張宇靖， 鐘睿

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100083)

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)是由系繩連接繩端衛(wèi)星構(gòu)成的空間系統(tǒng)[1]。繩系衛(wèi)星系統(tǒng)表現(xiàn)出了廣闊的應(yīng)用前景，如空間發(fā)電、構(gòu)建空間結(jié)構(gòu)和拖拽離軌等，是近年來航天研究熱點之一[2]?？臻g繩系拖拽離軌是借助飛網(wǎng)等機(jī)構(gòu)抓捕，并利用系繩連接主星和目標(biāo)，由主星機(jī)動，實現(xiàn)目標(biāo)拖拽轉(zhuǎn)移的新概念在軌操作技術(shù)[3-5]。在空間碎片主動移除技術(shù)中，空間繩系拖拽離軌是一種較為高效和具有應(yīng)用前景的技術(shù)。

在實際拖拽離軌任務(wù)中，系繩的擺動會引起主星的擾動，進(jìn)而影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定，因此如何抑制離軌過程中的系繩擺動是拖拽離軌任務(wù)的一個關(guān)鍵問題。目前已有一些相關(guān)的理論研究但還不廣泛。文獻(xiàn)[6]進(jìn)行了圓軌道上繩系系統(tǒng)捕捉目標(biāo)的動力學(xué)研究。文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步進(jìn)行了雙繩系系統(tǒng)進(jìn)行碎片主動移除的動力學(xué)研究。基于直接算法的最優(yōu)控制理論被廣泛應(yīng)用于系繩回收控制領(lǐng)域，直接算法以其通用性能夠很好地實現(xiàn)非線性動力學(xué)過程控制而避免對動力學(xué)本身的討論。在這一領(lǐng)域，Williams[8]、Wen等[9]的研究具有代表性。文獻(xiàn)[10]研究得到繩系系統(tǒng)星體姿態(tài)擺動將激發(fā)系統(tǒng)高階擺動并影響繩系系統(tǒng)的穩(wěn)定，文獻(xiàn)[11]對此提出保持系數(shù)張力下抑制廢星姿態(tài)擺動的控制方法并且文獻(xiàn)[12]對此方法進(jìn)行了進(jìn)一步研究。

繩系系統(tǒng)的運動學(xué)具有強(qiáng)非線性，而且拖拽離軌過程中存在許多約束。故而需要在考慮這些約束因素下設(shè)計合適的控制律抑制拖拽離軌過程中系繩擺動。從20世紀(jì)70年代開始，針對具有復(fù)雜約束優(yōu)化需求的控制問題，多年來大量工業(yè)實際中的成功應(yīng)用表現(xiàn)出預(yù)測控制在解決這類問題的優(yōu)勢[13-15]。本文針對霍曼變軌推力段的繩系系統(tǒng)系繩擺振抑制問題，建立了軌道平面內(nèi)繩系系統(tǒng)動力學(xué)模型；以最優(yōu)化結(jié)果為參考軌跡、非線性模型預(yù)測控制方法為基礎(chǔ)設(shè)計繩系系統(tǒng)拖拽離軌過程系繩平穩(wěn)控制律，并通過仿真驗證了控制方法的跟蹤能力。

1 繩系系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 建模假設(shè)和坐標(biāo)系定義

為突出關(guān)鍵問題，做如下假設(shè)，主要考慮系繩和主星的面內(nèi)姿態(tài)運動，即假設(shè)主星的滾轉(zhuǎn)角、偏航角，以及系繩的面外擺角為小角度，目標(biāo)視為質(zhì)點；不考慮系繩的彈性和質(zhì)量；忽略除重力外的其余空間干擾力，主動力僅考慮推力，作用于主星質(zhì)心；忽略除重力梯度力矩外干擾力矩，控制力矩作用于主星。

