廣東省廣州市南海中學(510170) 沈鋼

在教學任務重,數學課堂的常見教學模式是講練結合,講公式定理,講例題,練習,再練習的教學方式,課堂容量大,課堂效果顯著,但是課后學生掌握情況非常不好.不能很好的理解和歸納總結,沒有時間思考問題的本質.因此學生的學業(yè)成績也就不穩(wěn)定,經過多次的教研活動,聽取了好多有經驗的一線教師的講座,有很多是講變式教學,創(chuàng)新教學,以及講題時的一題多解,歸納出多解歸一的本質教學方式.下面我談談我在教學中運用“一題多解”的一些體會.

一、一題多解有利于培養(yǎng)學生的思維的廣闊性

例1(廣州市高二數學競賽題)f(x)=x4=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4,求a3的值.

解法一平移變換

因為f(x)=x4=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4①,將f(x)向左平移一個單位,所以f(x+1)=(x+1)4=a0-a1x+a2x2-a3x3+a4x4②.在第②式中,x3的系數為-a3,而(x+1)4的x3的系數為C14=4,故-a3=4即a3=-4.

點評此解法通過函數圖形的平移,將右邊巧妙地將1-x轉化為x,由煩到簡.同時將左邊轉為(1+x)4成為二項式定理的常見形式.此解法,培養(yǎng)了學生從函數平移的角度思考,更加理解函數平移后函數值的不變,以及二項式定理中系數得概念,加深理解了二項式定理.

解法二構造條件

f(x)=x4=(-x)4=(1-x-1)4=[(1-x)-1]4,利用二項式定理展開,即求a3是 (1-x)3的系數,即C34(-1)1=-4,所以a3=-4.

思路總結由于題目中把(1-x)看成一個整體,于是就拼湊出一個新的二項式(a+b)4,使其中b=1-x,那么展開式形如下列形式,與題目已知條件符合.a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a3(1-x)3+a4(1-x)4.

解法三由條件構造新思路

f(x)=x4=[1-(1-x)]4,利用二項式定理展開,即求a3(1-x)3=C34[-(1-x)]3=-4(1-x)3,所以a3=-4.

點評此解法與解法二幾乎相同,只是在變形時負號的處理不一樣.

解法四換元代換

令1-x=t,則x=1-t,所以f(x)=x4=(1-t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4.要求a3即求t3的系數:C34(-t)3=-4t3,所以a3=-4.

點評解法四與解法二,三本質都是一樣的,都是拼湊出題目條件(1-x)的形式.從題目已知條件整體看待的思想.拓闊了學生的數學思維,培養(yǎng)學生從不同角度去思考問題.以上四種解法其實都是一個知識點,就是利用二項式定理展開式系數的性質.雖然是一題多解,實際是多解歸一,即都是利用二項式定理的性質.但是以上解法是從不同角度變形后再利用二項式定理,加深了學生對二項式定理如何靈活展開運用.

解法五利用求導函數

f′(x)=4x3=-a1-2a2(1-x)-3a3(1-x)2-4a4(1-x)3,f′′(x)=12x2=2a2+6a3(1-x)+12a4(1-x)2,f′′′(x)=24x=-6a3-24a4(1-x),f′′′(1)=24=-6a3-24a4(1-1)=-6a3,所以a4=-4.

點評從函數的調度出發(fā),右邊f(1)=a0,求導一次后帶入x=1的值右邊等于-a1,依次繼續(xù)求導,再代入x=1依次可求出a2,a3,a4的值.這里不需要引入多階導數,讓學生理解求一次導f(x)就會降冪一次,一元三次函數是高中常見的利用導數求解的函數壓軸題,因為一元三次求導后降冪為一元二次函數,而一元二次函數是初高中常見的基本初等函數.從而加深學生對函數與導數的聯系的理解.

通過上面例題的幾種解法,學生不但清晰的理解了二項式定理展開式的運用,而且也會從函數的角度去思考問題,有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和解題技巧,拓寬了學生思維的廣闊性,加深對知識內在聯系,因此更好的理解知識.

為了讓學生更好的理解和掌握此題的解題方法和突破本題的關鍵點,下面給出一組變式題.

點評充分利用了等差數列任意兩項之間的關系,把a9和a11都轉為與a8的聯系.

點評利用兩次性質巧妙轉化.培養(yǎng)了學生從更高角度去審題,組合整體看待的思維方式.

點評此性質教科書沒有要求,但是通過這題的利用推廣性質,開闊了學生的視野,激發(fā)了學生探索新規(guī)律的欲望,這個性質是否可以拓展到4個,5個,n個呢?讓學生養(yǎng)成了勤于思考,勇于探索新知,大膽去猜想嘗試.提高了學生解決問題的思維能力.

點評對于選擇填空題是一種不錯的解題技巧.大膽利用特殊值或特殊情況去解決不需要解題過程的題型.

教學實踐證明:一題多解對對培養(yǎng)學生的聯想能力、引起多向思維都是十分有益的,也是從根本上提高學生業(yè)績行之有效的方法.