劉偉 鄭銳

【摘要】達(dá)到把握數(shù)學(xué)思想方法的層次是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)的高端水平.為幫助學(xué)生達(dá)到此水平，教師在高中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中應(yīng)該把握三個策略，即顯性化策略、運(yùn)用化策略和系統(tǒng)化策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗）》指出：“數(shù)學(xué)課程‘要講推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，體會蘊(yùn)含在其中的思想方法.”張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“按照數(shù)學(xué)教學(xué)的自身規(guī)律而言，有以下三個層次：基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，問題解決能力的培養(yǎng)，以及數(shù)學(xué)思想方法的掌握.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠達(dá)到把握數(shù)學(xué)思想方法的層次，應(yīng)該說是達(dá)到了學(xué)習(xí)目標(biāo)的高端水平.”

筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行思想方法的教學(xué)，應(yīng)該注意把握以下三個基本策略.

一、顯性化策略，認(rèn)識數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是以教學(xué)內(nèi)容為載體的對數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種內(nèi)在的本質(zhì)認(rèn)識，在數(shù)學(xué)教材里，并不正面地闡述數(shù)學(xué)思想方法，而是需要教師在教學(xué)過程中適時地加以揭示，不斷積累，逐步深化.

如果說，在初中階段，主要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練基本技能的過程中，通過教師的引導(dǎo)，自己去“感覺”數(shù)學(xué)思想方法，例如，通過點(diǎn)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，絕對值的代數(shù)意義與表示距離的幾何意義等，感受數(shù)形結(jié)合思想.

那么，進(jìn)入高中后，教師必須通過數(shù)學(xué)知識的傳授或數(shù)學(xué)問題的解決，直接道出背后所蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)思想方法，這樣做，有利于學(xué)生提升對數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的“自覺性”.

例如，符號化（形式化）思想方法是整個中學(xué)數(shù)學(xué)重要目標(biāo)之一，是數(shù)學(xué)語言的重要角色，它能使數(shù)學(xué)思維過程更加準(zhǔn)確、概括、簡明.符號的使用極大地簡化和加速了思維進(jìn)程，極大地推動了數(shù)學(xué)本身的發(fā)展.在必修1的“集合及其運(yùn)算”的教學(xué)時，教師就應(yīng)該和學(xué)生共同回憶，小學(xué)里使用阿拉伯?dāng)?shù)字，+，-，×，÷，=，<，>，（ ），分?jǐn)?shù)線，小數(shù)點(diǎn)等符號，寫成算式，初中里用字母代替數(shù)、未知元、待定系數(shù)等形式化的代數(shù)語言取代算術(shù)語言，用字母、符號表示方程、不等式等.之后，及時地將“符號化（形式化）思想方法”展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生明白，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須掌握適當(dāng)?shù)男问交恼Z言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要目標(biāo)就是學(xué)習(xí)一種有特定含義的形式化的語言，以及用形式化語言去表示和解決各種問題.

再例如，化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的常用數(shù)學(xué)思想方法，所謂化歸思想，就是將一個問題A進(jìn)行等價變形，使其歸結(jié)為另一個能解決的問題B，既然B已可解決，那么A就解決了.例如，學(xué)習(xí)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)時，不能只是記住并運(yùn)用公式，而應(yīng)該將其背后蘊(yùn)含的“化歸思想方法”明示給學(xué)生：把復(fù)雜的數(shù)學(xué)的乘、除、乘方、開方等運(yùn)算問題，通過對數(shù)化歸為簡單的加、減、倍積運(yùn)算問題.

在余弦定理的教學(xué)中，有這樣的教學(xué)設(shè)計：

教學(xué)設(shè)計1：我們已經(jīng)知道，在直角三角形中的三邊的關(guān)系（勾股定理），那么，在斜三角形中三邊有什么關(guān)系呢？

教師提出這樣的問題：

在直角三角形ABC中，若已知b，c和角A，怎樣用它們表示直角邊a.

進(jìn)而通過驗證相應(yīng)的關(guān)系式對于其他兩邊也成立，學(xué)生能由上述關(guān)系式在直角三角形中“普遍”成立，猜想，這一規(guī)律在斜三角形中也成立，從而“為學(xué)生深刻理解和掌握余弦定理做好必要的鋪墊”.

