王乾 王聰

非線性系統(tǒng)特征提取是智能系統(tǒng)、模式識(shí)別、故障診斷和生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域的基礎(chǔ)和關(guān)鍵問題.在實(shí)際對(duì)象中,系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)本質(zhì)上都是非線性非平穩(wěn)的,如何從這些非線性非平穩(wěn)信號(hào)中得到有效的特征描述是研究者關(guān)心的主要研究方向之一[1?2].早期的信號(hào)處理方法如時(shí)域分析(均值、方差等)、頻域分析(傅里葉分析),雖然簡(jiǎn)單方便,但是只對(duì)平穩(wěn)和線性的信號(hào)有作用[3?4].隨著技術(shù)的發(fā)展,一些適用于非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻分析方法被提出[5?7],例如短時(shí)傅里葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換、Hilbert-Huang變換、局部均值分解等.一些研究者同時(shí)提出了能用于刻畫系統(tǒng)非線性程度的動(dòng)力學(xué)不變量特征指標(biāo)[8?10],例如Lyapunov指數(shù)、熵及LZ復(fù)雜度等.

盡管上述非線性系統(tǒng)特征提取方法取得了一定進(jìn)展,但它們是基于系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡[11]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行特征提取和分析,提取的特征容易丟失系統(tǒng)內(nèi)在的動(dòng)態(tài)信息,導(dǎo)致很難識(shí)別出系統(tǒng)潛在的、早期的微弱信號(hào)特征,不能對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的非線性非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行充分的特征表達(dá)[12?14].因此,如何從原始系統(tǒng)信號(hào)中得到既包含系統(tǒng)狀態(tài)信息又包含系統(tǒng)動(dòng)態(tài)信息的數(shù)據(jù),并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行特征表達(dá)是一個(gè)新的研究重點(diǎn)和難點(diǎn).對(duì)此,確定學(xué)習(xí)理論提供了一個(gè)有前途的方向.

確定學(xué)習(xí)理論可用于對(duì)非平穩(wěn)環(huán)境下的時(shí)變或動(dòng)力學(xué)模式進(jìn)行準(zhǔn)確建模和快速識(shí)別[15?16].確定學(xué)習(xí)運(yùn)用自適應(yīng)控制和非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的概念與方法,研究未知?jiǎng)討B(tài)環(huán)境下的知識(shí)獲取、表達(dá)、存儲(chǔ)和再利用等問題.針對(duì)產(chǎn)生周期或回歸軌跡的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),通過選擇局部徑向基函數(shù)(Radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為參數(shù)化的模型結(jié)構(gòu),確定學(xué)習(xí)理論可以對(duì)其未知的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行局部準(zhǔn)確建模/辨識(shí),將系統(tǒng)狀態(tài)軌跡帶入動(dòng)力學(xué)建模結(jié)果中,可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡,以時(shí)不變且空間分布的方式進(jìn)行表達(dá),并以常值存儲(chǔ)在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中.這種表達(dá)方式包含了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和系統(tǒng)內(nèi)在動(dòng)力學(xué)的全部信息[17?20].

本文從動(dòng)力學(xué)軌跡這一新角度對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行特征提取和分析.1)上述非線性系統(tǒng)特征提取方法中,由于LZ復(fù)雜度是一種非概率的復(fù)雜性測(cè)量方法且較容易實(shí)施[21?24],本文使用LZ復(fù)雜度對(duì)上述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡進(jìn)行特征表達(dá).LZ復(fù)雜度反映了一個(gè)數(shù)據(jù)序列隨著序列長(zhǎng)度的增加出現(xiàn)新模式的速率,可定量分析復(fù)雜數(shù)據(jù)序列的有序性.通常,復(fù)雜度值越大代表越復(fù)雜、無(wú)序、不規(guī)則的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),復(fù)雜度值越小代表動(dòng)態(tài)系統(tǒng)越規(guī)則、有序.在LZ復(fù)雜度算法的基礎(chǔ)上,本文提出時(shí)空LZ復(fù)雜度.時(shí)空LZ復(fù)雜度包含時(shí)間LZ復(fù)雜度(Temporal-LZ complexity,TLZC)和空間LZ復(fù)雜度(Saptio-LZ complexity,SLZC)兩個(gè)指標(biāo),指標(biāo)值的大小和數(shù)據(jù)序列的復(fù)雜程度成正比例關(guān)系[25].因此,時(shí)空LZ復(fù)雜度可以在時(shí)域和空間域上對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的復(fù)雜程度進(jìn)行分析.2)將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡用時(shí)空LZ復(fù)雜度特征指標(biāo)定量表達(dá)后,可對(duì)其敏感性進(jìn)行分析.敏感性分析能反映出非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)或行為相對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感程度.Savageau提出參數(shù)敏感度可作為評(píng)價(jià)和比較生化系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)[26].Wu等闡述了局部敏感度[27]、全局敏感度[28]和目標(biāo)敏感度[29]的概念,并給出了具體的計(jì)算過程,其中目標(biāo)敏感度表示系統(tǒng)的某一性能指標(biāo)對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感程度[30].由于可將時(shí)空LZ復(fù)雜度特征指標(biāo)作為系統(tǒng)不同參數(shù)/狀態(tài)的目標(biāo)函數(shù),本文選擇目標(biāo)敏感度對(duì)動(dòng)態(tài)特征提取方法進(jìn)行敏感性分析,定量評(píng)價(jià)該方法相對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化的敏感程度.3)結(jié)合經(jīng)典的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(Rossler系統(tǒng))進(jìn)行數(shù)值仿真,結(jié)果表明,相比于狀態(tài)軌跡,從動(dòng)力學(xué)軌跡中提取的特征可以更加敏感地反映出非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的周期、倍周期及混沌狀態(tài).4)使用時(shí)空LZ復(fù)雜度對(duì)低速軸流壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)失速過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)特征表達(dá),動(dòng)力學(xué)軌跡的TLZC和SLZC指標(biāo)能更加明顯地顯示出系統(tǒng)從失速前進(jìn)入旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)的過程.本文提出的動(dòng)態(tài)特征提取方法的優(yōu)點(diǎn)是從系統(tǒng)內(nèi)在動(dòng)態(tài)的角度對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行更好的表達(dá).

