鞏瀟， 黃晉國(guó)， 陳泓宇， 王田苗， 梁建宏,*

(1. 工業(yè)和信息化部計(jì)算機(jī)與微電子發(fā)展研究中心 機(jī)器人測(cè)試實(shí)驗(yàn)室, 北京 100048；2. 北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100083； 3. 北京航空航天大學(xué) 高等理工學(xué)院, 北京 100083)

自從20世紀(jì)初，萊特兄弟創(chuàng)造出了能夠讓人類實(shí)現(xiàn)翱翔于天際的夢(mèng)想的飛機(jī)后，飛機(jī)的設(shè)計(jì)和相應(yīng)的理論得到了極大發(fā)展，特別是給人類的交通運(yùn)輸方式帶來(lái)了天翻地覆的變化。為了滿足人類各領(lǐng)域的發(fā)展需要，各種創(chuàng)新式的飛機(jī)不斷涌現(xiàn)，如為容納更多旅客的大型客機(jī)，為滿足高機(jī)動(dòng)性的直升機(jī)，還有能夠在水面起降的水上飛機(jī)等[1]。

在自然界中，水空兩棲的生物比比皆是，如各種海鳥、飛魚、飛行烏賊等，它們都是可以自如轉(zhuǎn)換水空運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的典型生物，而這種由自然界進(jìn)化而產(chǎn)生的特性，可以給人類的設(shè)計(jì)帶來(lái)極大的參考價(jià)值，依據(jù)自然界已有的生物，研究和分析其機(jī)理從而進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是仿生學(xué)的重要內(nèi)容。

起飛是所有飛行的關(guān)鍵，鳥類如何完成從地面(水面)到空中的轉(zhuǎn)變，不僅對(duì)其自身的活動(dòng)和生存至關(guān)重要，而且對(duì)研究鳥類從非飛行祖先的飛行進(jìn)化史也至關(guān)重要。目前已知的飛鳥翅膀看起來(lái)是完整的、功能齊全的，與之相比較，同樣體型結(jié)實(shí)、肌肉強(qiáng)勁的運(yùn)動(dòng)員卻不能躍起在空中飛翔，原因在于鳥類擁有可以支持其飛行的強(qiáng)勁肌肉和翼型，以及特有的進(jìn)化體型和運(yùn)動(dòng)方式。關(guān)于鳥類飛行的進(jìn)化問題的爭(zhēng)論已經(jīng)存在了幾十年了[2]，即第一個(gè)飛起來(lái)的生物是如何支撐自己的體重，以及這一套機(jī)理是如何完成的。所有假設(shè)都贊成無(wú)論從地面、樹木還是水面起飛的飛行進(jìn)化場(chǎng)景，都必須處理地(水)對(duì)空過(guò)渡問題，但飛行鳥類的起飛機(jī)制在很大程度上是未知的。起跳的力量是如何產(chǎn)生的，目前在任何鳥類中都還是未知的；翅膀和后肢的相對(duì)定量耦合作用也并未進(jìn)行過(guò)評(píng)估?？紤]到鳥類的后肢不直接支持翼型，但是在大多數(shù)飛行物種中并沒有減少或丟失，并且發(fā)展成現(xiàn)在常見的適合跳躍力學(xué)的三元四肢結(jié)構(gòu)[3]，可以推測(cè)它們可能會(huì)產(chǎn)生起飛所需的部分加速度。本文主要研究鸕鶿起飛過(guò)程中后肢腳蹼部分的力學(xué)建模和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證。

1 生物后肢運(yùn)動(dòng)

