陶雙平, 李巧霞

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)T是雙線性算子,a(x)是n上的函數(shù), 雙線性交換子定義為

[T,a]1(f,g)=T(af,g)-aT(f,g), [T,a]2(f,g)=T(f,ag)-aT(f,g).

當(dāng)T是單線性擬微分算子時(shí), Calderón[1]證明了核為(-n-1)階齊次時(shí),T與Lipschitz函數(shù)生成的交換子在Lebesgue空間上是有界的, 即

‖[T,a](f)‖Lp‖a‖Lip1‖f‖Lp, 1

(1)

設(shè)ρ,δ≥0,m∈, 如果(x,ξ)∈2n且對(duì)所有多重指標(biāo)α,β, 都成立(1+|ξ|)m+δ|α|-ρ|β|, 則稱象征σ(x,ξ)屬于H?設(shè)相應(yīng)的線性擬微分算子定義為

定義1[17]設(shè)w:n×(0,+∞)→(0,+∞), 1≤p<∞, 廣義Morrey空間Lp,w(n)定義為

其中B(x,r)表示以x為心、r為半徑的開球.

易見, 當(dāng)w(x,r)=rλ,λ∈(0,n)時(shí),Lp,w(n)即為經(jīng)典的Morrey空間Lp,λ(n). 文獻(xiàn)[18-19]進(jìn)一步完善了Morrey空間的相關(guān)結(jié)果.

定義2[20]設(shè)b∈Lloc(n), 如果則稱b∈BMO(n). 其中:

本文主要結(jié)果如下:

取w(x,r)=rλ(0<λ

推論1在定理1的條件下, 交換子[Tσ,a]j(j=1,2)從Lp1,λ(n)×Lp2,λ(n)到Lp,λ(n)是有界的.

推論2在定理2的條件下, 交換子[[Tσ,a]j,b]i(i,j=1,2)是從Lp1,λ(n)×Lp2,λ(n)到Lp,λ(n)上的有界算子.

記AB表示A≤CB, 其中C是不依賴于主要函數(shù)或參量的常數(shù), 在不同之處可取不同的值.E?n, 用χE表示集合E的特征函數(shù). 1≤p≤∞,p′表示p的對(duì)偶指標(biāo), 即1/p+1/p′=1.

2 定理的證明

K(x,y,z)=?eiξ·(x-y)eiη·(x-z)σ(x,ξ,η)dξdη,

K1(x,y,z)=(a(y)-a(x))K(x,y,z),K2(x,y,z)=(a(z)-a(x))K(x,y,z).

引理1[6]當(dāng)x≠y或x≠z時(shí), 成立

|Kj(x,y,z)|‖a‖Lip1(|x-y|+|x-z|+|y-z|)-2n,

2.1 定理1的證明

對(duì)交換子[Tσ,a]j(j=1,2)做如下分解:

由引理2, 有

下面估計(jì)I2. 設(shè)x∈B,y∈(2B)c,z∈2B, 注意到

|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|+|x-z|≥|x-y|,

由引理1和引理2及H?lder不等式, 有

因此

對(duì)于I3, 類似于I2的估計(jì), 易得

最后估計(jì)I4. 設(shè)x∈B,y∈(2B)c,z∈(2B)c, 注意到

|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|～|x-z|,

(2)

由引理1和H?lder不等式, 得

因此

綜合上述估計(jì), 可得‖[Tσ,a]j‖Lp,w‖a‖Lip1‖f‖Lp1,w1‖g‖Lp2,w2(j=1,2). 定理1證畢.

引理3[20]若b∈BMO(n), 則對(duì)0

2.2 定理2的證明

類似定理1的證明, 有

這里只證明i=1的情形,i=2的情形類似. 對(duì)I1, 由引理2有

下面估計(jì)I2. 將I2分解為

I2,

設(shè)x∈B,y∈(2B)c,z∈2B, 注意到|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|, 由引理1和H?lder不等式得

從而由引理3, 有

同理, 有

因此,

于是得I2的估計(jì):

與I2的估計(jì)方法類似可得I3的估計(jì):

最后估計(jì)I4. 將I4分解為

I4.

設(shè)x∈B,y∈(2B)c,z∈(2B)c, 注意到式(2), 應(yīng)用H?lder不等式, 得

從而有

綜合上述估計(jì), 有‖[[Tσ,a]j,b]1(f,g)‖Lp,w‖a‖Lip1‖b‖BMO‖f‖Lp1,w1‖g‖Lp2,w2. 定理2證畢.