本文安排如下:第1節(jié)為預(yù)備知識(shí),簡(jiǎn)要介紹確定學(xué)習(xí)理論和Lempel-Ziv復(fù)雜度算法;第2節(jié)闡述了動(dòng)態(tài)特征提取的過程;第3節(jié)對(duì)動(dòng)態(tài)特征提取方法進(jìn)行敏感度分析;第4節(jié)和第5節(jié)分別通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證本文所提方法的有效性;第6節(jié)對(duì)本文工作進(jìn)行總結(jié).

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 確定學(xué)習(xí)理論

確定學(xué)習(xí)理論運(yùn)用自適應(yīng)控制和非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的概念與方法,對(duì)產(chǎn)生周期或回歸軌跡的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),其未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可被局部準(zhǔn)確建模/辨識(shí)和快速識(shí)別[15?16].其基本要素包括:1)使用 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);2)周期或回歸的系統(tǒng)軌跡可滿足部分持續(xù)激勵(lì)條件;3)在系統(tǒng)軌跡的鄰域內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的局部準(zhǔn)確神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模/辨識(shí);4)所學(xué)的知識(shí)以時(shí)不變且空間分布的方式進(jìn)行表達(dá),以常值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的方式進(jìn)行存儲(chǔ).

考慮如下的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

其中,x=[x1,···,xN]T∈RN是可測(cè)量的系統(tǒng)狀態(tài),p是系統(tǒng)的常值參數(shù)向量(通常不同的p可以產(chǎn)生不同的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為),F(x;p)=[f1(x;p),···,fN(x;p)]T表示光滑未知的系統(tǒng)動(dòng)態(tài),fi(x;p)是未知的連續(xù)非線性函數(shù).始于初值x0的系統(tǒng)軌跡記為φζ(x0),假設(shè)系統(tǒng)(1)狀態(tài)x保持一致有界,如x(t)∈?∈RN,其中?是一個(gè)緊集,且系統(tǒng)軌跡φζ(x0)是回歸軌跡[21].

確定學(xué)習(xí)理論采用如下動(dòng)態(tài)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非線性系統(tǒng)(1)的未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)F(x;p)進(jìn)行辨識(shí):

文獻(xiàn)[16]指出,對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的周期軌跡或更一般的回歸軌跡,結(jié)合辨識(shí)模型(2)和權(quán)值更新律(3),RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中沿著回歸軌跡的神經(jīng)元函數(shù)構(gòu)成的子向量可以滿足部分PE條件,即靠近軌跡φζ(x0)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)回歸向量Sζ滿足PE條件.這個(gè)部分PE條件可以使得辨識(shí)誤差系統(tǒng)滿足指數(shù)穩(wěn)定,進(jìn)而在沿周期或回歸軌跡的局部區(qū)域?qū)崿F(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的準(zhǔn)確神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近.

基于確定學(xué)習(xí)機(jī)制[16],通過式(4)對(duì)非線性系統(tǒng)的未知?jiǎng)討B(tài)進(jìn)行局部準(zhǔn)確辨識(shí)后,可將隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)模式以時(shí)不變且空間分布的方式有效地表達(dá).這種表達(dá)方式是一種包含全部狀態(tài)和動(dòng)態(tài)信息的全息表達(dá)方法[26?27].

1.2 Lempel-Ziv復(fù)雜度算法

復(fù)雜度算法最初由Kolmogorov提出[31],但是并沒有給出具體的計(jì)算過程.隨后 Lempel和 Ziv在數(shù)學(xué)上給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和可行的計(jì)算過程,使得復(fù)雜度算法得以在實(shí)際中應(yīng)用,在以后的文獻(xiàn)中把這種復(fù)雜度算法統(tǒng)一稱為 Lempel-Ziv復(fù)雜度(LZ復(fù)雜度)[27].LZ復(fù)雜度反映了一個(gè)數(shù)據(jù)序列隨著序列長(zhǎng)度的增加出現(xiàn)新模式的速率,其值越大代表數(shù)據(jù)序列越復(fù)雜.在計(jì)算LZ復(fù)雜度之前,任何一個(gè)數(shù)據(jù)序列y(i)(i=1,···,n,n=length(y(i)))需要轉(zhuǎn)換成0-1二值符號(hào)序列u(i)(i=1,···,n).

