北京信息科技大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100192

一、引言

電力系統(tǒng)次同步振蕩（Sub-synchronous Oscillation,SSO）是指電力系統(tǒng)受到擾動導(dǎo)致偏移其平衡點后，電網(wǎng)與汽輪發(fā)電機(jī)組之間在一個或多個低于系統(tǒng)同步頻率的固有頻率交換能量而產(chǎn)生的一種狀況或現(xiàn)象[1]。

近幾年來，我國一些大型電廠采用較高串聯(lián)電容補(bǔ)償度的對網(wǎng)輸電模式。由于存在串補(bǔ)輸電、交直流混合輸電系統(tǒng)導(dǎo)致的次同步振蕩，對電網(wǎng)和發(fā)電機(jī)組造成重大威脅。

對SSO的分析方法主要有頻率掃描法、特征值分析法、復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法等。

頻率掃描法主要是定性分析與篩選發(fā)電機(jī)組，篩選出存在次同步振蕩風(fēng)險的機(jī)組，計算方法比較簡單、易懂且快速，但缺點是誤差比較大[2]；

特征值分析法是小擾動分析法，其優(yōu)點是理論嚴(yán)密、分析準(zhǔn)確度高，但缺點是存在嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)難”；

復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法是在特征值分析法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的方法，由I. M. Canay 提出[3]，并建立了包括電氣、機(jī)械兩部分的扭振方程以及穩(wěn)定性判據(jù)，它也是基于系統(tǒng)線性化原理的一種方法，但比特征值分析方法簡單，主要用于分析電力系統(tǒng)次同步振蕩和軸系扭振[4-5]。

本文基于PSCAD/EMTDC電磁暫態(tài)仿真平臺對復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)進(jìn)行實現(xiàn)研究，為了提高仿真精度，對實現(xiàn)過程中作出了一些改進(jìn)，并給出可參考的標(biāo)準(zhǔn)。以IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為研究模型，分析了線路串聯(lián)電容補(bǔ)償度對電氣阻尼的影響。

二、復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法的基本原理

復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法是一種頻域分析方法，其主要基于線性化模型。復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法的原理如下：

典型大型汽輪機(jī)的發(fā)電機(jī)組軸系一般有6個質(zhì)量塊，分別為發(fā)電機(jī)、勵磁機(jī)、高壓缸、中壓缸和2個低壓缸，通常把這些質(zhì)量塊視為集中質(zhì)量塊，每個質(zhì)量塊之間為無質(zhì)量的理想彈簧連接，形成多質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，如圖1所示。通常發(fā)電機(jī)軸系運動方程為：

式中，δ—軸系質(zhì)量塊電氣角位移，δ=(δ1δ2δ3δ4δ5δ6)T，其中，δ5為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的電氣角位移；

ωi—軸系第i個質(zhì)量塊的電氣角速度，其中，ω5為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的電氣角速度；

ω0—運行狀態(tài)穩(wěn)定下的發(fā)電機(jī)的角速度；

τ—軸系質(zhì)量塊慣性時間常數(shù)矩陣，τ=diag(τi,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6)；

T—軸系質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)矩矩陣，T=(T1T2T3T4T5T6)T；

K—發(fā)電機(jī)軸系的彈性系數(shù)矩陣，其中，Ki,i+1為相鄰質(zhì)量塊之間的彈性系數(shù)；

D—發(fā)電機(jī)軸系的阻尼矩陣，其中，Dii為第i個質(zhì)量塊的自阻尼系數(shù)，Di,i+1為相鄰質(zhì)量塊之間的互阻尼系數(shù)。

首先，在運行點進(jìn)行線性化，之后可得：

Δδ—相鄰質(zhì)量塊的電氣角位移差；

ΔTe—電磁轉(zhuǎn)矩增量；

ΔTM—機(jī)械轉(zhuǎn)矩增量。

忽略汽輪機(jī)出力變化，并消去發(fā)電機(jī)以外質(zhì)量塊轉(zhuǎn)角可得：

式中，km(p) —機(jī)械轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

Δδ5—發(fā)電機(jī)電氣角位移差。

定義等式（3）的第一項為“機(jī)械系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩增量”，ΔTm(p)=km(p)Δδ5，其等效于軸系動態(tài)元件，與軸系相對應(yīng)的一個虛擬轉(zhuǎn)矩增量，與式（2）中的ΔTM是兩個不同的概念。式（3）可以表示為：

