王 晶, 司鳳山

(1. 蚌埠學(xué)院 理學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030; 2. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們生活水平的提高,購(gòu)買低碳產(chǎn)品已成為消費(fèi)者的一種偏好.為此,大力發(fā)展綠色供應(yīng)鏈,提高產(chǎn)品的綠色水平迫在眉睫.學(xué)者們已從多方面對(duì)供應(yīng)鏈進(jìn)行了研究,為綠色供應(yīng)鏈的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)和應(yīng)用對(duì)策.一是研究了企業(yè)的低碳生產(chǎn)問(wèn)題,給出了提高產(chǎn)品綠色水平的策略[1-2];二是分析了產(chǎn)品的回收再制造問(wèn)題,討論了政府通過(guò)補(bǔ)貼和碳稅等措施積極引導(dǎo)企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)品的回收和再利用[3-6];三是探究了供應(yīng)鏈中各參與主體的決策機(jī)制問(wèn)題,主要從分散決策和集中決策兩方面,給出了各主體在低碳生產(chǎn)基礎(chǔ)上的最優(yōu)策略[7-8];四是探討了供應(yīng)鏈中各參與主體間的成本分擔(dān)和收益共享問(wèn)題,提出了通過(guò)協(xié)調(diào)機(jī)制實(shí)現(xiàn)綠色產(chǎn)品生產(chǎn)成本的分擔(dān)和利潤(rùn)的共享[9-12].尤其文獻(xiàn)[13]研究了由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商組成的綠色供應(yīng)鏈模型.其中,制造商負(fù)責(zé)產(chǎn)品生產(chǎn),并批發(fā)給零售商進(jìn)行銷售,在此過(guò)程中制造商和零售商通過(guò)協(xié)調(diào)機(jī)制實(shí)現(xiàn)收益共享.文中給出的產(chǎn)品需求函數(shù)如下:

q=a-bp+αθ.

(1)

其中,q為產(chǎn)品的實(shí)際需求量;a為市場(chǎng)潛在的最大需求量;p為產(chǎn)品銷售價(jià)格;θ為產(chǎn)品的綠色水平(或稱低碳程度);b,α為敏感系數(shù).

在分散決策下,零售商和制造商的利潤(rùn)函數(shù)分別為:

其中:πR,πM分別為零售商和制造商的利潤(rùn);w為制造商提供給零售商的產(chǎn)品批發(fā)價(jià)格;c為制造商單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本;Iθ2是制造商為了提高產(chǎn)品的綠色水平而付出的成本;I為成本系數(shù);β為收益共享系數(shù),即零售商將1-β倍的收益共享給制造商.

文獻(xiàn)[13]采用了優(yōu)化的方法分別給出了制造商和零售商在分散決策下的最優(yōu)策略.而本文將借助非線性動(dòng)力學(xué)理論和系統(tǒng)復(fù)雜性理論,通過(guò)建立帶時(shí)滯的微分價(jià)格博弈模型,分析價(jià)格博弈的動(dòng)力學(xué)演化行為,探討時(shí)滯參數(shù)對(duì)模型穩(wěn)定性和決策行為的影響,以及實(shí)現(xiàn)博弈模型的穩(wěn)定性控制,以期為制造商和零售商更好地進(jìn)行價(jià)格決策提供幫助[14-15].

1 構(gòu)建價(jià)格博弈模型

制造商和零售商為了追求各自利潤(rùn)最大化,通常依據(jù)其邊際利潤(rùn)進(jìn)行價(jià)格決策.如果邊際利潤(rùn)為正,則它們會(huì)提高零售價(jià)格或批發(fā)價(jià)格,否則會(huì)降低相應(yīng)價(jià)格.制造商和零售商的邊際利潤(rùn)為

(4)

價(jià)格調(diào)整的動(dòng)態(tài)過(guò)程為[16-17]

(5)

其中:vR表示零售價(jià)格的調(diào)整速度;vM表示批發(fā)價(jià)格的調(diào)整速度.從而得到如下的價(jià)格博弈模型:

(6)

為了決策的科學(xué)性和準(zhǔn)確性,通常零售商在進(jìn)行價(jià)格決策時(shí)不但要考慮當(dāng)前的邊際利潤(rùn),還要考慮τ時(shí)刻之前的邊際利潤(rùn).這里假定零售商采用延遲策略,延遲參數(shù)為τ,而制造商不采用延遲策略[18].零售商的延遲決策價(jià)格為

pd=w′p(t)+(1-w′)p(t-τ).