其中,yave表示數(shù)據(jù)序列y(i)的平均值.

在復(fù)雜度計(jì)算過程中,從左到右對(duì)符號(hào)序列u(i)進(jìn)行掃描,每次有新子串出現(xiàn)時(shí),其復(fù)雜度值c(n)增加1,計(jì)算過程參見文獻(xiàn)[32?33].

為了使得到的復(fù)雜度值適用于不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度,c(n)需要進(jìn)行歸一化處理.如果序列的長(zhǎng)度為n,在0-1符號(hào)集中不同符號(hào)的個(gè)數(shù)為2,已有文獻(xiàn)表明復(fù)雜度c(n)的上界為[10,34]

那么,復(fù)雜度c(n)可以通過b(n)進(jìn)行歸一化

通常,將歸一化的復(fù)雜度C記為L(zhǎng)Z復(fù)雜度的值.

注1.文獻(xiàn)[21]證明了當(dāng)n足夠大時(shí),歸一化式(7)成立.然而,文獻(xiàn)[35?36]表明,如果數(shù)據(jù)序列比較小時(shí),歸一化的復(fù)雜度值C可能大于1.為了削弱數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度的限制,文獻(xiàn)[25]和文獻(xiàn)[34]分別給出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值n≥3600及n≥6000時(shí),歸一化的復(fù)雜度值C可在[0,1]區(qū)間內(nèi).如文獻(xiàn)[37?38]所述,本文選取數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度為n=104,詳見附錄A.

如文獻(xiàn)[21]所述的Lempel-Ziv復(fù)雜度算法中粗?；^程,數(shù)據(jù)序列y(i)經(jīng)過二值粗粒化過程被轉(zhuǎn)換為0-1符號(hào)序列(Binary coarse-graining LZC,BLZC).然而,文獻(xiàn)[39]表明BLZC可能丟失非線性系統(tǒng)一些有用的信息.為了解決這個(gè)問題,多種多值粗?；?Multi-valued coarse-graining LZC,MLZC)過程被陸續(xù)提出[40?41].然而,多值粗?；瘷C(jī)制中的粗粒化程度需要外部人工干預(yù),憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇.本文提出一種新的多值粗?；^程— 極值粗?；?Extremum coarse-graining LZC,ELZC):找到數(shù)據(jù)序列y(i)所有的極值點(diǎn)(包括極大值和極小值),進(jìn)行升序排列記為E(j)(j=1,···,l,l=length(E)),并記β={0,1,···,l?1}代表符號(hào)集.那么,非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)序列y(i)可通過如下極值粗粒化過程轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列u(i)(u(i)∈{β(1),β(2),···,β(l)}).

基于上述極值粗?；瘷C(jī)制,復(fù)雜度計(jì)算過程中的粗粒化過程不僅解決了二值粗?；赡軄G失一些有用信息的問題,其粗?；潭冗€可以根據(jù)信號(hào)自身進(jìn)行選擇,避免了憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇的外部干預(yù)影響.二值粗?；?、多值粗?；蜆O值粗?；^程的對(duì)比效果見附錄A.

2 動(dòng)態(tài)特征提取

本節(jié)基于確定學(xué)習(xí)理論和時(shí)空Lempel-Ziv復(fù)雜度算法提出動(dòng)態(tài)特征提取新方法.

首先,通過確定學(xué)習(xí)理論,非線性系統(tǒng)(1)的未知?jiǎng)討B(tài)F(x,p)可以通過式(4)進(jìn)行準(zhǔn)確地建模/辨識(shí).由于辨識(shí)得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)以常值的形式存儲(chǔ)在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,因此可將其作為有限的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分析.

其次,在LZ復(fù)雜度算法的基礎(chǔ)上,提出了時(shí)空LZ復(fù)雜度對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分析.時(shí)空LZ復(fù)雜度包含時(shí)間復(fù)雜度TLZC和空間復(fù)雜度SLZC兩個(gè)指標(biāo),可以從時(shí)間域和空間域上刻畫系統(tǒng)的復(fù)雜程度.

時(shí)間復(fù)雜度TLZC的計(jì)算過程如下[33,35]:

步驟1.非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)序列Y=[y1,···,yN]T需要轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)數(shù)據(jù)序列U=[u1,···,uN]T.根據(jù)第1.2節(jié)中的極值粗粒化機(jī)制,對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)序列yk(i)(k=1,···,N,i=1,···,n,n=length(yk(i)))找到其所有的極值點(diǎn)(包括極大值和極小值),進(jìn)行升序排列記為Ek(j)(j=1,···,l,l=length(Ek)),并記βk={0,1,···,l?1}代表符號(hào)集.那么,通過式(8)可將數(shù)據(jù)序列yk(i)轉(zhuǎn)化為符號(hào)序列uk(i)(uk(i)∈{βk(1),βk(2),···,βk(l)}).

