彭光請

【摘要】所謂“新定義”型試題，指的是用下定義的方式給出一個新的符號、概念、運算、圖形等，要求學(xué)生做到“化生為熟”“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，全面考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)規(guī)則的選擇與運用能力和數(shù)學(xué)問題的解決能力.新定義試題以其新穎別致的形式、全面考查的功能越來越成為中考數(shù)學(xué)學(xué)科命題的熱點.本文通過選取幾道2017年各地新定義型試題，進(jìn)行歸類剖析，以其揭示解答這類試題的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】新定義；中考試題；解題關(guān)鍵

“新定義”型試題指利用教材中一些數(shù)學(xué)概念的拓展、變式或重新定義一種新的符號、概念、運算或圖形，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運算、推理、遷移的一種題型.試題主要考查學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的能力，綜合運用數(shù)學(xué)知識分析、解決問題的能力.下面就2017年各地中考中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)“新定義”試題，摘取幾例進(jìn)行分類評析，以其探索解題的關(guān)鍵與方法.

一、定義一個新符號，理解符號規(guī)定是關(guān)鍵

“新定義符號”試題是定義了一個新的數(shù)學(xué)符號，要求學(xué)生讀懂符號，了解新符號所代表的意義，理解試題對新符號的規(guī)定，并將新符號與已學(xué)知識聯(lián)系起來，將它轉(zhuǎn)化成熟悉的知識，而后利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.

評點 本題定義了一個新的數(shù)學(xué)符號，學(xué)生要通過對定義內(nèi)容的閱讀，提取相關(guān)信息，讀懂符號，正確理解[x]，（x），[x）三種符號規(guī)定的含義才能順利解題.試題雖然是要求從并列的四個小題中選取正確的判斷，但解答時可以從①②小題的具體數(shù)字入手，對規(guī)定的符號熟悉理解后，繼續(xù)進(jìn)行③④小題辨析解題.試題著重考查學(xué)生閱讀和理解能力，符號意識和分類與整合的數(shù)學(xué)思想.

二、定義一種新概念，理解概念內(nèi)涵是關(guān)鍵

“定義新概念”是對已學(xué)過的概念屬性進(jìn)行適當(dāng)改變或類比、引申等方法定義一個新的概念，這類試題遵循學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程（學(xué)習(xí)概念→鞏固概念→運用概念）進(jìn)行命制.解這類試題的關(guān)鍵是理解新概念內(nèi)涵，在把握本質(zhì)的基礎(chǔ)上對問題做出解答.

例2 （2017年湖南益陽）在平面直角坐標(biāo)系中，將一點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”.

（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖像上？為什么？

（2）M，N是一對“互換點”，若點M的坐標(biāo)為（m，n），求直線MN的表達(dá)式（用含m，n的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖像上有一對“互換點”A，B，其中點A在反比例函數(shù)y=-2x的圖像上，直線AB經(jīng)過點P12，12，求此拋物線的表達(dá)式.

評點 本題以新定義“互換點”的方式考查反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識.問題解決關(guān)鍵在于學(xué)生能夠利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識，對新概念“互換點”內(nèi)涵的理解與運用.問題（1）關(guān)注對新定義的數(shù)學(xué)概念“互換點”同化，解題的關(guān)鍵是辨別“ab=0”時，點不在反比例函數(shù)圖像上；問題（2）是考查學(xué)生對新定義“互換點”掌握，進(jìn)一步考查學(xué)生用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；問題（3）關(guān)注考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與運用“互換點”及所學(xué)過的函數(shù)圖像上點的特征，確定二次函數(shù)解析式的能力.問題解決過程需要學(xué)生具備一定的邏輯推理能力和運算能力，本題是一道較好的新定義題目.

三、定義一種新圖形，認(rèn)識圖形特征是關(guān)鍵

“定義新圖形”試題呈現(xiàn)的一般結(jié)構(gòu)為：給出新圖形定義→了解新圖形結(jié)構(gòu)→理解和運用新圖形性質(zhì).而理解新圖形性質(zhì)特征是解題的關(guān)鍵.

例3 （2017年湖北咸寧）定義：數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”.

評點 本題定義新圖形——“智慧三角形”本質(zhì)是判定三角形是直角三角形，目的是通過“智慧三角形”考查直角三角形的性質(zhì)、正方形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)等相關(guān)知識.問題解決關(guān)鍵在于學(xué)生能夠從題意中獲取新圖形的特征信息，利用對新圖形的特征的理解，解決試題提出的不同層次的三個問題.問題（1）利用圓周角定理的推論，辨析“直徑與圓上一點構(gòu)成三角形”是否是“智慧三角形”考查學(xué)生對定義的理解；問題（2）是在正方形中，判定給定三角形是否是“智慧三角形”，問題的解決需要學(xué)生結(jié)合圖形提供的信息，從記憶儲存中提取正方形、相似三角形信息，考查學(xué)生演繹推理能力；問題（3）著重考查學(xué)生運用“智慧三角形”圖形特征進(jìn)行合情推理，考查學(xué)生推理能力和解決問題的能力.