1.1 后肢力在起飛力學(xué)中的作用

Earls[4]通過(guò)高速攝像機(jī)和測(cè)力器研究歐洲瓊鳥和鵪鶉在起飛過(guò)程中腳部貢獻(xiàn)的速度，發(fā)現(xiàn)腳部在最初一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生80%～90%的起飛速度。Provini等[5]通過(guò)使用高速攝像機(jī)來(lái)觀察珍珠鳥和鉆石鴿，同時(shí)通過(guò)數(shù)字粒子圖像示蹤技術(shù)計(jì)算空氣動(dòng)力來(lái)測(cè)量由后肢產(chǎn)生的地面反作用力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在起飛后2個(gè)撲翼周期內(nèi)2種鳥的后肢均貢獻(xiàn)了絕大部分速度。Chen和Sun[6]通過(guò)研究蜂蠅快速起飛過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)加速度，同時(shí)利用CFD仿真求出蜂蠅翅膀的空氣動(dòng)力，從而估算起飛過(guò)程中其腿部的作用力，發(fā)現(xiàn)起飛時(shí)腿部作用力為體重的3倍[6]，結(jié)果如圖1所示。所以，后肢力在起飛過(guò)程起著非常重要的作用，對(duì)完全起飛前的加速和在空中平衡有很大的影響，因此本文研究十分有意義。

1.2 水鳥水面起飛

圖2 水鳥水面起飛Fig.2 Waterfowl taking-off from water surface

在自然界中，很多擁有飛行能力的水鳥在水面上起飛時(shí)都需要使用腳蹼不斷拍擊水面以獲得足夠的動(dòng)量支撐其在水面上的運(yùn)動(dòng)和加速前進(jìn)。如圖2所示，紅喉潛鳥在水面上起飛時(shí)被觀察到腳蹼會(huì)周期性地拍擊水面，當(dāng)滑行速度達(dá)到10 m/s時(shí)便可起飛，在此期間，腳蹼提供一部分前進(jìn)加速度以及在水面上的一部分支持力[7]；當(dāng)鴨子躲避天敵或者搜尋食物時(shí)，也會(huì)采用這種腳蹼助推模式的運(yùn)動(dòng)，利用腳蹼和撲翼在水面上奔跑，以減小波浪阻力的影響[8]；鸊鷉也是一種有類似行為模式的鳥類，其能在水上以10 Hz的頻率奔跑，產(chǎn)生的升力能支撐55%的體重；鸕鶿是一種典型的水面短距起飛生物，體長(zhǎng)0.84 m，全身密度為0.738 g/cm3, 翼載荷為1.58 g/cm2，腳掌載荷為25.3 g/cm2，翅膀和腳蹼的高頻拍擊運(yùn)動(dòng)使其助跑距離只需約5 m[9]。這些鳥類在水面上的運(yùn)動(dòng)模式相似，腳蹼拍水原理和腳蹼接觸水后的變化過(guò)程有很大關(guān)聯(lián)性[10]。

1.3 大型水面行走生物

1.3.1 蛇怪蜥蜴水面行走機(jī)理描述

對(duì)于目前的情況，除了蛇怪蜥蜴，對(duì)于定量分析大質(zhì)量和大密度生物水上機(jī)理特性的研究還比較少，但是對(duì)蛇怪蜥蜴在水面行進(jìn)的機(jī)理以及對(duì)其水動(dòng)力學(xué)的分析理論已經(jīng)發(fā)展了20年，從Glasheen和McMahon[11]在Nature上第一次提出完整的蛇怪蜥蜴腳蹼水動(dòng)力模型，研究者對(duì)蛇怪蜥蜴的探究便不斷深入。對(duì)于鸕鶿等水鳥，其與蛇怪蜥蜴有相似的運(yùn)動(dòng)特性和表現(xiàn)，利用這2種不同生物之間的共同點(diǎn)去定量分析鸕鶿腳蹼的水動(dòng)力模型，便能夠可靠地進(jìn)行腳蹼力建模。