首先建立軌道坐標(biāo)系So，zo軸沿地心連線方向由地球指向繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(TSS)質(zhì)心，xo軸位于TSS質(zhì)心軌道平面內(nèi)與zo軸垂直并指向軌道運動方向，yo軸遵循右手準(zhǔn)則，三軸單位矢量依次為eox、eoy和eoz。另外定義TSS本體坐標(biāo)系Sb，zb軸沿著系繩指向主星，xb軸垂直系繩且在軌道平面內(nèi)，三軸單位矢量依次為ebx、eby和ebz。為描述主星姿態(tài)運動，定義主星本體坐標(biāo)系Sb1(三軸單位矢量依次為eb1x、eb1y和eb1z)，記Sb1相對軌道坐標(biāo)系So的滾動、俯仰和偏航角分別為φ1、θ1、ψ1(3—1—2旋轉(zhuǎn)順序)。繩系系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 繩系系統(tǒng)坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic of coordinate system of tethered system

1.2 簡化動力學(xué)方程

利用上述假設(shè)，整個主星拖拽系統(tǒng)可以由包含系繩長度、系繩面內(nèi)外擺角和主星姿態(tài)角，將動力學(xué)方程線性化，消去高階項可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程[16]。為簡化研究，忽略系統(tǒng)面外運動，本文研究霍曼變軌的第一次推力過程，主星初始位于同步軌道，變軌目標(biāo)為墳?zāi)管壍?，因此系統(tǒng)運行的橢圓軌道偏心率很小，可以認(rèn)為是圓軌道。在偏置耦合力當(dāng)中引入上述假設(shè)，并忽略包括二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的高階小量。

簡化繩系系統(tǒng)的動力學(xué)方程式為[17]

(1)

(2)

(d1zsin(θ1-φ)+d1xcos(θ1-φ))Fte+T1y

(3)

式中：φ為系繩面內(nèi)擺角(軌道坐標(biāo)系So繞其y軸旋轉(zhuǎn)φ得到TSS本體坐標(biāo)系Sb)；I1x、I1y和I1z為主星三軸慣量；T1y為主星y軸控制力矩大?。籉te為系繩張力；m1和m2分別為主星、子星的質(zhì)量；m為系統(tǒng)總質(zhì)量；l為系繩原長；ωo為軌道角速度；d1x、d1z分別為主星上x、z方向上的繩系點偏置大??；Fp為主星發(fā)動機(jī)推力大??；αp為主星發(fā)動機(jī)推力相對于軌道運動方向的夾角。動力學(xué)方程式(1)～式(3)形式較為簡單，利用了小角度假設(shè)，因此僅供穩(wěn)定控制器設(shè)計所用。

為處理方便，采用的無量綱時間和無量綱長度分別為

(4)

式中：lt為單位繩長，可取為變軌前的TSS繩長。

做如下定義:

(5)

則可將式(5)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式的系統(tǒng)動力學(xué)方程，x′=f(x,u)展開如下:

(6)

(7)

2 基于最優(yōu)化求參考軌跡

參考軌跡采用最優(yōu)化的方法求得。最優(yōu)化方法一般描述為：尋找狀態(tài)和控制，使得性能指標(biāo)達(dá)到最小，同時滿足包括系統(tǒng)狀態(tài)方程，一系列始末約束和過程約束在內(nèi)的所有約束條件。下面針對由主星俯仰運動和系繩面內(nèi)擺振組成的主星系統(tǒng)面內(nèi)運動，具體分析應(yīng)采用的性能指標(biāo)和應(yīng)滿足的約束條件，以建立最優(yōu)問題。

2.1 性能函數(shù)選取

希望在最短的時間內(nèi)完成所需的脈沖，因此將問題視為時間最短的最優(yōu)問題，其性能函數(shù)為

(8)

2.2 控制約束

1) 始末約束

在開始變軌推力之前，繩系系統(tǒng)初值為

(9)

式中：φ0為系繩面內(nèi)擺角初值，π/2-φmax≤φ0≤π/2+φmax，φmax為系繩面內(nèi)擺角所允許的最大幅值。

變軌推力結(jié)束之后，繩系系統(tǒng)回到水平狀態(tài)，且繩長變化在可接受的范圍內(nèi)，終值狀態(tài)如下：

(10)