步驟2.對(duì)每個(gè)符號(hào)序列uk(i),其復(fù)雜度ck(n)初始值置為1,并令P={uk(1)},Q={uk(2)},PQ={uk(1),uk(2)}及PQπ=uk(1)(P和Q代表符號(hào)序列uk的兩個(gè)子數(shù)據(jù)序列,PQ是P和Q的結(jié)合,PQπ表示PQ刪除最后一個(gè)字符,v(PQπ)代表PQπ所有不同的子數(shù)據(jù)序列).

步驟3.在計(jì)算過程中,當(dāng)P={uk(1),uk(2),···,uk(r)}和Q={uk(r+1)}時(shí),PQπ={uk(1),uk(2),···,uk(r)}. 如果Q屬于v(PQπ),更新Q為{uk(r+1),uk(r+2)}.如果不屬于,則更新P和Q為P={uk(1),uk(2),···,uk(r+1)},Q=Qk(r+2),同時(shí),其復(fù)雜度值加1:ck(n)=ck(n)+1.

步驟4.重復(fù)步驟2和步驟3,直到Q為最后一個(gè)字符.

步驟5.每個(gè)數(shù)據(jù)序列uk的歸一化復(fù)雜度可以通過下式獲得.

其中,k=1,···,N,n是數(shù)據(jù)序列yk的長(zhǎng)度,lk是第k個(gè)符號(hào)集中不同字符的個(gè)數(shù).

基于上述步驟1～5,非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度TLZC為

其中,RMS(·)是均方根值函數(shù).TLZC值可以從時(shí)域的角度對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜度進(jìn)行度量.

空間復(fù)雜度SLZC是從系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡數(shù)據(jù)序列方向?qū)?shù)的角度進(jìn)行計(jì)算.

步驟1.非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)序列Y的方向?qū)?shù)可以通過下式進(jìn)行近似計(jì)算[42],并記為數(shù)據(jù)序列Z.

步驟2.每個(gè)方向?qū)?shù)序列Zk的歸一化復(fù)雜度值SCk的計(jì)算過程可類似于時(shí)間復(fù)雜度的步驟1和步驟5.

其中,m=n?1是每個(gè)方向?qū)?shù)序列的長(zhǎng)度,lk是第k個(gè)符號(hào)集中不同字符的個(gè)數(shù).那么,其相應(yīng)的空間復(fù)雜度SLZC為

方向?qū)?shù)數(shù)據(jù)序列反映了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡在空間上的變化速率[42?43],相應(yīng)的空間復(fù)雜度值SLZC可以作為對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在空間域上的復(fù)雜度度量.

3 動(dòng)態(tài)特征提取方法的敏感度分析

使用時(shí)空LZ復(fù)雜度對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡進(jìn)行特征表達(dá)后,可通過敏感度分析評(píng)價(jià)提出方法的性能.目標(biāo)敏感度可以反映出系統(tǒng)的某一性能指標(biāo)相對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感程度[30].由于時(shí)間復(fù)雜度TLZC和空間復(fù)雜度SLZC是系統(tǒng)的復(fù)雜性表達(dá),因此可用目標(biāo)敏感度對(duì)時(shí)空LZ復(fù)雜度性能指標(biāo)進(jìn)行分析.數(shù)學(xué)上,相對(duì)目標(biāo)敏感度系數(shù)為[26]

其中,C和p分別是狀態(tài)軌跡/動(dòng)力學(xué)軌跡復(fù)雜度和系統(tǒng)參數(shù),η是系統(tǒng)的目標(biāo)敏感度系數(shù).相對(duì)的意思是對(duì)復(fù)雜度和系統(tǒng)參數(shù)分別進(jìn)行歸一化.由于系統(tǒng)的性能指標(biāo)和參數(shù)值可能在一個(gè)很大的區(qū)間內(nèi)變化,所以經(jīng)常使用歸一化的復(fù)雜度值對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較.

在實(shí)際計(jì)算中,目標(biāo)敏感度系數(shù)可使用有限差分法進(jìn)行近似[26].

其中,?C和?p分別是狀態(tài)軌跡/動(dòng)力學(xué)軌跡復(fù)雜度和系統(tǒng)參數(shù)在一個(gè)小區(qū)間內(nèi)的差值.為了較合適地比較系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡復(fù)雜度指標(biāo)的敏感性,需使用相同的歸一化尺度.同時(shí),在比較時(shí)使用敏感度系數(shù)η的絕對(duì)值.|η|的值越大,相應(yīng)的性能指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的變化越敏感.

4 數(shù)值仿真

基于上述敏感度分析,使用經(jīng)典的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)—Rossler系統(tǒng)[44]驗(yàn)證提出方法的有效性.

其中,x=[x1,x2,x3]T∈R3是可測(cè)量的系統(tǒng)狀態(tài)向量,p=[p1,p2,p3]T是系統(tǒng)常值參數(shù)向量,f1(x;p)=?x2?x3,f2(x;p)=x1+p1x3,f3(x;p)=p2+x3(x1?p3)是系統(tǒng)的未知?jiǎng)討B(tài).第1.1節(jié)已表明,系統(tǒng)的未知?jiǎng)討B(tài)f1(x;p),f2(x;p),f3(x;p)可以被確定學(xué)習(xí)理論準(zhǔn)確地建模/辨識(shí),過程參見文獻(xiàn)[15?16].