大型水面行走生物如蛇怪蜥蜴和水鳥，如果擁有足夠大的接觸面積，人也可以直接站立于水面。但蛇怪蜥蜴和水鳥的腳蹼面積并不足以支撐其僅依靠浮力和表面張力在水面上行走，通過(guò)大量對(duì)蛇怪蜥蜴的研究[12-14]發(fā)現(xiàn)，這一類生物通過(guò)腳蹼連續(xù)交替拍擊水面來(lái)獲得足夠支持自身在重力方向上平衡的力。哈佛大學(xué)的Hsieh[15]在2003年利用高速攝像機(jī)記錄了蛇怪蜥蜴的水面運(yùn)動(dòng)過(guò)程，并將其水上前進(jìn)過(guò)程分為猛擊、滑動(dòng)、上揮、下?lián)]4個(gè)步態(tài)；2004 年，Hsieh和Lauder[13]通過(guò)PIV技術(shù)測(cè)量了蛇怪蜥蜴水上運(yùn)動(dòng)時(shí)的流場(chǎng)變化，并證明了蛇怪蜥蜴腿部垂直拍打水面時(shí)產(chǎn)生了最大的支撐力和推進(jìn)力。如圖3、圖4所示[15]，通過(guò)高速攝像機(jī)和PIV分析可知，蛇怪蜥蜴拍水的過(guò)程分為3個(gè)階段：①拍水階段，腳蹼垂直向下拍擊水面，推動(dòng)水體并遠(yuǎn)離水面，同時(shí)產(chǎn)生環(huán)繞腳蹼的空氣腔。②劃水階段，當(dāng)水被腳蹼向后推開時(shí)，腳蹼仍保持在空氣腔內(nèi)。③復(fù)位階段，腳蹼在離開水面的附近產(chǎn)生一個(gè)反方向推進(jìn)的渦環(huán)，表示將動(dòng)量轉(zhuǎn)移到流體中，該渦環(huán)直徑為3 cm，周圍水流向渦環(huán)中間，向下并與運(yùn)行方向相反，在空氣腔破碎前，腳蹼及時(shí)從水里抽出。

圖3 蛇怪蜥蜴的水面運(yùn)動(dòng)[15]Fig.3 Movement of basilisk lizard on water surface[15]

圖4 蛇怪蜥蜴腳蹼拍擊水面流場(chǎng)變化過(guò)程[15]Fig.4 Hydrodynamic process of basilisk lizard’s webbed-feet fluttering water[15]

1.3.2 鸕鶿腳蹼與蛇怪蜥蜴腳蹼相似性

蛇怪蜥蜴在水面奔跑時(shí)，腳蹼中心速度約為2.5 m/s，腳蹼特征長(zhǎng)度量級(jí)為10-2m，其弗勞德數(shù)均在該范圍內(nèi)[16]，約為7；鸕鶿腳蹼中心速度約為2～3 m/s，腳蹼特征長(zhǎng)度約為12 cm[9]，其弗勞德數(shù)范圍為3～8。經(jīng)過(guò)對(duì)比，蛇怪蜥蜴和鸕鶿在水面上運(yùn)動(dòng)的弗勞德數(shù)比較相近，所以這2種生物腳蹼在水面下的運(yùn)動(dòng)情況、空氣腔狀態(tài)和受力機(jī)理是相似的，因此可以通過(guò)分析蛇怪蜥蜴在水中的受力情況探討鸕鶿腳蹼的水動(dòng)力學(xué)建模。

由于鸕鶿和蛇怪蜥蜴在水中的運(yùn)動(dòng)軌跡相仿，所以研究蛇怪蜥蜴腳蹼中心在水中不同運(yùn)動(dòng)階段的力學(xué)模型和依據(jù)對(duì)鸕鶿腳蹼動(dòng)力學(xué)建模有很重要的意義。

2 鸕鶿腳蹼力學(xué)建模

2.1 鸕鶿腳蹼動(dòng)力學(xué)模型

Glasheen和McMahon[11]對(duì)蛇怪蜥蜴在水面上奔跑的行為進(jìn)行了高速攝像機(jī)錄像分析，在拍擊過(guò)程中，腳蹼力的沖量可以被表示為

Islap=mvirualupeak

(1)

式中:Islap、mvirual和upeak分別為拍水階段腳蹼的沖量、腳蹼質(zhì)量和腳蹼速度峰值。

如圖5所示，在劃水過(guò)程中，水靜態(tài)壓力和水動(dòng)態(tài)壓力組成水阻力。水阻力在豎直方向分量的積分為關(guān)于劃水時(shí)間的沖量：

(2)