式中：Λmin為出于防碰撞安全考慮所定義的最短無量綱繩長；Λmax為硬件所限最大的無量綱繩長。

2) 過程約束

系統(tǒng)的狀態(tài)變量應(yīng)滿足系統(tǒng)動力學(xué)方程。對于控制量實際上也必然是有一個限度的。對控制量的約束這里主要考慮主星發(fā)動機(jī)推力方向φp的約束。

為了保證安全性，約束如下：

系繩面內(nèi)擺角π/2-φmax≤φ≤π/2+φmax；主星俯仰角π/2-θ1max≤θ1≤π/2+θ1max；主星發(fā)動機(jī)推力方向αp,min≤αp≤αp,max；優(yōu)化過程中對其他工程中重要性更低的量不做約束。其中φmax為系繩面內(nèi)擺角所允許的最大幅值；?1max為主星俯仰運動所允許的最大幅值；αp,min為主星發(fā)動機(jī)推力方向所能達(dá)到的最小值，αp,max為主星發(fā)動機(jī)推力方向所能達(dá)到的最大值。

最后，整個推力段為避免系繩松弛，系繩的張力為非負(fù)。

(11)

3) 時間約束

顯然推力時間不可能是不受限的，最短時間應(yīng)為推力方向一直維持軌道速度方向時，達(dá)到所需速度增量的時間，其表達(dá)式為

(12)

式中：ΔVp1為主星霍曼變軌第一段所需速度增量，其表達(dá)式為

(13)

其中：r1和r2分別為變軌前后的軌道半徑。

最大時間可人為設(shè)定，無量綱化即有

(14)

4) 推力約束

假定推力時間相對軌道周期而言很小(這個假設(shè)在同步軌道是成立的)，有限推力段在整個變軌過程中可以等效為脈沖推力，則推力提供的沖量在軌道方向應(yīng)提供霍曼變軌所計算的速度增量，而在垂直軌道方向為0，即

(15)

(16)

至此，系統(tǒng)面內(nèi)運動的最優(yōu)控制問題已經(jīng)建立：尋找滿足控制約束的狀態(tài)和控制集合，使得如式(8)所示的性能指標(biāo)最小。

2.3 最優(yōu)問題求解

本研究采用Legendre-Gauss-Lobatto(LGL)偽譜法，直接LGL偽譜法是目前應(yīng)用最廣的偽譜方法之一[18]，具有較高的收斂速度并且能方便地處理高階導(dǎo)數(shù)，本文僅將此方法作為求解參考軌跡的方法，優(yōu)化方法本身不是本文的重點。通過偽譜法將問題化為一個帶約束的非線性規(guī)劃問題，有成熟的尋優(yōu)方法可以利用，本文采用MATLAB軟件自嵌的函數(shù)fmincon進(jìn)行求解。通過求解這個最優(yōu)控制問題得到參考軌跡。

3 基于非線性模型預(yù)測控制律設(shè)計

3.1 模型離散化

為了設(shè)計控制器，首先要將連續(xù)時間系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為離散時間系統(tǒng)。將第1節(jié)得到的非線性連續(xù)時間系統(tǒng)x′=f(x,u)在(x(t),u(t-1))處線性化得到如下線性時變系統(tǒng)[19]：

Bt(u(t)-ur(t))

(17)

式中：xr(t)為參考狀態(tài)；ur(t)為參考控制量，由第1節(jié)給出;At和Bt的計算公式如下：

(18)

設(shè)定系統(tǒng)的采樣周期為T，得到離散化系統(tǒng)如下[20]：

x(k+1)=fd(x(k),u(k))=

Ad,tx(k)+Bd,tu(k)+dd,t

(19)

式中：

(20)

dd,t=xr(k+1)-Ad,txr(k)-Bd,tur(k)

(21)

