黃 雄

（廈門雙十中學(xué)，福建 廈門 361000）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：運算能力是指根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》也將“數(shù)學(xué)運算”列入六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。運算能力實際上是運算技能與思維能力的結(jié)合，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)鍵能力之一。培養(yǎng)運算能力有利于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。

一、正確剖析數(shù)學(xué)概念是發(fā)展運算素養(yǎng)的基石

數(shù)學(xué)概念揭示了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)運算法則導(dǎo)出的邏輯基礎(chǔ)，是逐步形成運算技能、發(fā)展運算素養(yǎng)的基石。分式一章概念較多，其中分式與分?jǐn)?shù)在結(jié)構(gòu)上具有相似性，分式是兩個整式的商（分母中的整式必須含有字母），分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)的商，都要求分母不為0。筆者在復(fù)習(xí)過程中穿插設(shè)計了以下四道例題：

設(shè)計意圖：例1考查學(xué)生是否可以正確辨識分式；例2的目的在于正向引導(dǎo)學(xué)生鞏固分式有意義的條件是分母不為0；例3則以逆向思維的方式，先指定字母x的取值范圍，考慮所給選項中哪個分式可能沒有意義；例4分式化簡的結(jié)果是-x+3，學(xué)生極有可能任意取一數(shù)值代入計算求值，殊不知題干本身就隱含了x1±1，從而可能導(dǎo)致計算錯誤。

實際教學(xué)中，絕大部分學(xué)生都能正確解答例1與例2；而例3就有不少學(xué)生不知所措，究其原因是教師在日常教學(xué)時，大都按正向思維教學(xué)，平時學(xué)生的練習(xí)鞏固題也幾乎與例2相似，極少引導(dǎo)學(xué)生逆向思考。至于例4，在能夠化簡得到正確整式的學(xué)生中，有將近三分之一的學(xué)生沒有選擇0作為x的值代入求值，導(dǎo)致出錯。當(dāng)然也有部分學(xué)生將0代入求值，僅僅是因為計算簡單，并沒有深層次考慮到題干中字母x的限制條件?？梢?，死記硬背或僅從字面上強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念，并不能真正引導(dǎo)學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)概念；只有堅持正向引導(dǎo)與逆向思維相結(jié)合，同時在復(fù)雜計算中不斷鞏固，方可讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握內(nèi)化于心、外化于形，為進(jìn)行分式運算打好基礎(chǔ)，從而促進(jìn)運算素養(yǎng)的發(fā)展。

二、熟練運用性質(zhì)和法則是提升運算素養(yǎng)的前提

從根本上說，運算是一種技能，運算技能需要依據(jù)運算法則和相關(guān)性質(zhì)，在運算過程中按程序操作。因此學(xué)生必須明晰運算法則和相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理運算。不少學(xué)生初學(xué)分式約分時，經(jīng)常會犯這樣的錯究其原因，就是對分式的基本性質(zhì)掌握不扎實。我們知道，約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。該性質(zhì)可以用式子表示為：其中A,B,C是整式。有的學(xué)生將此性質(zhì)簡單理解為從而導(dǎo)致在計算本題時，直接將a和a2、b和b2進(jìn)行約分，得出錯誤結(jié)論。因此，在分式運算復(fù)習(xí)課時，還是有必要設(shè)置相關(guān)辨析題。

［例5］下列等式從左到右的變形一定正確的是（ ）

［例6］如果正數(shù)x、y同時擴(kuò)大到原來的10倍，那么下列分式中，值保持不變的是( )

設(shè)計意圖：例5中A和D兩個選項，等式從左到右的變形都不是同時乘（或除以）同一不等于0的整式，容易排除。學(xué)生往往糾結(jié)于B與C選項，要選出正確答案，除了必須對分式概念的內(nèi)涵與外延有準(zhǔn)確的理解外，還要熟練掌握分式的基本性質(zhì)。對于例6，在學(xué)生正確解答后，還可以適當(dāng)引伸：當(dāng)構(gòu)成分式的分子和分母的整式中，各項次數(shù)均相等時，將各字母同時擴(kuò)大（或縮?。﹏倍，分式的值不變。

實際教學(xué)以上兩例時，盡管大部分學(xué)生都能得出正確答案，但耗費了不少時間。按教學(xué)設(shè)計之初的預(yù)想，筆者在實施教學(xué)過程中，大膽地對例6進(jìn)行引申拓展?？蓪W(xué)生的反應(yīng)并不盡如人意，不得不放慢講解速度，導(dǎo)致后續(xù)原定的教學(xué)任務(wù)只好做適當(dāng)刪減，留下些許遺憾。從這兩個例子的教學(xué)效果來看，如果教師在實際教學(xué)中要求學(xué)生背默法則，以此來體現(xiàn)法則和性質(zhì)的重要性，那是毫無益處的。問清錯誤，指出錯因，重現(xiàn)過程，重新建構(gòu)，才是指導(dǎo)學(xué)生熟練運用性質(zhì)和法則的有效方法，提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的重要手段和途徑。