式中：Drag(t)為水阻力；φ(t)為腳蹼與豎直方向的夾角。

在復(fù)位過(guò)程中，假設(shè)空氣腔破裂前蛇怪蜥蜴的腳已經(jīng)離開水面，因此豎直向下的力可以被忽略。Glasheen 和McMahon[14]又根據(jù)低弗勞德數(shù)的圓盤垂直入水實(shí)驗(yàn)測(cè)出劃水阻力的參數(shù)。弗勞德數(shù)是流體慣性力和重力的比值，用來(lái)表征部分淹沒物體穿過(guò)水的阻力大小[17]，其表達(dá)式為

(3)

式中：u為物體在水中速度，m/s；g為重力加速度；l為與水接觸特征長(zhǎng)度，m。

當(dāng)Fr=1～80時(shí)，圓盤在水中阻力表示為

Drag(t)=Cd(0.5Sρu2+Sρgh(t))

(4)

式中：Cd為阻力系數(shù)，約為0.703；ρ為水體密度，一般情況下為103kg/m3；S為圓盤與水有效接觸面積，m2；h(t)為物體在水中入水深度，m。

圖5 劃水階段受力Fig.5 Force in stroke stage

對(duì)于一個(gè)周期內(nèi)的鸕鶿腳蹼拍水運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)形式和弗勞德數(shù)均與蛇怪蜥蜴相近，因此假設(shè)Glasheen和McMahon[14]提出的水動(dòng)力學(xué)方程式(4)對(duì)分析鸕鶿腳蹼水中運(yùn)動(dòng)受力同樣適用。

根據(jù)式(4)中流體動(dòng)力學(xué)項(xiàng)和流體靜力學(xué)項(xiàng)進(jìn)行分析， 在流體動(dòng)力學(xué)項(xiàng)0.5Sρu2中，u為腳蹼中心在水下各處運(yùn)動(dòng)軌跡速度，可分解為水平方向速度ux和豎直方向速度uy：

ux=uxr+ucx

(5)

uy=uyr+ucy

(6)

式中：uxr、uyr為鸕鶿腳蹼中心相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系OXcYcZc的速度；ucx、ucy為質(zhì)心在對(duì)地坐標(biāo)系OXgYgZg中的速度。對(duì)于水下ux、uy不同狀態(tài)時(shí)，水動(dòng)力學(xué)假設(shè)與上相同。

考慮流體靜力學(xué)項(xiàng)Sρgh(t)，其本質(zhì)為阿基米德浮力，方向始終豎直向上。因此，根據(jù)式(4)，將腳蹼水動(dòng)力在豎直和水平方向的分量分解如下：

Dragv(t)=Cd(0.5Sρuy2+Sρgh(t))

(7)

Dragh(t)=Cd(0.5Sρux2)

(8)

2.2 鸕鶿腳蹼運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)[18-19]，鸕鶿在水面起飛階段，腳蹼拍擊水面的頻率與撲翼?yè)鋭?dòng)的頻率相等。與天鵝、鸊鷉、野鴨及紅喉潛鳥[7-10]等其他水鳥起飛時(shí)雙腳交替拍擊水面不同，鸕鶿在起飛時(shí)，雙腳隨著撲翼下?lián)湟积R拍擊水面，其2條腿動(dòng)作的節(jié)律和相位完全一樣，可以視為運(yùn)動(dòng)參數(shù)、幾何參數(shù)及受力情況完全相同的2個(gè)機(jī)構(gòu)，在分析和研究時(shí)，只需要分析單腿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力情況。

2.2.1 鸕鶿腿部運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型

根據(jù)觀察[18-19]，鸕鶿的腿部運(yùn)動(dòng)在二維平面上擁有3個(gè)自由度，分別為髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)。其中，髖關(guān)節(jié)角度為大腿和體軸夾角，膝關(guān)節(jié)角度為大腿和小腿夾角，踝關(guān)節(jié)角度為腳蹼平面和小腿夾角，如圖6所示。

