謝元棟

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣州 510006)

(2018年5月23日收到；2018年7月22日收到修改稿)

1 引 言

對(duì)于各向異性海森伯自旋鏈模型,國(guó)內(nèi)外學(xué)者有很多的研究.研究的熱點(diǎn)一般偏向于求孤波或孤子等非線性解[1?10],這些工作都基于經(jīng)典或半經(jīng)典框架內(nèi).眾所周知,自旋等于1/2的低維且?guī)Ы粨Q相互作用的非線性鐵磁鏈中存在孤子解,這些解可以用解析式來表示.但自旋大于1/2的系統(tǒng)中,求孤子或其他非線性精確解析解則很困難.盡管如此,還是可以在霍爾斯坦-普里馬科夫表象(HPR)中,應(yīng)用半經(jīng)典近似,得到孤子演化的動(dòng)力學(xué)方程,它們最后一般都可化作非線性薛定諤方程或者改進(jìn)的非線性薛定諤方程,再在一定的參數(shù)范圍內(nèi)求其精確解析解.文獻(xiàn)[1—10]中的解大部分是孤子或者有一定微擾而振蕩的孤子.但一般文獻(xiàn)中較少考慮六階以上的高階非線性項(xiàng).因?yàn)榇藭r(shí)動(dòng)力學(xué)方程變得很復(fù)雜.目前,國(guó)內(nèi)外尚未見用橢圓函數(shù)來表示這類自旋波.作者在文獻(xiàn)[11]中考慮第六階非線性和無窮型邊界條件,首次用橢圓函數(shù)來表示這類波動(dòng)解.

本文在HPR中進(jìn)一步研究各向異性海森伯自旋鏈模型.在半經(jīng)典近似條件下和周期性邊界條件下,求出了用雅可比橢圓函數(shù)的反函數(shù)的組合表示的超橢圓函數(shù)波解.

2 自旋鏈模型及其動(dòng)力學(xué)方程

考慮各向異性,海森伯自旋鏈模型的哈密頓量可取下列形式[12]:

其中Sl表示第l個(gè)離子的自旋；是其z分量；J是交換相互作用；τ是各向異性參數(shù),一般來說是個(gè)小量,它的存在使總能量絕對(duì)值降低,因而影響動(dòng)力學(xué)方程參數(shù)進(jìn)而影響非線性解的性質(zhì)；h是外磁場(chǎng)；=±i(i是虛數(shù)單位)和滿足下列對(duì)易關(guān)系:

由霍爾斯坦-普里馬科夫變換(HPT)[13]并精確到al和的第四階,得

代入(1)式哈密頓量變成

這里N是自旋鏈中的總格點(diǎn)數(shù).玻色算符al和滿足對(duì)易關(guān)系

考慮下列連續(xù)極限

其中b是格點(diǎn)常數(shù).代入方程(7)可以得到

方程(10)中各量都無量綱.

3 超橢圓函數(shù)波解

對(duì)方程(10)考慮下列形式的解[18,19]:

式中振幅?是η=x?vt的實(shí)函數(shù),x和t分別是坐標(biāo)和時(shí)間變量,v是波傳播的速度；φ(η)是相位,也是η的實(shí)函數(shù).把(11)式代入方程(10),考慮到各向異性系數(shù)τ很小,即τ?1時(shí),可以得到下列兩個(gè)衍生方程:

方程(12)可積,對(duì)其積分一次得到

把(15)式代入(13)式,忽略一、二階導(dǎo)數(shù)前面?2以上的小量,并整理得

其中

可見,精確解析解是各向異性參數(shù)趨于零時(shí)的極限.對(duì)方程(16)兩邊積分一次,得

設(shè)鏈長(zhǎng)為L(zhǎng),?滿足周期性邊界條件,即

故積分常數(shù)C=0. 令y= ?2,? y′2=4y?′2,則方程(18)變成

其中初始值η0=x0?vt0.上式左邊兩項(xiàng)可表示為超橢圓積分,可用雅可比橢圓函數(shù)的疊加來表示[20].

令y=1得C=ν+λ?μ,則有

必須滿足:ν+λ＞μ.當(dāng)＜γ時(shí),則方程(21)可寫成

方程(24)有解如下:

其中sn?1(?,b)為橢圓正弦函數(shù)sn(?,b)的反函數(shù),且有

(25)式可整理成

當(dāng)＞γ時(shí),只需在(26)式中把m,γ互換,(27)式的結(jié)果不變.

方程(27)式的圖像如圖1—圖3.從圖中可見,超橢圓函數(shù)波解是周期解,明顯偏離正弦(余弦)波解.當(dāng)γ增大,亦即各向異性參數(shù)τ增大時(shí),偏離正弦波也增大.這是預(yù)料中的問題.因?yàn)棣煤苄r(shí),意味著非線性相互作用很小,尚未起作用,其解近似為線性波,但當(dāng)γ逐漸增大時(shí),非線性項(xiàng)逐步起作用,大到一定程度,其效應(yīng)就顯現(xiàn)出來.如果非線性作用剛好與頻散項(xiàng)平衡,就得到孤子解,有偏差時(shí)就是超橢圓函數(shù)波解.

對(duì)(28)式考慮周期性邊界條件得

其中K(k)為第一類完全橢圓積分.當(dāng)γ→1,m→1時(shí),sn?→ tanh?,(28)式變?yōu)?/p>

圖1 正負(fù)概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.5,γ=0.6,m=0.6)Fig.1.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.5,γ =0.6,m=0.6.

圖2 正負(fù)概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.5,γ=0.8,m=0.6)Fig.2.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.5,γ =0.8,m=0.6.

圖3 正負(fù)概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.8,γ=0.9,m=0.8)Fig.3.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.8,γ =0.9,m=0.8.

由歸一化條件∫|u|2dη=1理論上可以得到無量綱能級(jí)ω,即積分式滿足

(31)式的第二項(xiàng)不能用超橢圓積分表示.理論上而言,當(dāng)體系能量取某些值時(shí),波動(dòng)頻散項(xiàng)恰與非線性項(xiàng)作用抵消,這時(shí)就出現(xiàn)孤子.能量偏離孤子能量時(shí),就是橢圓或超橢圓函數(shù)波.

相位的演化由方程(14)控制.由于振幅?無法表示成η的顯函數(shù),因而相位也難用解析式表示.但本文研究的是自旋概率幅的波動(dòng),這個(gè)虛數(shù)最后不會(huì)出現(xiàn).因此,相位對(duì)超橢圓函數(shù)波實(shí)際沒有影響,可以不做研究.

4 結(jié) 論

在周期性邊界條件約束下,帶交換相互作用各向異性海森伯鐵自旋磁鏈中存在超橢圓函數(shù)波解.這些解可以用第一類橢圓函數(shù)的反函數(shù)的組合來表示.在極限情況下,其解退化為正弦(或余弦)函數(shù)波解,或者能用雙曲正切函數(shù)表示的波解.由歸一化條件理論上可求出自旋鏈模型的能級(jí),但即使用超橢圓函數(shù)也難以表達(dá)出來.這些結(jié)果對(duì)于進(jìn)一步研究鐵磁自旋系統(tǒng)有一定的參考價(jià)值.