(7)

其中:w′表示零售商決策時(shí)參照當(dāng)前價(jià)格的權(quán)重,1-w′則為其參照t-τ時(shí)刻價(jià)格的權(quán)重;上標(biāo)d表示延遲.由于當(dāng)前價(jià)格不易及時(shí)準(zhǔn)確獲取,此處僅考慮零售商參考t-τ時(shí)刻的價(jià)格進(jìn)行決策,故w′=0.此時(shí),最終的價(jià)格博弈模型為

(8)

2 Hopf分岔的存在性及局部漸近穩(wěn)定性

經(jīng)計(jì)算可得模型(8)的盈虧平衡點(diǎn)為:E1(0,0),E2((a+αθ)/2b,0),E3(p*,w*).其中,p*=w*=(a+αθ)/b.即當(dāng)產(chǎn)品的零售價(jià)格高于盈虧平衡點(diǎn)時(shí),零售商獲利;反之,零售商虧損.依據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要,只有正的平衡點(diǎn)才有意義,故只分析平衡點(diǎn)E3(p*,w*)處時(shí)滯參數(shù)對(duì)模型動(dòng)力學(xué)演化行為的影響.

模型(8)在平衡點(diǎn)E3(p*,w*)處線性化部分的特征方程為:

λ2+(A1λ+A0)e-λτ=0.

(9)

其中,A1=2bβvRp*,A0=b2β2vMvRp*w*.

(1) 當(dāng)τ=0時(shí),特征方程(9)簡(jiǎn)化為

λ2+A1λ+A0=0.

(10)

根據(jù)赫爾維茨定理可知,當(dāng)條件(H1):A0>0,A1>0,A1A0>0成立時(shí),平衡點(diǎn)E3(p*,w*)是局部漸近穩(wěn)定的.

(2) 當(dāng)τ>0時(shí),令λ=iω(ω>0)為特征方程(9)的一個(gè)根,則有:

(11)

從而得

(12)

進(jìn)而有

(13)

令

(14)

(15)

下面對(duì)特征方程(9)兩邊求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù),可得:

(16)

于是有

(17)

如果條件(H2):g(ω0)≠0,則滿足產(chǎn)生Hopf分岔的橫截條件.根據(jù)文獻(xiàn)[19]關(guān)于Hopf分岔的存在性定理,可得如下結(jié)論:

定理1 對(duì)于模型(8),如果條件(H1)～(H2)成立,那么當(dāng)τ∈[0,τ0) 時(shí),平衡點(diǎn)E3(p*,w*)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)τ=τ0時(shí),模型(8)在平衡點(diǎn)E3(p*,w*)處產(chǎn)生Hopf分岔;而當(dāng)τ>τ0時(shí),平衡點(diǎn)E3(p*,w*)不穩(wěn)定.

3 數(shù)值仿真及分析

為了驗(yàn)證理論分析的正確性,選取如下一組參數(shù):a=1.2,b=0.7,vR=0.5,vM=0.5,β=0.5,α=0.6,θ=0.8,此時(shí)模型(8)為:

(18)

(1) 當(dāng)τ=0時(shí),盈虧平衡點(diǎn)為E3(2.4,2.4),A0=0.176>0,A1=0.84>0,A0A1=0.148>0.因此,E3(p*,w*)局部漸近穩(wěn)定.

(2) 當(dāng)τ≠0時(shí),盈虧平衡點(diǎn)仍為E3(2.4,2.4),ω0=0.864,τ0=1.531.根據(jù)定理1可知,當(dāng)τ=τ0時(shí),模型(18)會(huì)產(chǎn)生分岔而失去穩(wěn)定,如圖1和圖2b所示.當(dāng)τ<τ0時(shí),平衡點(diǎn)E3局部漸近穩(wěn)定,如圖2a所示;而當(dāng)τ>τ0時(shí),平衡點(diǎn)E3不穩(wěn)定,如圖2c和圖2d所示.

從圖2中發(fā)現(xiàn),隨著τ從小逐漸增大直至超越臨界值τ0,模型的狀態(tài)則由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定,且波動(dòng)幅度不斷增大,從而導(dǎo)致價(jià)格博弈系統(tǒng)重返穩(wěn)定態(tài)的時(shí)間越來(lái)越長(zhǎng).這種現(xiàn)象對(duì)制造商和零售商的價(jià)格決策非常不利,所以應(yīng)確保時(shí)滯參數(shù)τ在一個(gè)較小的范圍內(nèi)變化.此外還可以看出,時(shí)滯參數(shù)τ對(duì)零售價(jià)格p的影響較大,這說(shuō)明時(shí)滯對(duì)自身決策主體的影響最大.