如果電磁轉(zhuǎn)矩增量也滿足線性化條件，即可表示為：ΔTe(p)=ke(p)Δδ5，則式（4）表示為：

式中，ke(p) —電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

其次，同步頻率λ下的相量形式為：

其中，km(jλ)—機(jī)械復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

ke(jλ)—電氣復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

則有：

式中，k(jλ) —總復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；

K(λ) —彈性系數(shù)，與轉(zhuǎn)角變化同相；

λD(λ)—阻尼系數(shù)，與轉(zhuǎn)速變化同相。

根據(jù)式（7）可以判定軸系的穩(wěn)定性，其穩(wěn)定判據(jù)為：

當(dāng)D(λ)｜K(λ)=0>0 時， 軸 系 穩(wěn) 定； 當(dāng)D(λ)｜K(λ)=0=0 時，為臨界阻尼，臨界穩(wěn)定。當(dāng)D(λ)｜K(λ)=0<0 時，為負(fù)阻尼，軸系不穩(wěn)定，將在頻率λ下產(chǎn)生發(fā)散振蕩。

對于系統(tǒng)中頻率為λ的振蕩分量，可以采用相量來表示前面的關(guān)系，即發(fā)動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩增量的相量形式為 ：

式中：Ke(λ) —電氣彈性系數(shù)；

De(λ) —電氣阻尼系數(shù)；

根據(jù)上述的穩(wěn)定性判據(jù)時可知：當(dāng)電磁轉(zhuǎn)矩增量ΔTe(λ)和發(fā)電機(jī)角速度增量Δω5兩者之間的相位在-90°～90°之間，即相位在右半平面時，對應(yīng)的電氣阻尼系數(shù)為正值，則發(fā)電機(jī)軸系穩(wěn)定。反之，當(dāng)相位在左半平面時，電氣阻尼系數(shù)為負(fù)值，發(fā)電機(jī)軸系不穩(wěn)定，將在次同步頻率λ下產(chǎn)生發(fā)散振蕩。

將式（8）變形，可以得到：

電氣阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)De(λ)的值可以根據(jù)式（9）求解，即：

三、時域仿真實現(xiàn)步驟

根據(jù)定義可知，復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)可以分為電氣部分和機(jī)械部分，對于電氣復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)有兩種方法可以求出，一種方法是可以通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)得到，另一種方法是通過曲線計算得到，而機(jī)械復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)一般是利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型來計算，再根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)來分析軸系是否穩(wěn)定[4]。

由于次同步振蕩頻率遠(yuǎn)離工頻，因此需要采用電磁暫態(tài)仿真軟件PSCAD/EMTDC來計算復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

PSCAD/EMTDC是一種時域仿真計算軟件，其計算原理為：首先對電力系統(tǒng)中表示每個元件中機(jī)械和電氣特性的微分方程，將其轉(zhuǎn)化成差分方程，再利用節(jié)點分析方法聯(lián)立，并采用固定計算時間步長來求解系統(tǒng)各運行變量在每一個計算時刻的瞬時值[6]。所采用的計算方法以隱式梯形積分法為基礎(chǔ)，該方法同時包括了后退歐拉法的計算方法，兩者結(jié)合達(dá)到了改善計算過程的數(shù)值穩(wěn)定性的效果。

以計算電氣阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)為例，來說明計算復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)的時域計算方法。系統(tǒng)要求發(fā)電機(jī)軸系模型采用單剛體模型，而且電氣部分采用完整的數(shù)學(xué)模型，具體時域仿真實現(xiàn)步驟具體如下[5]：

（1）利用電磁暫態(tài)仿真軟件PSCAD/EMTDC建立系統(tǒng)的電磁暫態(tài)仿真模型，并且調(diào)試成功；

（2）當(dāng)系統(tǒng)運行狀態(tài)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定后，在系統(tǒng)的發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子上即PSCAD所建模型的輸入端Tm施加一串頻率為f0整數(shù)倍的小幅脈動激勵轉(zhuǎn)矩：

式中，φk—給系統(tǒng)施加脈動轉(zhuǎn)矩的初相位；

Tk—給系統(tǒng)施加脈動轉(zhuǎn)矩的幅值，Tk要求值較小，如果太大的話，就會導(dǎo)致系統(tǒng)非線性化，不滿足假設(shè)條件。

（3）當(dāng)待研究的系統(tǒng)運行狀態(tài)再次達(dá)到穩(wěn)定后，截取脈動轉(zhuǎn)矩一個公共周期內(nèi)的發(fā)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩Te和發(fā)動機(jī)角速度ω；

