/許吳山 陳修文

【設計理念】

2018年3月，我有幸參加了第13屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評（南通賽區(qū)），上課課題是蘇科版九年級上冊第一章“一元二次方程”的章節(jié)起始課。經過精備、試上、研討、打磨、上課環(huán)節(jié)，最終以數學組第一的名次直接晉級。反思這一過程，我認為取勝之處在于“高立意”。本文結合課堂實錄，談談“高立意”下的章節(jié)起始課如何思考、怎樣操作，與同行交流。

作為初三章節(jié)起始課，本節(jié)課的定位就顯得格外重要。首先要完成本節(jié)課的教學目標——學習一元二次方程的概念；其次要考慮對本章內容的統領作用，為后續(xù)學生進一步研究一元二次方程的解法和應用奠定堅實的基礎；最后作為初三內容，學生需要對初中學習過的方程有整體的認識，應理清各方程間的聯系與區(qū)別，形成研究方程的一般性思路和方法?；谝陨峡紤]，我認為本節(jié)課的設計是充滿挑戰(zhàn)的。以下是主要教學環(huán)節(jié)。

一、情境引入

生活中處處有數學，學校數學興趣小組進行了一天的觀察和記錄，老師節(jié)選了其中一部分：

（1）教學樓有一塊面積為4m2的正方形文化墻。

（2）羽毛球場上正在進行一場比賽，比賽規(guī)則：贏一場得2分，輸一場得1分，初二（1）班賽了12場后積20分。

（3）跑道上小明、小強正參加100m跑，小強的速度是小明的1.1倍，結果小強成績比小明快1.2s。

（4）走廊上有一個長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離多1m。

（5）圖書館2016年藏書5萬冊，到了2018年藏書達到了7.2萬冊，管理員告訴學生16～17，17～18每年藏書平均增長的百分率相同。

活動：根據實際情境提出問題、找出等量關系、設出未知數并列出方程。

學生可以得到如下方程：

（設計意圖：本情境節(jié)選了數學興趣小組的一段記錄內容，從學生生活中熟悉的文化墻、羽毛球比賽、100米跑、梯子以及圖書館藏書出發(fā)，只呈現數據，不給問題。讓學生根據實際情境提出問題、找出等量關系、設出未知數并列出方程。通過預設，學生可以列出一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程和本節(jié)課的一元二次方程，設計的方程十分巧妙，具有典型意義并貫穿本節(jié)課始終?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學教學應體現數學概念的問題情境，從學生的實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過觀察、探索、猜測、交流、反思等活動。逐步體會數學知識的意義，獲得積極的情感體驗，發(fā)展應用數學知識的意義。本環(huán)節(jié)的設計是與之高度契合的。）

二、概念歸納

二次呈現情境中得到的方程，對方程進行分類。

問題1：你能從中找出哪些是我們比較熟悉、曾經學習過的方程嗎？

問題2：你能分別說出它們是我們曾經所學習的哪一類方程，并說明理由嗎？

生 1：2x+（12－x）＝20 是一元一次方程，因為它只有一個未知數，并且未知數的次數是1，等號兩邊都是整式。

生 2：x+y＝12 和 2x+y＝20 都是二元一次方程，因為它們有兩個未知數，并且未知數的次數都是1，等號兩邊都是整式。

師：觀察得很仔細，表述的也非常恰當。請大家接著思考。

問題3：經過剛剛的回憶，不禁引發(fā)我們思考：方程的命名、定義主要取決于哪些因素？

生：未知數的個數、未知數的次數、未知數的位置。

問題 4：對比（2）（3），你能說出（1）（4）（5）三個方程的特點嗎？

生：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，等號兩邊都是整式。

問題5：你能給我們的新研究對象命名和下定義嗎？

生：我們可以稱它們?yōu)橐辉畏匠獭?/p>

定義為：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。

（設計意圖：二次呈現從實際情境中得到的方程，通過設計問題串引導學生觀察、比較、類比、概括，最終自己建構出一元二次方程的定義。讓學生親歷知識的形成過程，加深對概念的理解，并對所學的各類方程都有比較清楚的認識和理解，也為本節(jié)課的研究奠定了堅實的基礎與方向。）