根據(jù)文獻(xiàn)[45],固定參數(shù)p1=p2=0.2,變化參數(shù)p3,Rossler系統(tǒng)(17)可以產(chǎn)生不同的狀態(tài).例如,選擇參數(shù)p3的變化范圍為2.6～4.38,步長(zhǎng)為0.01,系統(tǒng)將產(chǎn)生倍周期分岔過程:單周期(p3=2.6～2.8),2倍周期(p3=2.81～3.82),4倍周期(p3=3.83～4.12),8 倍周期 (p3=4.13～4.18),···,混沌狀態(tài)(p3=4.22～4.38).圖1顯示了Rossler系統(tǒng)狀態(tài)x1的倍周期分岔過程.

微分方程組(17)可以通過四階Runge-Kutta進(jìn)行求解(時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為0.01,系統(tǒng)狀態(tài)序列的大小取為104,與注1一致).系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)軌跡如圖2所示.本文選取單周期(p3=2.7),4倍周期(p3=3.96)和混沌狀態(tài)(p3=4.28)進(jìn)行對(duì)比圖示.

圖1 Rossler系統(tǒng)狀態(tài)x1的倍周期分岔過程Fig.1 The period-doubling bifurcation diagram of the statex1of the Rossler system

從圖2可以看出,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軌跡和狀態(tài)軌跡的形狀相一致.下面使用時(shí)空LZ復(fù)雜度分別對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡進(jìn)行分析.其時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)TLZC如圖3所示,空間復(fù)雜度指標(biāo)SLZC如圖4所示.圖3和圖4中M代表狀態(tài)軌跡的復(fù)雜度指標(biāo)曲線,代表動(dòng)力學(xué)軌跡的復(fù)雜度指標(biāo)曲線.

在對(duì)時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度兩個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行敏感度分析之前,計(jì)算系統(tǒng)不同狀態(tài)區(qū)間的復(fù)雜度值算術(shù)平均,用該算術(shù)平均值表示系統(tǒng)不同狀態(tài)的復(fù)雜度值.系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)空LZ復(fù)雜度(TLZC和SLZC)的敏感度系數(shù)可根據(jù)敏感度系數(shù)式(16)得到.為了對(duì)系統(tǒng)不同狀態(tài)變化進(jìn)行詳細(xì)的敏感度對(duì)比分析,本文分別計(jì)算了單周期～2倍周期、2倍周期～4倍周期、4倍周期～8倍周期和8倍周期～混沌狀態(tài)的敏感度系數(shù),結(jié)果如表1所示.η1表示系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的敏感度系數(shù),η2表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的敏感度系數(shù).

表1 Rossler系統(tǒng)的敏感度系數(shù)Table 1 The sensitivity coefficients of the Rossler system

圖2 Rossler系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡圖Fig.2 The state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

圖3 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)圖Fig.3 The TLZC indices of state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

圖4 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡空間復(fù)雜度指標(biāo)圖Fig.4 The SLZC indices of state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

從表1可以看出,在時(shí)域和空間域上,動(dòng)力學(xué)軌跡的復(fù)雜度性能指標(biāo)相比于狀態(tài)軌跡的復(fù)雜度指標(biāo),對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化時(shí)的敏感度系數(shù)整體上都要大一些.當(dāng)系統(tǒng)從單周期到2倍周期變化時(shí),動(dòng)力學(xué)軌跡的TLZC和SLZC指標(biāo)敏感度系數(shù)分別為0.0229和0.0268,相比于狀態(tài)軌跡的TLZC和SLZC指標(biāo)敏感度系數(shù)0.0018和0.0247有所增加,雖然不很明顯,但也能區(qū)分出系統(tǒng)的不同狀態(tài),與圖3和圖4中的復(fù)雜度指標(biāo)曲線相一致.隨著系統(tǒng)狀態(tài)的不斷變化,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的復(fù)雜度指標(biāo)敏感度系數(shù)越來越大,特別是系統(tǒng)從8倍周期狀態(tài)變化到混沌狀態(tài)時(shí),動(dòng)力學(xué)軌跡的TLZC和SLZC指標(biāo)敏感度系數(shù)(2.2767,1.3192)明顯大于狀態(tài)軌跡的TLZC和SLZC指標(biāo)敏感度系數(shù)(1.4589,0.9603).從上述分析可以得出,基于動(dòng)力學(xué)軌跡的復(fù)雜度特征表達(dá)可以更敏感地反映出系統(tǒng)的周期、倍周期和混沌狀態(tài).