其中：I為單位向量。

3.2 性能函數(shù)選取

模型預(yù)測控制的目標(biāo)就是跟蹤期望的主星的三軸姿態(tài)和系繩擺角，即跟蹤參考軌跡。在離軌拖拽過程中，對于給定的主星參考姿態(tài)及系繩參考擺角，使得在空間拖拽過程中，主星姿態(tài)和系繩擺角的模型預(yù)測控制下的軌跡與最優(yōu)化得到的參考軌跡相同。因此以主星姿態(tài)和系繩擺角速度跟蹤誤差、控制力矩和終端誤差作為優(yōu)化目標(biāo)，建立性能函數(shù)如下[15]：

e(Np)TPe(Np)

(22)

式中：e(k)為跟蹤誤差；Q、R和P為相應(yīng)的跟蹤誤差、控制量和終端加權(quán)矩陣；Np和Nu分別為預(yù)測和控制時域。

3.3 主星姿態(tài)和系繩擺角的預(yù)測

利用繩系系統(tǒng)當(dāng)前時刻k的信息x(k)，包括主星姿態(tài)、系繩繩長和繩長變化，得到k時刻非線性離散狀態(tài)空間模型如下[20]：

(23)

設(shè)定預(yù)測時域為Np，則可以根據(jù)繩系系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)信息，利用離散化的繩系系統(tǒng)動力學(xué)及運動學(xué)方程，經(jīng)過迭代計算，得到預(yù)測時域Np內(nèi)的繩系系統(tǒng)狀態(tài)信息：

(24)

式中：x(k|k)=x(k)；y(k+i|k)為k時刻對未來k+i時刻系統(tǒng)輸出y(k+i)的預(yù)測值；u(k+i|k)為k時刻計算k+i時刻作用于系統(tǒng)的控制量。

因此得到預(yù)測時域Np內(nèi)的控制量{u(k),u(k+1),…,u(k+Np-1)}。同時假設(shè)在區(qū)間[Np，Nu]內(nèi)控制量保持不變，則可以得到

u(k+Nu-1)=u(k+Nu)=…=

u(k+Np-1)

(25)

因此利用繩系系統(tǒng)狀態(tài)模型和系統(tǒng)過去的控制量或輸出量，通過以上迭代計算出系統(tǒng)Np步預(yù)測輸出為

y(k)=(y(k+1|k),y(k+2|k),…,

y(k+Np|k))

(26)

3.4 控制約束

1) 始末約束

在開始變軌推力之前，繩系系統(tǒng)處于水平狀態(tài)，變軌推力結(jié)束之后，繩系系統(tǒng)回到水平狀態(tài)，這里約束和求解最優(yōu)問題中的相同。

2) 過程約束

系統(tǒng)的狀態(tài)變量應(yīng)滿足系統(tǒng)動力學(xué)方程。

模型預(yù)測控制過程約束包含跟蹤誤差的約束，對于狀態(tài)過程跟蹤誤差約束如下：

系繩面內(nèi)擺角跟蹤誤差-Δφmax≤Δφ≤Δφmax；主星俯仰運動跟蹤誤差-Δθ1max≤Δθ1≤Δθ1max。

優(yōu)化過程中對其他工程中重要性更低的量不做約束。其中Δφmax為系繩面內(nèi)擺角跟蹤誤差所允許的最大幅值；Δθ1max為主星俯仰運動跟蹤誤差所允許的最大幅值。

系繩張力約束與最優(yōu)問題中約束相同。

3) 推力約束

這里約束和求解最優(yōu)問題中的相同。

3.5 非線性模型預(yù)測控制律實現(xiàn)

為了方便運算，將跟蹤誤差加權(quán)矩陣、控制力矩加權(quán)矩陣和終端加權(quán)矩陣設(shè)計為單位矩陣。并由式(19)和以上步驟可以形成如下滿足目標(biāo)所要求的約束條件的繩系系繩擺振抑制控制的優(yōu)化問題[15]。

(27)