三、概念辨析

你能識別下列方程中的一元二次方程嗎？

生 1：（1）（3）（5）是的，因為它們都只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2。

生 2：（5）x2－3＝（x－1）（x+2） 不是一元二次方程，因為如果化簡后左右兩邊的x2抵消了。

師：生2觀察的非常仔細，此題也提醒我們要判斷一個方程是不是一元二次方程，化簡是非常必要的，這樣的情況其實在實際情境中我們就遇到了。

師：只有把方程化簡整理才能準確判斷是不是一元二次方程，具體就是把方程右邊的項全都移到左邊合并同類項，而且所有的一元二方程都可以做這樣的化簡，你能概括出一元二次方程的一般形式嗎？

生：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數，a≠0）。其中 ax2、bx、c分別為二次項、一次項、常數項，a，b分別為二次項系數、一次項系數。

師：通過剛剛的探討研究，我們又進一步得出一元二次方程的一般形式，加深了對一元二次方程的理解。

（設計意圖：通過對一元二次方程的識別，加深對概念的理解，并讓學生意識到化簡方程的必要性從而總結出一元二次方程的一般形式。）

四、反思收獲

今天這節(jié)課你有何收獲？

生：我們學習了一元二次方程的定義，了解了它的一般形式。

師：接下來你將如何研究一元二次方程？

生：解法。

師：回歸情境中的方程：如何解x2＝4？

生：x1＝2，x2＝-2（舍去）。

師：那么 x2－4＝0 呢？

師：你能試著說說你是如何思考的嗎？

（設計意圖：通過設計問題引發(fā)學生進一步對探尋一元二次方程解法的思考。這里用到的數學思想是把一元二次方程通過降次轉化為一元一次方程。用到的具體方法為平方根的定義、因式分解。）

【團隊推薦】

1．關注學生的自主學習。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，數學教學應體現數學概念的問題情境，從學生的實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生經歷觀察、探索、猜測、交流、反思等活動。在磨課過程中，許吳山老師嘗試過給出四五個問題，讓學生直接根據問題情境找到等量關系，設出未知數并列出方程。上完后總是感覺缺少了學生自主學習、自主提問的過程，缺少了數學味道、思維味道。學生在前面已經學習過了一元一次方程，二元一次方程（組），分式方程，學生具備了研究方程及其后續(xù)問題的經驗。一元二次方程是一節(jié)生長課，生長課要由學生自主探究，自主學習。最后將本節(jié)課問題情境設置為數學興趣小組的一段記錄內容，從學生生活中熟悉的文化墻、羽毛球比賽、100米跑、梯子以及圖書館藏書出發(fā)，只呈現數據，不給問題。這樣問題情境是開放性的，給學生充分自主學習，自主提問的過程。問題情境創(chuàng)設是這節(jié)課的一大亮點，它既關注現實生活中的二次方程背景，又考慮不同方程類型前后一致、邏輯連貫的特點，更重要的是關注了學生的自主學習，提高了學生學習的興趣，提升了學生數學核心素養(yǎng)。

2.關注知識的整體框架。

人教社編審章建躍先生說：“數學的整體性既體現在代數、三角、幾何等各部分數學知識的相互聯系上，也體現在同一部分內容之間的前后邏輯性上。”在義務教育階段的授課內容中，一元二次方程的內容是方程的核心內容之一。一元二次方程是學生初中研究的最后一類方程，學生已具備研究一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程的學習經驗。本節(jié)課沒有僅僅從一元二次方程的問題情境出發(fā)，而是在問題情境中設計了所學過的所有方程。通過經歷列出方程，歸納概括出一元二次方程的定義的過程，學生能夠辨別出各類方程的相同點和不同點，學生能夠對初中學習過的方程形成一個整體框架結構，理清各方程間的聯系與區(qū)別，這樣達到形成研究方程的一般性思路和方法。

3.關注學生的后續(xù)學習。

本節(jié)課不僅僅完成了教學目標和內容：用一元二次方程刻畫現實生活情境中的等量關系；通過觀察、類比，歸納一元二次方程的概念。同時作為本章節(jié)的起始課，要考慮到對本章內容的統領作用，也要為后續(xù)學生進一步研究一元二次方程的解法和應用奠定堅實的基礎。最后在反思收獲中問“接下來你將如何研究一元二次方程？”這個開放性的設問學生完全是有能力，有經驗回答出來的。這個問題承上啟下，引導學生通過回憶已有的相關活動經驗，提出研究的問題，即一元二次方程如何解？方法是什么？思想又是什么？培養(yǎng)學生發(fā)現問題和提出問題的能力，這也和方程的研究思路“實際問題——方程概念——方程解法——問題解決”不謀而合，提高學生學習數學的邏輯思維，建構起學習方程的方法。