除了使用時(shí)空LZ復(fù)雜度在時(shí)域和空間域上對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜程度分析,本文使用時(shí)頻分析方法(Hilbert-Huang變換)對(duì)上述Rossler系統(tǒng)(17)進(jìn)行分析,以對(duì)比系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)在頻譜上的分布情況.Hilbert-Huang變換方法于1998年提出,用于分析非線性非平穩(wěn)的信號(hào),主要包含兩個(gè)過程:經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition,EMD)和Hilbert譜分析[1].對(duì)信號(hào)進(jìn)行Hilbert-Huang變換后,得到的結(jié)果包含模態(tài)分解圖、Hilbert譜圖和Hilbert邊際譜圖.模態(tài)分解圖表示原始信號(hào)經(jīng) EMD得到的本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic mode function,IMF),即各個(gè)頻率成份;Hilbert譜圖表示信號(hào)能量在頻率和時(shí)間軸上的分布情況;Hilbert邊際譜圖表示信號(hào)的幅值在整個(gè)頻率段內(nèi)隨頻率的變化情況.選取上述Rossler系統(tǒng)(17)的2倍周期為例,使用Hilbert-Huang變換對(duì)其系統(tǒng)狀態(tài)x1和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)f1(x,3.3)進(jìn)行分析,得到的模態(tài)分解圖、Hilbert譜圖和Hilbert邊際譜圖分別如圖5～7所示.

圖5 Rossler系統(tǒng)2倍周期模態(tài)分解圖Fig.5 The EMD of period-2 of Rossler system

圖6 Rossler系統(tǒng)2倍周期Hilbert譜圖Fig.6 The Hilbert spectrum of period-2 of Rossler system

圖7 Rossler系統(tǒng)2倍周期Hilbert邊際譜圖Fig.7 The Hilbert marginal spectrum of period-2 of Rossler system

從圖5可以看出,Hilbert-Huang變換可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和動(dòng)態(tài)進(jìn)行很好地分解,都包含一個(gè)高頻成份、一個(gè)低頻成份和一個(gè)均值非零的低強(qiáng)度剩余信號(hào),即分解誤差.

從圖6的Hilbert譜圖可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)的譜圖(圖6(a))和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的譜圖(圖6(b))頻率成份是一致的,都包含兩個(gè)主要的頻率成份.高頻成份從0.09Hz～0.15Hz之間變化,低頻成份主要集中在0.055Hz.但是,對(duì)照系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的模態(tài)分解圖5(b)和Hilbert譜圖6(b),分解得到的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的高頻成份和低頻成份相比于系統(tǒng)狀態(tài)的模態(tài)分解圖5(a)和譜圖6(a),其周期性要弱一些,表明系統(tǒng)內(nèi)在動(dòng)態(tài)變化會(huì)較狀態(tài)更明顯,這與系統(tǒng)的Hilbert邊際譜圖相對(duì)應(yīng),如圖7所示.系統(tǒng)狀態(tài)和動(dòng)態(tài)的邊際譜圖可以很清晰顯示出系統(tǒng)的能量或頻率成份主要分布在0.055Hz的低頻成份和0.1Hz附近的高頻成份上.但是,相比于系統(tǒng)狀態(tài)的邊際譜圖7(a),系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的邊際譜圖7(b)的高頻成份分布有稍微大一些的波動(dòng),能量分布平坦一些,說明系統(tǒng)內(nèi)在動(dòng)態(tài)的變化較明顯.

通過上述分析,從信號(hào)的模態(tài)分解圖、Hilbert譜圖和邊際譜圖可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)在頻譜上的分布雖然有微小差別,但是基本相一致.頻譜分析方法和復(fù)雜度表征方法是從不同的角度對(duì)系統(tǒng)的非線性非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行分析.頻譜分析方法給出的是信號(hào)的頻譜分布,頻譜分布主要是將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域,對(duì)其頻率特性和能量分布進(jìn)行分析;而LZ復(fù)雜度特征分析給出的是非線性系統(tǒng)確定的復(fù)雜程度,并且可以從時(shí)間和空間的角度上,對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和動(dòng)態(tài)的復(fù)雜度特征進(jìn)行明顯區(qū)分.因此,結(jié)合圖3和圖4可得,LZ復(fù)雜度分析方法可以敏感地反映出系統(tǒng)的不同狀態(tài).相對(duì)于頻譜分析,復(fù)雜度量化指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)的特征表達(dá)更為直觀,并且可以在更大程度上對(duì)系統(tǒng)的不同狀態(tài)進(jìn)行區(qū)分.

5 實(shí)驗(yàn)分析

基于文中提出的動(dòng)態(tài)特征提取方法,對(duì)渦輪風(fēng)扇發(fā)動(dòng)機(jī)中的旋轉(zhuǎn)失速過程進(jìn)行動(dòng)態(tài)特征表達(dá),從實(shí)驗(yàn)分析上驗(yàn)證提出方法的可行性和有效性.