這種設(shè)計對于學(xué)生而言顯然很突兀！我們可以設(shè)想，在事先不知道余弦定理的情況下，還會做出這樣的變形嗎？這樣的“猜想”根本就是假猜想！學(xué)生這時必然會因深感困惑而放棄主動探索的意愿，從而導(dǎo)致學(xué)生失去進(jìn)一步領(lǐng)會化歸思想的機(jī)會！

教學(xué)設(shè)計2：我們已經(jīng)知道，在直角三角形中的三邊的關(guān)系（勾股定理），那么，在斜三角形中三邊有什么關(guān)系呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生用化歸思想解決問題：

我們是否可以充分利用已有知識來解決面臨的新問題？

在銳角三角形與鈍角三角形中分別加以證明.化歸為直角三角形來解決問題：

在銳角三角形ABC中，過B作BD⊥AC，則

鈍角三角形，同理可證（略）.

二、運(yùn)用化策略，鞏固數(shù)學(xué)思想

有些基本思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想等是高層次的指導(dǎo)性的數(shù)學(xué)思想方法，它貫穿于整個中學(xué)階段，對這些方法應(yīng)經(jīng)常地予以強(qiáng)調(diào)，并通過“問題解決”使學(xué)生達(dá)到理解掌握的要求.

數(shù)學(xué)問題的解決，實(shí)質(zhì)上是問題不斷轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)思想反復(fù)應(yīng)用的過程，數(shù)學(xué)的思想方法存在于問題解決之中.數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化，無不遵循數(shù)學(xué)思想方法指示的方向.

此題運(yùn)用了補(bǔ)集方法，當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題從正面難以解決時，可以將問題轉(zhuǎn)化到其反面入手去解決.

三、系統(tǒng)化策略，深化數(shù)學(xué)思想

由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識里，體現(xiàn)在知識的發(fā)生、應(yīng)用過程中.學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的較長過程，學(xué)生個體掌握數(shù)學(xué)思想方法比理解知識、形成技能更加不同步，因此，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)比數(shù)學(xué)知識教學(xué)更加困難.數(shù)學(xué)思想方法具有系統(tǒng)性，需要教師立足學(xué)生學(xué)習(xí)的整個過程，就高中階段而言，教師應(yīng)該立足于數(shù)學(xué)思想方法的高度，以提示數(shù)學(xué)思想方法為主線，設(shè)計并實(shí)施每一節(jié)的教學(xué)，尤其在每章小結(jié)的教學(xué)中，更是應(yīng)該將貫穿該章的數(shù)學(xué)思想方法作為核心內(nèi)容.“數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)，是形式化的演繹體系，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是將這種學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)換為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).教育形態(tài)的靈魂，就是數(shù)學(xué)思想方法.系統(tǒng)化地滲透和貫徹，實(shí)現(xiàn)由淺到深、循序漸進(jìn)的培養(yǎng)，形成系統(tǒng)的方法.”（張奠宙）

數(shù)學(xué)思想方法大體上可分為三種類型.第一類是宏觀型思想方法，包括抽象概括、化歸、數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想等，其中抽象概括、數(shù)學(xué)模型、歸納猜想方法常常與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程緊密聯(lián)系，是將現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化的重要方法.化歸是我們處理數(shù)學(xué)問題的一種基本思路，具有很強(qiáng)的思維導(dǎo)向功能.數(shù)形結(jié)合方法則反映了各科之間的內(nèi)部聯(lián)系和統(tǒng)一性，體現(xiàn)了人們對數(shù)學(xué)的總體認(rèn)識.第二類是邏輯型思想方法，包括分類、完全歸納法、反證法、演繹法、特殊化方法等，這類方法都具有確定的邏輯結(jié)構(gòu).例如，演繹法，其主要形式是三段論，具有精確的邏輯表達(dá)結(jié)構(gòu).第三類是技巧型思想方法，包括換元、配方、待定系數(shù)等方法.這類方法常常用于具體解題，具有一定的操作步驟.

數(shù)學(xué)思想方法的掌握，必須經(jīng)過長期領(lǐng)會，點(diǎn)點(diǎn)滴滴地積累的過程，所以，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)貴在堅持，以收滴水穿石之效.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]張奠宙，過伯祥，方均斌，等.數(shù)學(xué)方法論稿（修訂版）：第2版[M].上海：上海教育出版社，2012.

[3]上海市黃浦區(qū)數(shù)學(xué)方法論研究小組.關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練序的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1994（2）：38-42.