同樣通過偽譜法將問題化為一個帶約束的非線性規(guī)劃問題，并采用MATLAB軟件自嵌的函數(shù)fmincon進(jìn)行求解。

4 基于非線性模型預(yù)測控制方法仿真驗證

取仿真參數(shù)如下：主星初始俯仰角為90°(90°為水平)，俯仰角速度為0；系繩初始擺角85°(90°為水平)，初始擺角速度為0。且繩系系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

設(shè)定拖拽約束要求如下：最短繩長10 m，最大繩長1 000 m；主星的姿態(tài)角擺動幅度不大于2°，姿態(tài)角速度不大于0.2 (°)/s；系繩擺動幅度不大于5 (°)/s，擺動角速度不大于0.2 (°)/s。主星推力方向最小值-π/4，主星推力方向最大值π/4。

設(shè)定模型預(yù)測控制誤差約束：系繩面內(nèi)擺角跟蹤誤差所允許的最大幅值0.1°；主星俯仰運動跟蹤誤差所允許的最大幅值0.1°。

通過最優(yōu)化方法求的最優(yōu)軌跡即參考軌跡如圖2所示。使用模型預(yù)測控制得到的跟蹤路徑和最優(yōu)化得到的參考軌跡的對比，如圖3所示。

從圖2中不難發(fā)現(xiàn)：采用最優(yōu)化方法得到的參考軌跡能使實際離軌拖拽繩系系統(tǒng)回到水平位置，并使系繩面內(nèi)擺角和主星俯仰角滿足約束要求，且系繩出于緊繃狀態(tài)。而且過程比較平滑。說明最優(yōu)化得到的參考軌跡是可用的。

從圖3中可以看到：模型預(yù)測控制下的跟蹤路徑的各狀態(tài)很好地跟蹤了最優(yōu)路徑即最優(yōu)化得到的參考路徑。并且繩系系統(tǒng)的狀態(tài)控制在了約束范圍內(nèi)，即系繩面內(nèi)擺角和主星俯仰角滿足約束要求且系繩出于緊繃狀態(tài)。而且明顯可以通過縮小誤差約束范圍來提高跟蹤效果，但這樣又勢必提高計算量。又能從圖3看到，模型預(yù)測控制下的除了系繩面內(nèi)擺角速度外，其他跟蹤路徑比較平滑，但系繩面內(nèi)擺角速度抖動比較厲害，不夠平滑，如工程需要，須在跟蹤控制中對擺角速度誤差適當(dāng)約束。模型預(yù)測算法具有在線優(yōu)化的特點，魯棒性較好，但是其計算量較大的問題需要在今后進(jìn)一步研究。

表1 繩系系統(tǒng)參數(shù)

圖2 系繩面內(nèi)擺角、系繩面內(nèi)擺角速度、主星俯仰角、主星俯仰角速度和繩速的實際路徑和最優(yōu)路徑Fig.2 Actual path and optimal path of tether’s in-plane swing angle, tether’s in-plane swing angular velocity, main satellite pitching angle, main satellite pitching angular velocity and tether speed

圖3 系繩面內(nèi)擺角、系繩面內(nèi)擺角速度、主星俯仰角、主星俯仰角速度和繩速的跟蹤路徑和最優(yōu)路徑Fig.3 Tracking path and optimal path of tether’s in-plane swing angle, tether’s in-plane swing angular velocity, main satellite pitching angle, main satellite pitching angular velocity and tether speed

5 結(jié) 論

1) 考慮主星姿態(tài)、系繩擺角穩(wěn)定、系繩張力為正、系繩長度變化有限等約束，針對繩系系統(tǒng)拖拽離軌推力作用過程中系繩擺振的抑制問題，進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)軌跡求解，最優(yōu)軌跡在滿足變軌速度增量要求的同時實現(xiàn)了推力時間最短。

2) 仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的非線性模型預(yù)測控制方法很好地跟蹤了最優(yōu)軌跡，并且滿足控制約束條件；在變軌推力作用下主星姿態(tài)和系繩擺動穩(wěn)定，且動態(tài)過程平滑。