曾慧平，吳 蕾，王海威

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院，江西 南昌 330034)

半環(huán)是最常見(jiàn)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它在拓?fù)鋵W(xué)、分析學(xué)、最優(yōu)化理論、計(jì)算機(jī)科學(xué)中都有極其重要的作用.與環(huán)論中利用環(huán)上模研究環(huán)構(gòu)造一樣，利用半環(huán)上的半模研究半環(huán)構(gòu)造是十分重要而行之有效的方法. Johnson等[1]給出了半模的定義后，內(nèi)射半模有了許多形式的推廣，如極小內(nèi)射半模[2]、p-內(nèi)射半模[3]、擬內(nèi)射半模與偽內(nèi)射半模[4]等.論文繼續(xù)引入偽極小內(nèi)射半模的概念.在對(duì)這一新半模類進(jìn)行研究時(shí)，主要探索有關(guān)偽內(nèi)射半模與相對(duì)極小內(nèi)射半模的部分性質(zhì)對(duì)于偽極小內(nèi)射半模是否仍然成立，并且給出偽極小內(nèi)射半模的其他相關(guān)性質(zhì)與等價(jià)刻畫(huà).

論文中的R均表示含零元和單位元的加法交換半環(huán).如果不特別聲明，所有的半模U都是指滿足條件u·1=u,?u∈U的右R-半模.S=End(UR).記rR(u)={r∈R|ur=0}，其中：u∈U；lU(r)={u∈U|ur=0}，r∈R.對(duì)任意的X?U，A?R，rR(X)=∩x∈XrR(x)，lU(A)=∩a∈AlU(a).A≤U,A≤⊕U分別表示A是U的子半模和直和項(xiàng).

(i) 稱右R-半模U的非空子集A是可減的，當(dāng)且僅當(dāng)若u+u′∈A，u∈A，有u′∈A,?u,u′∈U；若U的任意子半模都可減，則稱U是完全可減半模．

(ii) 若半模U是由它的單子半模族(Uα)α∈A張成的，則?B?A，使得U=⊕BUβ，即U是半單半模.

(iii) 若U是半單半模且是完全可減半模，則稱U是半單優(yōu)半模.

文中其他未提及的概念同文獻(xiàn)[2-9]一致.

定義1一個(gè)右R-半模U稱為右偽極小內(nèi)射半模，是指對(duì)于U的任意極小子半模uR及任意半模單同態(tài)f:uR→U，都可擴(kuò)張至U的自同態(tài).

類似地可定義左偽極小內(nèi)射半模.

定理1設(shè)R是半環(huán)，下列命題等價(jià)：

(1) 右R-半模U是偽極小內(nèi)射半模；

(3)?(1).令N=U即可.

定理2半單優(yōu)半模是偽極小內(nèi)射半模.

證明由文獻(xiàn)[4]知，半單優(yōu)半模是偽內(nèi)射半模.由定理3知偽內(nèi)射半模一定是偽極小內(nèi)射半模，故半單優(yōu)半模是偽極小內(nèi)射半模.

定理4若UR的所有極小子半模都是直和項(xiàng)，則UR必為偽極小內(nèi)射半模.

定理5若MR是偽極小內(nèi)射半模，則MR的任意直和項(xiàng)都是偽極小內(nèi)射半模.

證明設(shè)M是偽極小內(nèi)射半模且M=A⊕A′.下證A也是偽極小內(nèi)射半模.

定義2設(shè)U是右R-半模，N是U的子半模.如果對(duì)于任意f∈End(U)，有f(N)?N，則稱N是U的完全不變子半模.

定理6若UR是偽極小內(nèi)射半模，則U的任意完全不變子半模都是偽極小內(nèi)射半模.

證明設(shè)N是U的完全不變子半模.任取uR是N的極小子半模，f:uR→N是任意半模單同態(tài)，i:uR→N，i1:N→U為自然單同態(tài).顯然uR是U的極小子半模.則由UR是偽極小內(nèi)射半模知，存在同態(tài)g:U→U，使得gi1i=i1f.又由N是U的完全不變子半模知，g|N?N，則g|N:N→N是半模同態(tài)，故N仍是偽極小內(nèi)射半模.

定義3稱半模N是相對(duì)M的偽極小內(nèi)射半模，若任意M的極小子半模到N的單同態(tài)可擴(kuò)張至M到N的同態(tài).