圖1當(dāng)τ=τ0時(shí),模型(18)產(chǎn)生分岔

Fig.1 Model (18) undergoes abifurcations whenτ=τ0

圖2 時(shí)滯參數(shù)τ對(duì)模型(18)穩(wěn)定性的影響Fig.2 The effect of delay parameter τ on the stability of the model (18)(a)—τ=1.45; (b)—τ=1.531; (c)—τ=1.6; (d)—τ=1.65.

再則,隨著產(chǎn)品綠色水平θ的提高,市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的需求量增大,但制造商也會(huì)為此付出更大的成本,所以制造商為了利潤(rùn)最大化不可無(wú)限制提高產(chǎn)品的綠色水平.而零售商的利潤(rùn),雖然隨著產(chǎn)品綠色水平的增加呈現(xiàn)線性的增長(zhǎng),但是制造商對(duì)θ的最優(yōu)決策將導(dǎo)致零售商利潤(rùn)定格在一定的范圍內(nèi),且與制造商利潤(rùn)相差不大.這與文獻(xiàn)[13]的分析結(jié)論一致,如圖3所示.

圖3 θ對(duì)制造商和零售商利潤(rùn)的影響

4 穩(wěn)定性控制

仿真發(fā)現(xiàn),時(shí)滯τ較大時(shí)模型短時(shí)間內(nèi)難以趨于穩(wěn)定.例如,當(dāng)τ=1.65時(shí),模型(18)的吸引子如圖4所示.從中可以看出,模型出現(xiàn)了一系列不穩(wěn)定的周期解.為此,有必要采取措施使失穩(wěn)模型重回穩(wěn)定狀態(tài).本文將利用變量反饋控制法對(duì)失穩(wěn)模型進(jìn)行有效控制.模型(18)增加控制項(xiàng)后為:

(19)

其中,k為控制參數(shù),通過(guò)調(diào)節(jié)k的值以達(dá)到控制效果.模型(19)隨k演化的過(guò)程如圖5所示.從圖中可見(jiàn),隨著k的增大,模型(19)從不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài),臨界值為k0=0.025 13.

圖4 當(dāng)τ=1.65時(shí),模型(18)的吸引子Fig.4 The attractor of the model (18) when τ=1.65

圖5模型(19)關(guān)于k的分岔圖

Fig.5 The bifurcation diagram of model (19) with respect tok

此時(shí),依次取k=0.01k0,k=0.1>k0,模型(19)對(duì)應(yīng)的吸引子分別如圖6a,6b和6c所示.由圖6可以看出,當(dāng)kk0時(shí),模型(19)是穩(wěn)定的,并且k值越大控制效果越好.

簡(jiǎn)言之,零售商在進(jìn)行價(jià)格延遲決策時(shí),務(wù)必確保時(shí)滯參數(shù)取值較小,否則會(huì)引起博弈模型的失穩(wěn).也就是說(shuō),參照的歷史價(jià)格不是越久遠(yuǎn)越好,而是臨近短時(shí)間內(nèi)的歷史價(jià)格才會(huì)更有效.對(duì)于不慎失穩(wěn)的系統(tǒng),可以采取有效的控制措施,通過(guò)調(diào)節(jié)控制參數(shù)加快系統(tǒng)的回穩(wěn)速度.

圖6 模型(19)的吸引子Fig.6 The attractor of the model (19)(a)—k=0.01; (b)—k=0.03; (c)—k=0.1.

5 結(jié) 論

本文考慮了零售商決策的滯后性,構(gòu)建了帶時(shí)滯的價(jià)格博弈模型.將時(shí)滯變量作為模型的分岔參數(shù),分析了模型的局部Hopf分岔的存在性及在平衡點(diǎn)處的局部漸近穩(wěn)定性.通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性.仿真結(jié)果表明,如果時(shí)滯參數(shù)小于分岔臨界值,則價(jià)格的博弈過(guò)程會(huì)趨于局部的漸近穩(wěn)定,否則會(huì)引起價(jià)格的持續(xù)波動(dòng).所以,在其他參數(shù)不變的情況下,決策過(guò)程中一方面可以通過(guò)控制歷史價(jià)格的參照時(shí)間確保系統(tǒng)的穩(wěn)定;另一方面可以采取變量反饋控制法使失穩(wěn)的系統(tǒng)盡早重返穩(wěn)定狀態(tài).與文獻(xiàn)[13]相比,一是構(gòu)建了帶時(shí)滯的、連續(xù)的、微分價(jià)格博弈模型;二是研究方法上采用了非線性動(dòng)力學(xué)理論及復(fù)雜系統(tǒng)演化理論,探究了時(shí)滯參數(shù)對(duì)博弈模型穩(wěn)定性的影響;三是實(shí)現(xiàn)了對(duì)失穩(wěn)模型的穩(wěn)定性控制.因此,本文的研究結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[13]的一種有效補(bǔ)充.