渦輪風(fēng)扇發(fā)動(dòng)機(jī)是目前世界上軍用和大型民用飛機(jī)最常用的動(dòng)力裝置,最主要的特點(diǎn)是在高亞音速/超音速飛行條件下具有很高的效率.軸流壓氣機(jī)是渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件之一,當(dāng)代大型航空渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)的發(fā)展方向是追求更高的單級(jí)壓比和更少的級(jí)數(shù).單級(jí)壓比的提高,引起流動(dòng)分離,導(dǎo)致發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部產(chǎn)生不穩(wěn)定流動(dòng)問題,例如旋轉(zhuǎn)失速和喘振等.喘振和旋轉(zhuǎn)失速都是發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流的系統(tǒng)性失穩(wěn),它們限定了發(fā)動(dòng)機(jī)的穩(wěn)定工作區(qū)域,在系統(tǒng)喘振發(fā)生的最初,總是伴有壓氣機(jī)的旋轉(zhuǎn)失速,旋轉(zhuǎn)失速被認(rèn)為是喘振先兆.旋轉(zhuǎn)失速檢測(cè)已經(jīng)成為壓氣機(jī)研究領(lǐng)域中重要且困難的問題.軸流壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)失速和喘振發(fā)生過程可以分為四個(gè)階段,1)失速前階段;2)旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段;3)完全失速階段;4)喘振階段.各階段詳細(xì)描述可參見文獻(xiàn)[46].

關(guān)于旋轉(zhuǎn)失速的建模,Moore和Greitzer從壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子和靜子的整體性質(zhì)出發(fā),在流體擬定常和壓氣機(jī)半激盤等假設(shè)下,推導(dǎo)出一組描述壓氣機(jī)整體流場(chǎng)特性的偏微分方程(Partial differential equation,PDE),并在此基礎(chǔ)上得到一個(gè)由三階常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)組描述的Moore-Greitzer模型.由于旋轉(zhuǎn)失速是由偏微分方程描述的無(wú)限維分布參數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生的復(fù)雜動(dòng)態(tài)現(xiàn)象,其無(wú)限維特性意味著任何基于有限狀態(tài)測(cè)量的建模都是有限維近似建模.在Moore和Greitzer推導(dǎo)的偏微分方程基礎(chǔ)上,Paduano和Mansoux等利用離散傅里葉變換及其逆變換推導(dǎo)出一個(gè)高階ODE周向離散化Mansoux模型.

其中,φ=[φ1,φ2,···,φM]T是壓氣機(jī)周向上的M個(gè)測(cè)量點(diǎn)的流量,是壓氣機(jī)的平均壓力增長(zhǎng),其他參數(shù)參見文獻(xiàn)[19].

該Mansoux模型是一個(gè)描述旋轉(zhuǎn)失速過程的有限維ODE系統(tǒng),能夠定量描述多種壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)失速的發(fā)展過程,并可以在一定精度內(nèi)產(chǎn)生與壓氣機(jī)試驗(yàn)臺(tái)失速初始擾動(dòng)相似的仿真結(jié)果,其系統(tǒng)狀態(tài)可以看作是在壓氣機(jī)周向均勻布置2N+1(N為8的倍數(shù))個(gè)流量傳感器和在壓氣機(jī)入口和出口布置2個(gè)壓力傳感器獲取的流量和壓力信號(hào).基于此,本節(jié)對(duì)高階Mansoux模型進(jìn)行研究和分析,對(duì)其系統(tǒng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行建模和辨識(shí),并提取出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)時(shí)空復(fù)雜度特征.

通過確定學(xué)習(xí)理論,可對(duì)壓氣機(jī)失速前和旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)的內(nèi)在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確地建模和辨識(shí),并將辨識(shí)得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡以常值RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的形式進(jìn)行保存,可用于對(duì)壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)失速前和失速初始擾動(dòng)的狀態(tài)和動(dòng)力學(xué)軌跡進(jìn)行動(dòng)態(tài)特征提取和對(duì)比分析，詳細(xì)過程見文獻(xiàn)[19].軸流壓氣機(jī)失速前和失速初始擾動(dòng)過程如圖8所示.

當(dāng)系統(tǒng)從失速前階段(825轉(zhuǎn)～875轉(zhuǎn))進(jìn)入到旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段(876轉(zhuǎn)～925轉(zhuǎn))時(shí),對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡和通過確定學(xué)習(xí)理論得到的動(dòng)力學(xué)軌跡使用時(shí)空LZ復(fù)雜度指標(biāo)進(jìn)行特征表達(dá),在計(jì)算具體復(fù)雜度時(shí),采用步長(zhǎng)為5轉(zhuǎn),在整個(gè)間隔內(nèi)計(jì)算出21個(gè)時(shí)間點(diǎn)的復(fù)雜度,系統(tǒng)各個(gè)階段狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)TLZC如圖9所示,空間復(fù)雜度指標(biāo)SLZC如圖10所示.

圖8 系統(tǒng)從失速前進(jìn)入到旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段的過程Fig.8 Time evolution of the first flow state before rotating stall

從圖9(a)和圖9(b)可以看出,當(dāng)系統(tǒng)從失速前進(jìn)入到旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段時(shí),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)TLZC變化的幅度為0.1921?0.1681=0.024,比系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的變化幅度0.2472?0.2284=0.019要大一些,說明從動(dòng)力學(xué)軌跡更加能敏感反映出系統(tǒng)的狀態(tài)變化.圖10(a)和圖10(b)的系統(tǒng)空間復(fù)雜度指標(biāo)中也有相同的結(jié)果.