（5）根據(jù)式（10）可以得到激勵頻率下的電氣阻尼轉(zhuǎn)矩系數(shù)De(kf0)，從而可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

下面針對上述5個步驟依次討論和分析各步驟的具體執(zhí)行。

四、系統(tǒng)仿真模型的建立

本文所研究的系統(tǒng)為IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)，此系統(tǒng)主要用于次同步振蕩的研究，如圖2所示。系統(tǒng)主要以500kV的傳輸系統(tǒng)和892.4MVA的發(fā)電機(jī)組為基礎(chǔ)，其模型軸系含有6個質(zhì)量塊，分別為勵磁機(jī)（EXC）、發(fā)電機(jī)（GEN）、高壓缸（HP）、中壓缸（IP）、2個低壓缸（LPA和LPB）。

利用軟件PSCAD/EMTDC中提供的標(biāo)準(zhǔn)模型庫，建立如圖3所示的IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)模型，其中包括發(fā)電機(jī)、串聯(lián)電容器、無窮大電源等模型，由于發(fā)電機(jī)軸系需要采用單剛體模型，發(fā)電機(jī)模型需要忽略多質(zhì)量塊。在建模過程中，其相關(guān)參數(shù)值見參考文獻(xiàn)[6]，建模完整圖如圖3。

五、擾動模型的建立

幅值的大小會影響仿真精度，系統(tǒng)對接入的脈動轉(zhuǎn)矩幅值的要求較小，建議幅值為0.005～0.05之間，一般取0.01pu。如果幅值太大的話，就會破壞系統(tǒng)可線性化的前提條件。在加入脈動轉(zhuǎn)矩的時候，需要考慮兩個問題：

（1）如果每次只加入一個頻率值的小值脈動轉(zhuǎn)矩的話，既費時又統(tǒng)計困難；

（2）選擇一次性加入多個頻率不等的脈動轉(zhuǎn)矩時，則會造成各頻率值之間相互干擾的后果，如下式：

式中，f0—基頻。

這里取f0=0.5Hz，因次同步振蕩的頻率最大為50Hz，所以k最大取值為100，這樣加入脈動轉(zhuǎn)矩的方法會導(dǎo)致疊加后的幅值較大，從而破壞了系統(tǒng)的可線性化性。

綜合上述問題，本文提出的方法是：在對系統(tǒng)同時加入擾動轉(zhuǎn)矩前，先對各個頻率分量的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行處理，即加上一個滯后相位如下：

圖4是未加滯后相位的擾動波形和加了滯后相位的擾動波形對比圖。從圖中我們可以看出，未加滯后相位時，幅值已經(jīng)達(dá)到0.8pu，不滿足要求。加了滯后相位之后，擾動量的幅值減小了4倍左右，并且沒有破壞系統(tǒng)的可線性化條件。等式（13）中的n值取為5，這樣疊加的擾動信號會比較平緩，不破壞系統(tǒng)的線性化條件。局部擾動模型細(xì)節(jié)見圖5，圖5中為擾動模型15Hz～16Hz的建模圖，其模塊中的三個輸入分別為Phase（相位）、Mag（幅值）、Frep（頻率）。

六、角速度增量標(biāo)幺值Δω的求取

待系統(tǒng)運行狀態(tài)再次穩(wěn)定之后，截取發(fā)電機(jī)同一個公共周期電氣轉(zhuǎn)矩Te和發(fā)電機(jī)角速度ω。本文所分析的算例中，系統(tǒng)的采樣頻率為1000Hz，即采樣公共周期為0.001s。軟件PSCAD/EMTDC中輸出的轉(zhuǎn)速ω即為發(fā)電機(jī)角速度的真實值，得到真實值之后要轉(zhuǎn)換成標(biāo)幺值，再求取角速度增量的標(biāo)幺值。在PSCAD上搭建模型求取Δω如圖6。圖6中，W1為輸出的發(fā)電機(jī)角速度的真實值，377.0為基準(zhǔn)角速度值（設(shè)置工頻f=60Hz，則基準(zhǔn)電氣角頻率為2πf=377rad/s ，產(chǎn)生發(fā)電機(jī)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)速真實值也為377rad/s），W2即為角速度增量的標(biāo)幺值Δω：