在準(zhǔn)備入水前，髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)角度θ1和θ2達(dá)到最大，入水后大腿和小腿同時(shí)向后蹬，最后出水時(shí)膝關(guān)節(jié)角度幾乎為零，大腿和小腿保持在同一直線上出水。當(dāng)腳蹼在水中時(shí)，由于水花阻擋且其處于水面下，所以無(wú)法觀察到踝關(guān)節(jié)角度的變化，根據(jù)出入水瞬間踝關(guān)節(jié)角度為零以及鸕鶿在水池劃水時(shí)踝關(guān)節(jié)角度為零，假設(shè)鸕鶿腳蹼中心水下軌跡近似等于踝關(guān)節(jié)角度為零時(shí)的腳蹼中心軌跡。但同時(shí)假設(shè)鸕鶿在每個(gè)時(shí)刻為獲得最大水動(dòng)力，腳蹼平面會(huì)主動(dòng)改變平面角度以保持與腳蹼中心劃水速度的垂直，從而獲得每時(shí)刻的最大水動(dòng)力。

腳蹼運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為一個(gè)二維二自由度三連桿模型。如圖7所示，三連桿中l(wèi)1代表體軸，l2代表鸕鶿髖關(guān)節(jié)到膝關(guān)節(jié)的部分，l3代表鸕鶿膝關(guān)節(jié)到腳蹼中心的部分，l4代表體軸上髖關(guān)節(jié)到尾部的距離。

設(shè)定地面坐標(biāo)系表示為OXgYgZg，鸕鶿質(zhì)心坐標(biāo)系為OXcYcZc，并且為基底坐標(biāo)系，膝關(guān)節(jié)坐標(biāo)系為OX1Y1Z1，腳蹼中心坐標(biāo)系為OX2Y2Z2。

圖6 鸕鶿腿部關(guān)節(jié)角度及簡(jiǎn)化模型D-H 坐標(biāo)系Fig.6 Cormorant’s leg joint angle and simplified model D-H coordinate system

圖7 鸕鶿腿部模型機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.7 Schematic diagram of cormorant leg model

2.2.2 腿部D-H矩陣及雅可比矩陣分析

已知腿部各關(guān)節(jié)角度值，若要解析當(dāng)前腳蹼中心位置，則需要分析簡(jiǎn)化模型的D-H轉(zhuǎn)換。根據(jù)建立的坐標(biāo)系，D-H矩陣參數(shù)由表1表示。

表1 D-H 參數(shù)

注：序號(hào)1、2表示髖關(guān)節(jié)與膝關(guān)節(jié)的D-H轉(zhuǎn)換關(guān)系。

根據(jù)表1和D-H變換矩陣，可列出相鄰兩關(guān)節(jié)之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式cT1和1T2。因此，腳蹼質(zhì)心坐標(biāo)和腳蹼中心坐標(biāo)的總轉(zhuǎn)換矩陣為cT2=cT11T2，表達(dá)式如下：

(9)

(10)

(11)

假設(shè)腳蹼中心在OXcYcZc坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(X,Y,Z)，在OX2Y2Z2坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,0,0)，則由轉(zhuǎn)換矩陣可得

(12)

即

(13)

由式(13)求解鸕鶿腳蹼中心和關(guān)節(jié)角度的逆問題，表達(dá)式如下:

(14)

按照式(14)可求得鸕鶿腳蹼中心及其關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的正變換和逆變換。通過(guò)生物運(yùn)動(dòng)捕捉[20]，獲得鸕鶿腳蹼關(guān)節(jié)角度值隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，通過(guò)D-H矩陣可以轉(zhuǎn)化成鸕鶿腳蹼中心在質(zhì)心坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，從而計(jì)算和分析腳蹼中心在水下的速度和位移曲線，為腳蹼力計(jì)算提供輸入量。

研究鸕鶿腳蹼中心運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度是對(duì)水動(dòng)力影響的關(guān)鍵因素，所以依據(jù)雅可比矩陣可以求解出各關(guān)節(jié)速度和腳蹼中心速度的關(guān)系，下面是本文采用解析方法求解腳蹼中心雅可比矩陣的具體思路。

(15)

對(duì)于二維平面內(nèi)二自由度的關(guān)節(jié)和位移運(yùn)動(dòng)，根據(jù)雅可比矩陣定義[21]方法求

(16)

則可根據(jù)式(16)求出鸕鶿腳蹼中心和關(guān)節(jié)的雅可比矩陣：

(17)