結(jié)合圖9(a)、圖9(b)和圖10(a)、圖10(b)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)空LZ復(fù)雜度,根據(jù)文中的敏感度系數(shù)式(16),系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度TLZC指標(biāo)和空間復(fù)雜度SLZC指標(biāo)相對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感度系數(shù)見表2,其中η1表示系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的敏感度系數(shù),η2表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的敏感度系數(shù).

從表2中敏感度系數(shù)結(jié)果可以看出,通過確定學(xué)習(xí)理論對(duì)軸流壓氣機(jī)旋轉(zhuǎn)失速過程進(jìn)行準(zhǔn)確地建模和辨識(shí),提取出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征復(fù)雜度指標(biāo),相比于狀態(tài)軌跡復(fù)雜度指標(biāo),動(dòng)力學(xué)軌跡可以更加敏感地反映系統(tǒng)從失速前到初始擾動(dòng)過程的變化.此外,從時(shí)空復(fù)雜度特征指標(biāo)圖可以看出,在剛進(jìn)入旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)時(shí)(875轉(zhuǎn)),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)空復(fù)雜度指標(biāo)有明顯的改變,這與文獻(xiàn)[19]的檢測(cè)時(shí)間(當(dāng)發(fā)生旋轉(zhuǎn)失速時(shí),可在885轉(zhuǎn)檢測(cè)出)相對(duì)應(yīng),從而驗(yàn)證了本文提出方法的可行性和優(yōu)越性.

圖9 失速前到旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段狀態(tài)、動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度TLZCFig.9 The TLZC index of the system state and dynamics trajectory before rotating stall

表2 失速前到初始擾動(dòng)過程的時(shí)空復(fù)雜度指標(biāo)敏感度系數(shù)Table 2 The sensitivity coefficients of the normal system to stall precursors

6 結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征提取方法.通過確定學(xué)習(xí)理論和時(shí)空LZ復(fù)雜度算法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)域和空間域的角度進(jìn)行動(dòng)態(tài)特征提取.從Rossler系統(tǒng)狀態(tài)軌跡和動(dòng)力學(xué)軌跡的時(shí)間復(fù)雜度TLZC及空間復(fù)雜度SLZC指標(biāo)對(duì)比結(jié)果以及頻譜分布可以看出,與傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法和基于狀態(tài)軌跡的復(fù)雜度特征提取方法相比,本文提出的新的動(dòng)態(tài)特征提取方法可以更加敏感地反映出非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的周期、倍周期及混沌狀態(tài),其優(yōu)點(diǎn)是從系統(tǒng)內(nèi)在動(dòng)力學(xué)的角度對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行更好的表達(dá).數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析雖然驗(yàn)證了本方法的有效性,未來還需要對(duì)實(shí)際應(yīng)用(例如航空發(fā)動(dòng)機(jī)微小故障診斷等領(lǐng)域)進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證.

圖10 失速前到旋轉(zhuǎn)失速初始擾動(dòng)階段狀態(tài)、動(dòng)力學(xué)軌跡的空間復(fù)雜度SLZCFig.10 The SLZC index of the system state and dynamics trajectory before rotating stall

附錄A

為了驗(yàn)證極值粗?；^程的有效性以及數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度對(duì)歸一化復(fù)雜度的影響,選取一個(gè)高斯分布的隨機(jī)序列作為例子進(jìn)行說明[34,36].隨機(jī)數(shù)據(jù)序列代表了大部分的混沌過程,其歸一化復(fù)雜度接近1.在計(jì)算復(fù)雜度的過程中,采用50組不同的隨機(jī)數(shù)據(jù)序列,然后對(duì)復(fù)雜度值求取算數(shù)平均.經(jīng)過二值粗?；疊LZC、多值粗?；疢LZC(多值粗?；衛(wèi)選取6[36,47])和極值粗?；疎LZC過程后,歸一化復(fù)雜度結(jié)果如圖A1所示,實(shí)線代表經(jīng)過BLZC的復(fù)雜度值,虛線代表經(jīng)過MLZC的復(fù)雜度值,點(diǎn)線代表經(jīng)過ELZC的復(fù)雜度值.

圖A1 隨機(jī)數(shù)據(jù)序列的歸一化復(fù)雜度Fig.A1 The normalized Lempel-Ziv complexity of random sequence

從圖A1可以看出,隨機(jī)數(shù)據(jù)序列經(jīng)過二值粗?；疊LZC過程后,其歸一化的復(fù)雜度值都大于1,與文獻(xiàn)[34?36]表述一致.同樣,在數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度較小時(shí),經(jīng)過多值粗粒化MLZC過程的歸一化復(fù)雜度值也大于1.而經(jīng)過極值粗?；疎LZC過程得到的歸一化復(fù)雜度值都小于1.此外,三個(gè)指標(biāo)曲線中,當(dāng)數(shù)據(jù)序列的長(zhǎng)度為大于104時(shí),歸一化的復(fù)雜度值將趨于穩(wěn)定.因此,本文選取的數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度104.這個(gè)例子顯示MLZC和ELZC都可以對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行較好處理,不同的是ELZC的粗?；潭瓤梢愿鶕?jù)信號(hào)自身進(jìn)行選擇,而MLZC需要外部干預(yù),憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇[40?42].