葉琳

同學們最近學習的三角函數(shù)是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，除了涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)（周期性、單調(diào)性等）、三角恒等變形、三角求值等，還體現(xiàn)在與函數(shù)、向量、解析幾何等知識的交匯所融合成的綜合題，這些問題的解決不僅取決于同學們的基礎(chǔ)知識和技能，也取決于對數(shù)學方法的熟練運用，更取決于思維上的整合、化歸和遷移，

一、三角函數(shù)與函數(shù)方程的綜合

三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)，與一般函數(shù)是個性與共性的關(guān)系，一些三角函數(shù)問題就是基于一般函數(shù)的性質(zhì)來解題.

例1 若動直線z一以與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，求MN的最大值.

分析 本題考查的是直線與兩條曲線相交線段長的最值問題，通過觀察圖象我們發(fā)現(xiàn)M，N兩點的橫坐標相等，線段MN的長度可以用M，N的縱坐標來表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的三角函數(shù)來求解.

小結(jié) 求最值問題首先應(yīng)該考慮構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意將文字語言和圖形語言進行正確的“翻譯”也是常見的求解策略，通過分析圖形特征，挖掘圖形中的隱含關(guān)系，將圖形中的定性描述轉(zhuǎn)化為定量的代數(shù)關(guān)系，使得求解過程得以簡化.

例2 函數(shù)y=asin（ax+θ）（a>0，θ≠0）圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最小值為

二、三角函數(shù)與向量等知識的綜合

三角函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識，平面向量多以工具性的作用呈現(xiàn)和結(jié)合在其他相關(guān)知識中，兩者兼有數(shù)和形的二重性.在三角函數(shù)和向量的綜合問題中，我們除了熟練運用三角和向量的基礎(chǔ)知識外，解題時還要結(jié)合思想方法的滲透，注意發(fā)揮幾何圖形的直觀作用和向量的工具性作用，

小結(jié) 三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似三角形和圓，本題在向量運算中滲透了三角知識，條件NP=（√2cosa，√sina）是解題的關(guān)鍵，通過對題目的深入探究，不難發(fā)現(xiàn)本題想通過NP模的幾何意義構(gòu)建圓，探索圓上動點的動直線與圓外定直線的夾角問題，雖然坐標代數(shù)運算是我們解題的重要方法，但是同學們不要忘記三角和向量具有的數(shù)、形二重性，幾何方法也是解題的重要方法，在學習中要克服“習慣性”偏愛“坐標”運算解題的習慣，應(yīng)在理性分析基礎(chǔ)上選擇運用代數(shù)還是幾何方法解題.

三、三角函數(shù)的實際應(yīng)用

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要的作用，是解決生產(chǎn)實際問題的工具.

解析 本題沒有給出自變量，如何選取恰當?shù)膮?shù)表示出陰影部分面積S是本題的難點，將已知條件集中到三角形中是解題的關(guān)鍵，觀察發(fā)現(xiàn)E，F(xiàn)點的變化引起陰影面積的變化，保證∠EAF=45°，因此我們可以選取∠EAB=a為參數(shù)，然后利用三角恒等變換及其相關(guān)知識解題，選取角作為變量建立函數(shù)模型是常見的解題思路，

數(shù)學是思維的科學，學數(shù)學的重要性不只體現(xiàn)在數(shù)學知識的應(yīng)用上，更重要的是體現(xiàn)在數(shù)學問題的思維方式上.上述幾個問題的分析啟發(fā)我們在學習中遇到問題要多觀察，思在算前，注意根據(jù)已知條件所提供的有用信息和求解目標所需要的信息，加強發(fā)散和聯(lián)想，從已有知識、方法系統(tǒng)中搜索相關(guān)的信息，進而尋找到合理的解決方式，借助數(shù)學思想進行嘗試、化歸.長此以往我們的思維意識將更清晰，思維目標更明確，