蔣 明，郭云開，錢 佳,丁美青

(1. 長沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410014; 2. 長沙理工大學(xué)測繪遙感應(yīng)用技術(shù)研究所，湖南 長沙 410076)

分?jǐn)?shù)階微分是整數(shù)階微分的延展，是專門探索任何階數(shù)微分?jǐn)?shù)學(xué)性質(zhì)、特點(diǎn)和應(yīng)用的范疇。在挑選階次數(shù)時(shí)分?jǐn)?shù)階微分不受整數(shù)的限制，這樣計(jì)算的階次就增加了。分?jǐn)?shù)階微分在模式快速識(shí)別、系統(tǒng)分析建模和信號(hào)濾波處理等方面應(yīng)用廣泛[1-3]。

在分析土壤光譜時(shí),被選擇的波段數(shù)和光譜采樣間隔在土壤重金屬預(yù)測時(shí)非常重要[4]。高光譜分辨率數(shù)據(jù)能夠同時(shí)提供成百上千個(gè)窄波段光譜反射信息，特別適用于描述復(fù)雜光譜特性的地物，因不同的重金屬其光譜反射特征不同，對應(yīng)反演的最佳光譜采樣間隔也不相同。因此在重金屬含量估算時(shí)，最佳光譜采樣間隔的研究意義非凡[5-7]。此外，進(jìn)行土壤光譜數(shù)據(jù)分析建模時(shí)，光譜一、二階微分在高光譜數(shù)據(jù)預(yù)處理中是一種常見的有效分析方法，常用于光譜信息增強(qiáng)[8-10]。但其也有一些缺點(diǎn)：二階和一階微分的光譜曲線具有較大差異，一些中間的光譜信息會(huì)被遺漏、丟失，高頻噪聲會(huì)被放大。而分?jǐn)?shù)階微分恰好能夠利用到其中間信息，整個(gè)光譜數(shù)據(jù)也能夠被充分利用，光譜信息也被深度的挖掘和利用[11-12]。

本文利用室內(nèi)土壤實(shí)際測量高光譜數(shù)據(jù)，結(jié)合土壤重金屬檢測數(shù)據(jù)，從相關(guān)系數(shù)的角度探索不同采樣間隔(15、25、35、45 nm)下分?jǐn)?shù)階微分對土壤重金屬高光譜數(shù)據(jù)的影響，以期為土壤重金屬容量值高光譜數(shù)據(jù)反演，以及利用航天星載高光譜數(shù)據(jù)監(jiān)測大范圍重金屬污染提供借鑒，也可在波段設(shè)置方面為專門監(jiān)測重金屬含量的傳感器提供參考。

1 分?jǐn)?shù)階微分

分?jǐn)?shù)階微分將微分階數(shù)擴(kuò)展到非整數(shù)階，從而微分的定義被泛化了，而當(dāng)微分階數(shù)為正整數(shù)時(shí)，整數(shù)階微分就成了分?jǐn)?shù)階微分的特例。分?jǐn)?shù)階微分常見的表達(dá)形式主要包括3種：Riemann-Liouville(R-L)、Grünwald-Letnikov(G-L)和Caputo。其中G-L定義形式更為常用，G-L分?jǐn)?shù)階微分定義為

f(x-mh)

(1)

式中，α為任意階數(shù)；h為微分步長；t與α分別為微分的上、下限；Γ(α)為Gamma函數(shù)[13]。

令h=1，能夠推導(dǎo)出一元函數(shù)f(x)分?jǐn)?shù)階微分的差值表達(dá)式為

(2)