通過(guò)雅可比矩陣，可根據(jù)關(guān)節(jié)角速度值解算出腳蹼中心速度，從而有效解算各類誤差。

3 鸕鶿腳蹼運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證

針對(duì)已有的鸕鶿視頻資料進(jìn)行生物運(yùn)動(dòng)學(xué)捕捉，通過(guò)對(duì)捕獲到的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)處理方法，獲得目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。分別對(duì)鸕鶿腳部關(guān)鍵關(guān)節(jié)角度值、鸕鶿的水平位移和豎直位移進(jìn)行數(shù)據(jù)捕捉實(shí)驗(yàn)，再獲得以上值在對(duì)應(yīng)時(shí)段每時(shí)刻數(shù)組后，繪制相應(yīng)軌跡圖和時(shí)間圖，討論鸕鶿水面起飛特點(diǎn)。

3.1 腿部關(guān)節(jié)角度值的捕捉

由于鸕鶿水面起飛過(guò)程持續(xù)時(shí)間較短且難以觀測(cè)，往往不易被高速攝像機(jī)捕捉或記錄。但是可以根據(jù)已有的鸕鶿起飛瞬間的慢速視頻來(lái)對(duì)鸕鶿髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)部位的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析和截取。根據(jù)現(xiàn)有影視資料[18-19]，其拍攝幀率為150幀/s，每幀時(shí)間為1/150 s?；贛ATLAB的圖形軌跡捕獲軟件，通過(guò)對(duì)視頻解析并將其分割成圖片幀來(lái)進(jìn)行每幀軌跡點(diǎn)的捕獲，軟件允許在同一幀內(nèi)捕獲多點(diǎn)或者連續(xù)多幀持續(xù)追蹤一點(diǎn)，但軟件的直接測(cè)量是某點(diǎn)相對(duì)于邊界坐標(biāo)系的坐標(biāo)，所以鸕鶿的關(guān)節(jié)角度值只能通過(guò)間接測(cè)量的方式求出。在第2節(jié)已知鸕鶿的腳蹼運(yùn)動(dòng)可視為二維平面內(nèi)的三連桿運(yùn)動(dòng)，髖關(guān)節(jié)角度值θ1為體軸l1與大腿l2的夾角，膝關(guān)節(jié)角度值θ2為大腿l2與小腿l3的夾角，可以通過(guò)向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)及反余弦函數(shù)來(lái)測(cè)量5個(gè)周期內(nèi)的角度值。為了能夠完整求解2個(gè)角度值，需要進(jìn)行以下5個(gè)點(diǎn)的捕捉，各點(diǎn)的相對(duì)位置如圖8所示，相應(yīng)的計(jì)算后處理如表2所示。

輸出數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)這種方法求出后，可初步分析出θ1和θ25個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的變化曲線，如圖9所示。

圖8 鸕鶿捕捉點(diǎn)標(biāo)記Fig.8 Tag of cormorant’s capture points

測(cè) 量 值橫坐標(biāo)表示縱坐標(biāo)表示AxAyABxByBCxCyCDxDyDExEyEθ1arccosdot([xA-xB,yA-yB],[xC-xD,yC-yD])norm([xA-xB,yA-yB],[xC-xD,yC-yD])()θ2arccosdot([xD-xE,yD-yE],[xD-xC,yD-yC])norm([xD-xE,yD-yE],[xD-xC,yD-yC])()

注：dot和norm在MATLAB中分別表示點(diǎn)乘和取模的函數(shù)。

圖9 髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)角度值擬合Fig.9 Fitting of angle of hip joint and knee joint

根據(jù)當(dāng)前插值得到鸕鶿腿部關(guān)節(jié)角度值數(shù)據(jù)，以及式(11)和式(17)的D-H轉(zhuǎn)換矩陣和雅可比矩陣計(jì)算可得鸕鶿腳蹼中心相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的軌跡，如圖10所示?？梢悦黠@看出，鸕鶿腳蹼中心運(yùn)動(dòng)軌跡與蛇怪蜥蜴有尺度上的縮放關(guān)系，所以進(jìn)一步說(shuō)明了這類水上奔跑生物的機(jī)理非常相近。