定理7設(shè)U=U1⊕U2⊕…⊕Un(n≥2)，若U是偽極小內(nèi)射半模，則Ui是相對(duì)Uj的偽極小內(nèi)射半模(1≤i≠j≤n).

證明只需證當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立即可.

定理8設(shè)半單半模M1⊕M2是偽極小內(nèi)射半模，σ:M1→M2是單同態(tài)，則σ可裂.

證明設(shè)i:M2→M1⊕M2及π:M1⊕M2→M1分別是標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)射與標(biāo)準(zhǔn)投射.定義η:σ(M1)→M1⊕M2，其中：η(σ(x))=(x,0)，易知η是半模單同態(tài).又由i|σ(M1):σ(M1)→M1⊕M2是單同態(tài)，且M1⊕M2是偽極小內(nèi)射半模，則由定理2知，存在η*:M1⊕M2→M1⊕M2，使得η=η*i|σ(M1).記λ=πη*i:M2→M1，則?x∈M1，λσ(x)=πη*iσ(x)=πη*i(σ(x)) =πησ(x)=π(x,0)=x=IM1(x)，即λσ=IM1，因此σ可裂.

定理9設(shè)u∈UR，S=End(UR)，則下列命題滿足(2)?(3)?(1).

(1)UR是偽極小內(nèi)射半模；

(2) 若uR是UR的極小子半模，則有l(wèi)UrR(u)=Su；

(3) 若uR是UR的極小子半模，并且rR(u)?rR(n)，n∈U，則有Sn?Su.

證明(2)?(3).若rR(u)?rR(n)，n∈U，則n∈lUrR(u)=Su，即Sn?Su.

(3)?(1).設(shè)uR是UR的任一極小子半模.任取一個(gè)右R-半模單同態(tài)h:uR→U，則rR(u)?rR(h(u)).由(3)知，h(u)∈Su，即n=h(u)=IUh(u)∈Sn?Su.故存在α∈S，使得h(u)=α(u)，因此UR是偽極小內(nèi)射半模.

定義4稱半環(huán)R是偽極小內(nèi)射半環(huán)，如果它作為右R-半模是右偽極小內(nèi)射半模.

定理10R是偽極小內(nèi)射半環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的任意極小右理想A及右R-半模單同態(tài)f:A→R，必有f是左乘映射，即f=c·，c∈R.

證明必要性.若R是偽極小內(nèi)射半環(huán)，對(duì)R的任意極小右理想A及右R-半模單同態(tài)f:A→R，存在右R-半模同態(tài)g:R→R，使得g為f的擴(kuò)張.令g(1)=c(c∈R)，則f(a)=g(a)=g(1)·a=c·a,?a∈A.

充分性.對(duì)任意單同態(tài)f，存在c∈R，使得f(a)=c·a,?a∈A.定義g:R→R，g(r)=c·r,?r∈R.顯然g|A=f,即g為f的擴(kuò)張.

宏觀周期是指經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中出現(xiàn)的周期性經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張與經(jīng)濟(jì)緊縮交替更迭、循環(huán)往復(fù)的一種現(xiàn)象，宏觀周期的變化必然影響到商品價(jià)格的變動(dòng)。在各項(xiàng)宏觀周期指標(biāo)中，美國(guó)國(guó)債收益率尤其是10年期國(guó)債收益率是全球金融市場(chǎng)的基準(zhǔn)利率，并成為投資者判斷市場(chǎng)趨勢(shì)的風(fēng)向標(biāo)。不同期限的國(guó)債利差，被認(rèn)為是GDP增速和股市波動(dòng)的領(lǐng)先指標(biāo)；不同國(guó)家的國(guó)債利差，是匯率波動(dòng)的重要理論之一。因此，美國(guó)10年期國(guó)債收益率的變動(dòng)，在一定程度上代表了宏觀周期。

證明記

分別表示第i個(gè)投射和第i個(gè)入射.

si=πi(s·ιi(1i))=πi(f(t)·ιi(1i))=πif(t·ιi(1i))=

πif(ιi(ti))=fi(ti)=ci·ti?f(t)=s=(ci)·t，

令f:T→R，(ai)(xj)，任意(ai)∈T，其中：

易證f是單R同態(tài).由R是偽極小內(nèi)射半環(huán)知f是左乘映射，即f=c·，c∈R.于是fi=πi(c)，故Ri是偽極小內(nèi)射半環(huán)．