2 研究方法

2.1 研究區(qū)概況

本文選取的研究區(qū)位于湖南省岳陽縣某鎮(zhèn)，屬于重金屬低污染地區(qū)。研究區(qū)地理位置為112°37′E—112°45′E，29°29′N—29°35′N。隨著經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展，研究區(qū)內(nèi)工業(yè)規(guī)模發(fā)展迅速，然而化學(xué)工業(yè)生產(chǎn)、重金屬農(nóng)藥、畜禽養(yǎng)殖廢棄物和化肥施用等人類活動(dòng)導(dǎo)致外源重金屬進(jìn)入土壤并不斷累積，且研究區(qū)內(nèi)湖泊星布、水系發(fā)達(dá)，受到污染后易于擴(kuò)散。

2.2 土壤樣本采集與處理

采樣時(shí)間為2016年7月上旬，根據(jù)研究區(qū)特點(diǎn)，設(shè)置57個(gè)樣點(diǎn)，采用5點(diǎn)“X”形混合采樣法挖取0～20 cm深的淺表土樣，挖取的土樣重量約1 kg，用標(biāo)號(hào)的保鮮袋封裝后運(yùn)回實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行室內(nèi)測驗(yàn)。將經(jīng)自然風(fēng)干后的土壤樣本進(jìn)行碾碎，接著過100目篩；最后選用四分法取樣，分成均勻兩份，分別被用于重金屬和光譜測定。測定土樣重金屬含量時(shí)，利用電熱板消化法，使用HCl:HNO3+HClO4消解樣品，然后通過電感耦合等離子發(fā)射光譜儀測定。

2.3 土壤樣品光譜測定

使用SVC HR-1024i型光譜儀在暗室內(nèi)進(jìn)行，光譜儀波段范圍為340～2515 nm。將預(yù)先處理好的土樣倒入深3 cm、半徑為10 cm的圓形黑色器皿中，倒?jié)M后壓實(shí)并用鋼尺刮平。采集光譜數(shù)據(jù)時(shí)，50 W的鹵素?zé)舯贿x做模擬光源，土樣被放置于距離鹵素?zé)?0 cm遠(yuǎn)的位置，探頭天頂角為15°，其距土壤表面15 cm。每次采樣前，使用參考白板進(jìn)行校正。每個(gè)樣品采集5條光譜曲線，利用SVC HR-1024i PC Data Acquisition Software Ver.1.6軟件，取平均后作為該土壤樣本的反射率。

2.4 光譜數(shù)據(jù)處理

信噪比較低的340～399 nm與2401～2515 nm光譜波段被去除后，Savitzky-Golay濾波平滑去噪被用于處理土樣反射率光譜[15]。同時(shí)為了研究在不同光譜采樣間隔下分?jǐn)?shù)階微分算法對土壤重金屬高光譜數(shù)據(jù)的影響，進(jìn)行了15、25、35和45 nm間隔的光譜重采樣。光譜的分?jǐn)?shù)階微分算法處理采用Python語言并依據(jù)式(2)編程實(shí)現(xiàn)。光譜重采樣后，0～2階的各階次(間距0.2階)微分處理分別在土壤光譜中進(jìn)行，并分別得到各光譜采樣間隔下各階微分和土壤重金屬的相關(guān)系數(shù)，比較分析各光譜采樣間隔下各階微分相關(guān)系數(shù)的曲線變化規(guī)律。

3 試驗(yàn)與分析

光譜反射率與地表目的參數(shù)的相關(guān)系數(shù)越大，光譜響應(yīng)表現(xiàn)得越敏感，就越有可能在最后建立模型時(shí)被選入特征波段[16]。這里以15 nm重采樣的光譜反射率和重金屬Cu為例，首先，進(jìn)行各波段的光譜反射率0～2階(間隔0.2階)微分和土壤Cu含量的相關(guān)性分析，并在0.01程度上檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的顯著性，結(jié)果如圖1所示。原始土壤光譜曲線(0階微分)中，土壤重金屬Cu含量和全部波段反射率不存在顯著性，從圖中顯而易見，屬于0.01顯著性水平的波段數(shù)目于0.6階微分處理中明顯大于0.4、0.2、0階微分處理。