三、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、理清算理是發(fā)展運算素養(yǎng)的核心

運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅反映在逐步提高運算技能方面，還應(yīng)體現(xiàn)在提升和發(fā)展運算思維。在分式運算教學(xué)中，除了要學(xué)習(xí)和掌握分式運算方法，更應(yīng)思考和領(lǐng)悟分式運算的算理和其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。在反復(fù)練習(xí)、相互交流的過程中，教師要教會學(xué)生經(jīng)常主動思考“為什么不能這樣算？”“怎么算得好？”等問題。由法則到算理的頓悟過程，有助于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、理清算理，完成操作層面向思維層面的深層次建構(gòu)，是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展的核心步驟。

由于分?jǐn)?shù)與分式是特殊與一般的關(guān)系，對于分式而言，性質(zhì)、法則基本上都是類比分?jǐn)?shù)得來。因此，在分式運算教學(xué)過程中，應(yīng)該充分利用數(shù)式通性，將學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗遷移到分式的學(xué)習(xí)中來，領(lǐng)悟其中滲透的類比、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學(xué)思想，達(dá)到事半功倍的

課后和學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)，犯此類錯誤的同學(xué)大都沒有真正理解數(shù)式通性，分?jǐn)?shù)運算能力比較薄弱，不能有效地遷移學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗。

眾所周知，相關(guān)性質(zhì)和法則是所有運算的基礎(chǔ)。盡管因數(shù)分解在分?jǐn)?shù)的乘除和加減運算中都起著重要作用，但功能不同。前者是為了找出分子分母相乘得出結(jié)果后的最大公因數(shù)約簡分?jǐn)?shù)，后者是為了找出各分母的最簡公分母簡化運算；兩者都用到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，前者是為了約分約簡分?jǐn)?shù)，后者是為了通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的加減。

類比遷移：遇到分式相乘，遷移分?jǐn)?shù)的乘法，分子分母各自相乘后約分即可；遇到分母是多項式的異分母分式相加減，先對各分母因式分解，找到最簡公分母，然后通分轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減運算，接著依據(jù)同分母分式的加減法則操作，最后約簡。一旦學(xué)生理清算理，領(lǐng)悟到其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，就不至于出現(xiàn)前文所述的困惑。

因此，在分式運算教學(xué)中，應(yīng)通過例題和練習(xí)給學(xué)生方法上的指引，理解算理，領(lǐng)悟算法及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，正確遷移，才不會混淆或者錯用法則。學(xué)生明晰了數(shù)學(xué)運算背后的算理，就明確了解題方向，才會采取自覺的行動，必將有助于學(xué)生運算能力的提升。

四、解決實際問題是提升運算素養(yǎng)的保障

分式與分式方程的復(fù)習(xí)安排兩個課時，第二課時側(cè)重于復(fù)習(xí)分式方程及其應(yīng)用。在分式運算復(fù)習(xí)課教學(xué)中，仍須通過豐富的實際問題，滲透數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的教育理念，讓學(xué)生充分體驗建模思想。在實際問題教學(xué)中，教師要善于幫助學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用符號語言表示數(shù)學(xué)模型，合理選擇算法求解，這是提升運算素養(yǎng)的保障。

例8某工廠現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)機(jī)器的工作效率是原計劃的兩倍，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時間比原計劃生產(chǎn)480機(jī)器所需時間節(jié)省了45天，原計劃平均每天生產(chǎn)多少臺機(jī)器？

對以上方程，學(xué)生可以選擇不同解法。方法一，直接兩邊乘以2x去分母（通法）；方法二：對于先再兩邊乘以x去分母；方法三，先約分，兩邊同時除以15，化成得x=4。

一般地，根據(jù)實際問題列出的方程往往數(shù)據(jù)比較大。如何正確、合理、快速地進(jìn)行計算，考量著學(xué)生諸如觀察、決策、推理、邏輯思維等多種能力。學(xué)生對算法多樣性的選擇需要在解題前養(yǎng)成觀察的習(xí)慣，而在其中所體現(xiàn)的即是學(xué)生個體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這需要學(xué)生有一定的解題經(jīng)驗和積累才能達(dá)到。

學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)鍵能力之一，良好的運算能力有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。在實際教學(xué)過程中，要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，教師在教學(xué)中必須努力引導(dǎo)學(xué)生正確剖析數(shù)學(xué)概念，加強(qiáng)性質(zhì)和法則的熟練應(yīng)用；要幫助學(xué)生理解算理本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，重視聯(lián)系生活實際，最終提升和發(fā)展學(xué)生的運算思維；要真正讓學(xué)生養(yǎng)成會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界；要提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生運算能力的提升，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。