四、定義一種新運算，理解算理算法是關(guān)鍵

“定義新運算”是指用一個符號和已知運算表達(dá)式表示一種新的運算.解決這類問題的關(guān)鍵是理解新運算規(guī)定的規(guī)則，明白其中的算理算法.運算時，嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的運算形式，然后按正確的運算順序進(jìn)行計算.

評點 本題F（n）實質(zhì)是定義一個程序問題：先求“n的最佳分解”，再算“F（n）=pq”，理解新定義中所確定的算理算法，按照正確的運算順序進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.問題（1）、問題（3）是考查新的運算符號“F（n）”的理解與運用；問題（2）本質(zhì)上是規(guī)定了求“吉祥數(shù)”的運算規(guī)則.這種將考查算理算法的問題融入閱讀理解的“新定義”試題中，值得借鑒.

五、定義一種新性質(zhì)，理解性質(zhì)本質(zhì)是關(guān)鍵

“定義新性質(zhì)”是通過一個新的定義呈現(xiàn)數(shù)學(xué)表征內(nèi)在所具有的某些特征.解決這類問題關(guān)鍵是抓住性質(zhì)的本質(zhì)，理解運用性質(zhì)特征，再結(jié)合已學(xué)過的知識解題.

評點 本題是一道壓軸題，是在坐標(biāo)背景下定義了“關(guān)聯(lián)點”，要求學(xué)生根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的性質(zhì)探究點的橫坐標(biāo)的取值范圍，考查一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系和兩點間的距離公式等知識.問題的解決關(guān)鍵是正確理解“關(guān)聯(lián)點”的本質(zhì)：圖形M上存在點Q，使得|PQ|≤1，懂得結(jié)合圖形進(jìn)行定量化分析和邏輯推理，進(jìn)而解決問題.本題設(shè)置的三個問題層層遞進(jìn)，問題（1）考查對“關(guān)聯(lián)點”性質(zhì)的理解與運用，關(guān)注學(xué)生的閱讀與理解能力和處理信息的能力；問題（2）著重考查考生的分類思想和解決問題的能力.

綜上，要求理解“新定義”是解決“新定義”型試題的關(guān)鍵所在，能夠在原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)與新知識之間的遷移，確定探索方向，然后運用類比與歸納的方法尋找合理的解題思路.

第一，“新定義”試題要求學(xué)生在較短時間內(nèi)自己閱讀新知，再運用相關(guān)的知識去解決問題，這需要學(xué)生具備迅速而較強的信息收集處理能力和數(shù)學(xué)理解能力，即一種較高的抽象概括能力.這種能力需要教師在平常的課堂教學(xué)中，自覺培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和主動探索的品質(zhì)，堅持“先學(xué)后教”的原則，同時不斷加強對學(xué)生學(xué)習(xí)策略的指導(dǎo).

第二，“新定義”試題有力地挑戰(zhàn)了“題海戰(zhàn)術(shù)”和“模型”訓(xùn)練，需要我們關(guān)注數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程，重視數(shù)學(xué)“過程與方法”教學(xué)，提高學(xué)生分析與綜合、歸納與概括的能力.“新定義”試題雖然知識新穎，但問題的解決仍然是運用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，試題的求解過程實質(zhì)上就是探索知識的發(fā)生、形成和運用的過程.這警示我們要加強數(shù)學(xué)概念的理解與解釋，數(shù)學(xué)規(guī)則的選擇與應(yīng)用，數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決的教學(xué)，并在長期的學(xué)習(xí)探索和實踐過程中，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維和解決問題的能力.

第三，“新定義”試題的解答過程蘊含著數(shù)學(xué)思想，需要設(shè)計解決問題的策略、過程和程序，這與課標(biāo)（2011年版）要求教學(xué)重視“基本思想”的領(lǐng)悟和“基本活動經(jīng)驗”的積累相一致.我們知道數(shù)學(xué)思想是探索和研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的主線，數(shù)學(xué)活動是伴隨學(xué)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)而設(shè)計的觀察、試驗、猜想、驗證、推理與交流、抽象概括、問題反思與建構(gòu)等活動.因此，我們應(yīng)在教學(xué)中摒棄只重視基礎(chǔ)知識和基本技能的做法，關(guān)注和重視基本思想和基本活動經(jīng)驗教學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

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[3]曹義釗.中考數(shù)學(xué)中“新定義”問題的類型及教學(xué)策略[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究，2016（24）：103-104.

[4]魏巍.2015年高考數(shù)學(xué)中的新定義型試題例析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（9）：60-61.