建立時系統(tǒng)的相互作用能W21，故：

(24)

回路旋轉(zhuǎn)完畢后，回路l2共旋轉(zhuǎn)了90°，此時兩線圈回路的相互作用力再次變?yōu)?，且處于平衡狀態(tài)，假設(shè)線圈回路的轉(zhuǎn)動速度極其緩慢，其轉(zhuǎn)動角度不會超過90°[4]，則：

(25)

圖4 線圈回路旋轉(zhuǎn)完畢

又因為：

(26)

W21=I2ψ21=MI1I2

(27)

由于在整個回路轉(zhuǎn)動的過程中，始終只有回路l2在轉(zhuǎn)動，故：

W21=MI1I2,W12=0

(28)

W12+W21=MI1I2

(29)

綜上所述，兩回路中的磁場增量為MI1I2。

3 結(jié)語

互感與互感能量的計算是電磁場和電氣工程領(lǐng)域中重要的參數(shù)計算，在實際工程領(lǐng)域中，互感能量和自感能量均是與時間或空間位置相關(guān)的過程量。本文基于功能關(guān)系，從三種不同的角度，通過對充電過程積分和對廣義力矩積分的方式，分別從時間和空間上對于不同電磁環(huán)境的電流回路系統(tǒng)的互感能量進(jìn)行了計算和證明，均得到與現(xiàn)有教材中列出公式一致的結(jié)論。本文相對簡單的數(shù)學(xué)證明和對互感能量形象的詮釋，對現(xiàn)有教材是極大的補(bǔ)充，降低了此知識點的理解難度，使學(xué)生更容易接受互感能量計算公式的由來，并對其在空間中的存在方式有更深的理解。