七、Fourier分解以及電氣阻尼系數(shù)的求取

軟件PSCAD中的在線FFT模塊如圖7，可以用于Te和ω的Fourier分解，更直觀、實時地觀測每個頻率下幅值（A）和相位值（φ）。

以Δω為例，幅值相位建模如圖7所示。FFT模塊參數(shù)設(shè)置時，考慮到次同步振蕩頻率為5Hz～50Hz，所以參數(shù)設(shè)置的范圍要涵蓋次同步振蕩頻率范圍，即基頻f0參數(shù)設(shè)置為0.5Hz，對應(yīng)的諧波數(shù)設(shè)置為127，則其頻率范圍為0Hz～63.5Hz，從0Hz～63.5Hz中選出滿足次同步振蕩的各個頻率分量。圖7中，輸出W2Mag和輸出W2Ph分別為各個頻率（0Hz～63.5Hz）下相對應(yīng)的幅值和相位值，圖7中first-Ph、second-Ph、third-Ph分別是第一、二、三次諧波（即0Hz、0.5Hz、1Hz）對應(yīng)的相位，這樣可以清楚地知道某一諧波對應(yīng)的相位輸出圖，幅值也是類似。

八、線路串補(bǔ)度對系統(tǒng)電氣阻尼的分析研究

針對IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)，分析研究串補(bǔ)度對電氣阻尼的影響，固定其他參數(shù)不變的前提下，系統(tǒng)只改變串補(bǔ)電容值。取串補(bǔ)電容值分別為21.977μF、30.75μF、47.09μF，其所對應(yīng)的串補(bǔ)度分別為74.1%、53%、34.6%，利用上述方法在待研發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子上，從而可以得到電氣復(fù)轉(zhuǎn)矩曲線。三個線路串補(bǔ)度（74.1%、53%、34.6%）對應(yīng)的電氣阻尼系數(shù)如圖8所示。

由圖8可見，當(dāng)線路串補(bǔ)度為74.1%時，電氣阻尼系數(shù)在11Hz～29Hz區(qū)間為負(fù)，在21Hz附近達(dá)到最小值，由于機(jī)械系統(tǒng)的正阻尼一般比較小，因此系統(tǒng)的諧振頻率的總阻尼為負(fù)，則說明此系統(tǒng)存在次同步振蕩不穩(wěn)定問題。其它兩種情況與此類似。

綜合可以看出，當(dāng)線路串補(bǔ)度分別為34.6%、53%、74.1%時，串補(bǔ)度越大，系統(tǒng)阻尼系數(shù)峰值所對應(yīng)的電氣頻率越低，電氣諧振點的負(fù)阻尼越大，則系統(tǒng)潛在發(fā)生次同步振蕩的危險性也就越高；反之，線路的串補(bǔ)度越低，系統(tǒng)阻尼系數(shù)峰值所對應(yīng)的電氣諧振頻率越高，系統(tǒng)的電氣諧振點負(fù)阻尼越小，發(fā)生次同步振蕩潛在的危險性相對越低。但是如果線路串補(bǔ)度越低的話傳輸能力就會越小，因此應(yīng)綜合考慮各方面的因素，選擇最合適的線路串補(bǔ)度。

九、結(jié)論

本文基于復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法，運用電磁暫態(tài)仿真軟件PSCAD/EMTDC對復(fù)轉(zhuǎn)矩系數(shù)法進(jìn)行了時域仿真實現(xiàn)，并作出一些改進(jìn)，在實現(xiàn)過程中遇到的一些問題做了全面的分析并給出可參考的標(biāo)準(zhǔn)：

1、對于含串聯(lián)電容補(bǔ)償度的系統(tǒng)，系統(tǒng)接入脈動轉(zhuǎn)矩幅值的要求較小，建議取0.01pu左右。

2、考慮到快速性和滿足不破壞系統(tǒng)的線性化的假設(shè)條件下，在對系統(tǒng)同時加入擾動轉(zhuǎn)矩前，對各個頻率分量的轉(zhuǎn)矩都加上一個滯后相位。

最后以IEEE第一標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為分析模型，求取電氣復(fù)轉(zhuǎn)矩曲線，分析了線路串補(bǔ)度對電氣阻尼系數(shù)的影響，線路串補(bǔ)度的值與電氣諧振頻率成反比，即線路串補(bǔ)度越高，電氣諧振頻率會越低，對應(yīng)的電氣諧振點的負(fù)阻尼也就越大，系統(tǒng)潛在發(fā)生次同步振蕩的危險性也就越高。