重金屬Cu含量和光譜反射率各階微分屬于極顯著相關(guān)水平的波段數(shù)量從圖1中無法看出，因此，統(tǒng)計(jì)重金屬Cu含量和每種采樣間隔(15、25、35、45 nm)下各階微分(共11階次)的相關(guān)系數(shù)完成0.01顯著性檢驗(yàn)的波段數(shù)目，結(jié)果見表1。從縱向來看，對于這4種光譜采樣間隔，隨著階數(shù)的增加，通過顯著性檢驗(yàn)的波段數(shù)量先增加后減少是整體的呈現(xiàn)趨勢；但對35、45 nm采樣間隔而言，在總體趨勢下，局部出現(xiàn)一定的反彈(對于35和45 nm，都是2階多于1.8階)。從橫向來看，對于這4種光譜采樣間隔，在確定的微分階數(shù)情況下，屬于0.01顯著性水平的波段數(shù)目的先后順序?yàn)椋?5 nm>25 nm>35 nm>45 nm，因此，在研究區(qū)的57個(gè)土壤樣本中，在提升相關(guān)性的效果方面，15 nm采樣間距優(yōu)于其他3種采樣間距。

圖1 光譜15 nm重采樣反射率各階微分與重金屬Cu相關(guān)系數(shù)

續(xù)表1

在重金屬Cu含量和各采樣間隔下各階微分之間的相關(guān)系數(shù)的絕對值最大時(shí)，波段數(shù)量統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。從縱向來看，對于各光譜采樣間隔，當(dāng)微分階數(shù)變大時(shí)，相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值max|P|曲線均大體呈現(xiàn)先升后降的趨勢，15 nm的相關(guān)系數(shù)絕對值|P|在1.6階微分的535 nm處達(dá)到最大，25 nm的|P|在1.2階微分的550 nm處達(dá)到最大，其他兩種采樣間隔(35、45 nm)分別在2階微分的680和670 nm處達(dá)到最大值。從橫向來看，對于這4種光譜采樣間隔，在微分階數(shù)一定的情況下，max|P|均整體表現(xiàn)減小的趨勢，只有少部分的階數(shù)微分表現(xiàn)增大的趨勢。此外，在4種光譜采樣間隔下，max|P|的極大值排序?yàn)椋?5 nm>25 nm>35 nm>45 nm。

表2 各種采樣間隔相關(guān)系數(shù)絕對值最大的波段

注：max|P|指相關(guān)系數(shù)絕對值最大值。

4 結(jié) 語

本文通過對土壤重金屬和不同光譜采樣間隔下分?jǐn)?shù)階微分處理后的光譜反射率的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析，研究了不同采樣間隔下分?jǐn)?shù)階微分在土壤重金屬方面對高光譜實(shí)測數(shù)據(jù)的影響。經(jīng)過分?jǐn)?shù)階微分處理后，屬于極顯著相關(guān)水平的波段數(shù)目明顯增加；當(dāng)微分階數(shù)變大時(shí)，波段數(shù)目整體上先增大后減小，且15 nm重采樣間隔提升相關(guān)性的效果在4種采樣間隔中最好。對于每種光譜采樣間隔，隨微分階數(shù)的增加，相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值max|P|均大體呈現(xiàn)先增加后減少的趨勢，且15 nm的相關(guān)系數(shù)絕對值，在1.6階微分的535 nm處達(dá)到最大，為4種采樣間隔中各分?jǐn)?shù)階微分下max|P|的極大值。

分?jǐn)?shù)階微分是整數(shù)階微分的延伸,極大地?cái)U(kuò)展了光譜數(shù)據(jù)預(yù)處理的方法。由于室內(nèi)高光譜與野外和星載高光譜存在很多差異，因此在以后的研究中，要進(jìn)一步探索利用不同光譜采樣間隔下分?jǐn)?shù)階微分處理野外和星載高光譜數(shù)據(jù)的方法。