圖10 腳蹼中心軌跡Fig.10 Center trajectory of webbed-foot

3.2 位移的捕捉

捕捉鸕鶿在5個(gè)周期內(nèi)豎直方向和水平方向的運(yùn)動(dòng)軌跡[18-19]，因?yàn)椴蹲街禐橹苯訙y(cè)量值，所以不需要經(jīng)過(guò)間接計(jì)算得到。但是實(shí)際位移大小和視頻中截取到的位移大小存在等比例縮放，所以需要先對(duì)視頻進(jìn)行標(biāo)定，明確縮放比例尺。然后以鸕鶿喙尖為捕捉點(diǎn)，并以鸕鶿在水面上留下的水平劃痕為參考水平線，進(jìn)行豎直方向位移的捕捉。由于鸕鶿在水平方向移動(dòng)距離較大，所以視頻拍攝鏡頭在鸕鶿準(zhǔn)備超出邊界時(shí)跟隨鸕鶿身體移動(dòng)，已知拍攝地點(diǎn)距離鸕鶿較遠(yuǎn)，同時(shí)攝像機(jī)鏡頭移動(dòng)不明顯，視野廣角移動(dòng)較小，所以將攝像機(jī)視野角移動(dòng)視為無(wú)影響。鸕鶿在水平方向的移動(dòng)以喙尖為捕捉點(diǎn)，且以鸕鶿在水面上拍擊產(chǎn)生的水花中心為參考坐標(biāo)系，計(jì)算鸕鶿在每一幀內(nèi)與最近周期內(nèi)產(chǎn)生水花的距離，同時(shí)捕捉最近周期產(chǎn)生的水花與該周期處上一周期產(chǎn)生的水花之間的距離，最后將數(shù)據(jù)進(jìn)行疊加處理。為有效減少各種人為誤差帶來(lái)的影響，進(jìn)行5次運(yùn)動(dòng)軌跡捕捉，最后求取數(shù)據(jù)計(jì)算平均值。

正常成年鸕鶿的平均身長(zhǎng)為84 cm[9]，以此身體長(zhǎng)度數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)，在視頻軌跡捕捉中，每一幀分別標(biāo)定頭和尾部?jī)牲c(diǎn)A和B，并計(jì)算兩點(diǎn)距離|lAB|，求取比例尺k，其表達(dá)式如下：

(18)

相關(guān)參數(shù)表示如表3所示。

因?yàn)槲灰屏渴情L(zhǎng)度量，所以可直接通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算再經(jīng)比例縮放求得。豎直位移量的計(jì)算需要對(duì)3點(diǎn)A、M、N進(jìn)行捕捉，其中A表示鸕鶿喙尖坐標(biāo)點(diǎn)，M、N表示鸕鶿水面路徑方向上兩點(diǎn)。豎直位移量實(shí)際上是喙尖坐標(biāo)點(diǎn)到水面路徑的垂直距離，采用點(diǎn)到直線距離公式求解，相關(guān)參數(shù)表示如表4所示。表中：Sv為豎直方向位移。

利用參考系變換的差值計(jì)算方式求解水平方向的位移，對(duì)每幀圖像中出現(xiàn)的水花中心進(jìn)行捕捉，表示為點(diǎn)X1,X2,…,Xn，同時(shí)捕捉鸕鶿喙尖坐標(biāo)點(diǎn)A。在每幀圖像中，標(biāo)記距離當(dāng)前喙尖最近的水花中心點(diǎn)Xi(i= 1,2,…,n)，對(duì)于5個(gè)周期內(nèi)每時(shí)刻鸕鶿起飛水平方向位移表示為

(19)

式中：dj為第j個(gè)水花中心與第j-1個(gè)水花中心的水平距離；di為當(dāng)前鸕鶿喙尖與當(dāng)前水花中心點(diǎn)Xi的水平距離。

相關(guān)參數(shù)表示如表5所示。

為防止較大誤差產(chǎn)生，對(duì)同一范圍圖像幀多次取值，共捕捉5次數(shù)據(jù)，在最后計(jì)算時(shí)求平均值，以減小誤差值。根據(jù)捕捉結(jié)果計(jì)算繪制了鸕鶿豎直和水平位移-時(shí)間曲線、鸕鶿運(yùn)動(dòng)軌跡豎直-水平位移曲線，如圖11所示。

表3 比例尺測(cè)量值表示

表4 豎直方向位移測(cè)量值表示

表5水平方向位移測(cè)量值表示

Table5Expressionofhorizontaldisplacementmeasurement

測(cè) 量 值橫坐標(biāo)表示縱坐標(biāo)表示AxAyAX1x1y1X2x2y2???XnxNyNSh(x-xi)+∑ij=2(xj-xj-1)k

可以看出，鸕鶿在5個(gè)周期內(nèi)的水平移動(dòng)距離達(dá)到5 m，平均速度約為6.5 m/s，其在豎直方向的位移在固定高度上波動(dòng)，在起飛期間周期內(nèi)，撲翼力在豎直方向上產(chǎn)生的動(dòng)量不足以抵消重力，腳蹼力在其中為支撐鸕鶿身體保持在水面平穩(wěn)前進(jìn)有一定貢獻(xiàn)。

圖11 鸕鶿豎直、水平位移-時(shí)間曲線及運(yùn)動(dòng)軌跡豎直-水平位移曲線Fig.11 Vertical, horizontal displacement-time curve and vertical-horizontal displacement curve of cormorant

4 結(jié) 論

為研究如何設(shè)計(jì)跨海空航行器以使其在水面上能夠較短時(shí)間內(nèi)成功起飛，依據(jù)仿生學(xué)理論，研究類似水空兩棲生物的起飛機(jī)理。鸕鶿具有密度大、體重比一般水鳥重(約為3 kg)，且羽毛吸水性較強(qiáng)的特性，在一定程度上與要設(shè)計(jì)研發(fā)的跨海空航行器有很大的共通性，同時(shí)鸕鶿在水面上起飛的性能十分優(yōu)越，其可以在幾秒內(nèi)快速起飛，所以選擇鸕鶿作為研究對(duì)象具有很大潛在價(jià)值。而要參考自然界生物的特性，需對(duì)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)理有明確的認(rèn)識(shí)，才能設(shè)計(jì)出符合實(shí)際鸕鶿起飛效果的仿生樣機(jī)。

本文從后肢力重要性及對(duì)比不同生物水上行走機(jī)理引出大型水上奔跑生物的水動(dòng)力產(chǎn)生機(jī)理及此類生物之間運(yùn)動(dòng)的相似性，通過(guò)對(duì)蛇怪蜥蜴腳蹼力的研究和模型分析，推算鸕鶿水面起飛的腳蹼力動(dòng)力學(xué)模型；針對(duì)鸕鶿腿部的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行D-H轉(zhuǎn)換矩陣和雅可比矩陣分析，從而得到鸕鶿腿部關(guān)節(jié)角度值與腳蹼運(yùn)動(dòng)中心的位移和速度的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為之后驗(yàn)證模型提供運(yùn)動(dòng)學(xué)轉(zhuǎn)換模塊。

針對(duì)現(xiàn)有鸕鶿水面起飛運(yùn)動(dòng)視頻進(jìn)行分析，并對(duì)鸕鶿腿部關(guān)節(jié)角度值、水平位移和豎直位移進(jìn)行數(shù)據(jù)捕捉和處理，為今后的仿真模型驗(yàn)證提供了可供驗(yàn)證的輸入輸出數(shù)據(jù)。由分析可知，鸕鶿在5個(gè)拍動(dòng)周期內(nèi)的水平移動(dòng)距離達(dá)到5 m，平均速度約為6.5 m/s，其在豎直方向的位移在固定高度上波動(dòng)，說(shuō)明在起飛期間周期內(nèi)撲翼力在豎直方向上產(chǎn)生動(dòng)量不足以抵消重力，腳蹼力在其中為支撐鸕鶿身體保持在水面平穩(wěn)前進(jìn)有一定貢獻(xiàn)。

致謝感謝北京航空航天大學(xué)機(jī)器人研究所ITR智能技術(shù)與機(jī)器人研究中心。