高 偉，郭思圻，鄭佳偉

（西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710100）

0 引言

傳統(tǒng)的Granger因果性檢驗(yàn)方法基于時(shí)間不變模型，不能捕捉時(shí)間序列的動(dòng)態(tài)行為。近年來，時(shí)變Granger因果性的研究得到了發(fā)展，Ding等（2000）[1]假設(shè)序列在短期時(shí)間段是平穩(wěn)的，研究了模型擬合算法得到時(shí)變Granger因果性。Hesse等（2003）[2]基于自適應(yīng)遞歸擬合帶有時(shí)變參數(shù)的VAR模型，用遞歸最小二乘算法，研究了Granger因果性的線性遞歸時(shí)變估計(jì)。Li等（2012）[3]提出的時(shí)變Granger因果性線性估計(jì)方法允許檢測瞬時(shí)因果聯(lián)系，推廣了Granger因果性的非線性參數(shù)方法，研究多維時(shí)間序列時(shí)變因果聯(lián)系。Zhao等（2013）[4]引入基于參數(shù)的建模方法描述時(shí)變線性和非線性Granger影響，追蹤其隨時(shí)間的變化，進(jìn)行模型選擇和預(yù)測。Lu等（2014）[5]提出了時(shí)變Granger因果性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)單向、雙向和同期因果影響，用于檢測全球原油市場的時(shí)變信息流動(dòng)，但僅是關(guān)于兩個(gè)序列之間的檢驗(yàn)，沒有考慮到其他變量的影響。而國內(nèi)關(guān)于動(dòng)態(tài)因果關(guān)系研究較少，本文主要研究動(dòng)態(tài)直接Granger因果性的檢驗(yàn)方法，將兩個(gè)序列間的Granger因果性推廣到多維時(shí)間序列情形，檢驗(yàn)給定其他序列條件下序列間的直接Granger因果關(guān)系。

1 時(shí)變偏Granger因果關(guān)系

1.1 時(shí)變偏Granger因果關(guān)系定義

定義1：設(shè)p維時(shí)間序列Xt= （X1，t，X2，t，…Xp，t）′，t=1，2，…，T?？紤]分量序列Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ，2，…p}之間的偏Granger因果關(guān)系，假設(shè)：

其中為 在t-1時(shí)刻 ，序 列{Xm，t}，m=1，…，j-1，j+1，…，p所包含的的信息集是給定t-1時(shí)刻的信息條件下Xi，t的條件期望；ui，t為殘差序列。

定義t時(shí)刻uj，t對ui，t,ui，t對uj，t的滯后k∈{0，1，2，…}（非負(fù)整數(shù)）階偏相關(guān)系數(shù)如下：

（1）如果 ?k，使得ρij，t（k）≠0 ，則在t時(shí)刻Xj是Xi的偏Granger原因，稱Xj和Xi之間存在單向偏Granger因果關(guān)系，記為Xj→Xi。

（2）如果 ?k，使得ρji，t（k）≠0 ，則在t時(shí)刻Xi是Xj的偏Granger原因，稱Xi和Xj之間存在單向偏Granger因果關(guān)系，記為Xi→Xj。

（3）如果 ?k，l，使得ρij，t（k）≠0 ，ρji，t（l）≠ 0,則在t時(shí)刻Xj與Xi有雙向時(shí)變偏Granger因果關(guān)系記為Xi?Xj。

由定義1的式（1）和式（2），對于考慮Xi，t和Xj，t之間的偏Granger因果關(guān)系，殘差ui，t為去掉除Xj，t外其他變量過去值的影響后，序列Xi，t的殘差；殘差uj，t為去掉除Xi，t外其他變量過去值的影響后，序列Xj，t的殘差。如果給定所有其他變量條件下，Xj，t的過去對Xi，t有影響，則這部分信息將包含在殘差ui，t中，導(dǎo)致殘差序列ui，t和uj，t之間存在相關(guān)關(guān)系。如果給定所有其他變量條件下，Xi，t的過去對Xj，t有影響，則這部分信息將包含在殘差uj，t中，導(dǎo)致殘差序列uj，t和ui，t之間存在相關(guān)關(guān)系。

1.2 時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

考慮Xi，t和Xj，t，i，j∈{1 ， 2，…p}之間的時(shí)變偏Granger因果關(guān)系，根據(jù)定義1，需要計(jì)算t時(shí)刻隨機(jī)變量ui，t和uj，t之間的相關(guān)系數(shù)。由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特殊性，在一個(gè)時(shí)刻只有一個(gè)觀測值，對于平穩(wěn)時(shí)間序列，t時(shí)刻隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量常結(jié)合t時(shí)刻前后觀測值來進(jìn)行估計(jì)，即選擇合適的時(shí)間區(qū)間[t-S+1，t]內(nèi)的觀測值，計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量。

另外一個(gè)需要考慮的問題是滯后值k∈{0，1，2，…}（非負(fù)整數(shù)）的選擇，由于觀測時(shí)間的影響，不可能得到所有滯后階數(shù)上的樣本相關(guān)系數(shù)，只能根據(jù)一部分滯后階數(shù)的結(jié)果進(jìn)行判斷。一般考慮構(gòu)造一段滯后值（如k=1，2，…S-1階）上的相關(guān)系數(shù)的函數(shù)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量推斷Granger因果關(guān)系[6]。下面介紹具體方法和步驟。

不失一般性，假設(shè)要檢驗(yàn)分量序列X1，t和X2，t之間的時(shí)變偏Granger因果關(guān)系，由定義1，首先建立VAR（q）模型，其中q為給定的最大滯后值：

分別得到X1，t和X2，t給定其他分量序列（分別為除X2，t和X1，t外）滯后影響下的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列u1，t和u2，t，t=1，2，…，T。

為判斷時(shí)變Granger因果性，Hong（2001）[6]提出Rolling子樣本上的Hong檢驗(yàn)方法，本文將的方法應(yīng)用到時(shí)變偏Granger因果性的檢驗(yàn)。

對于選定的子樣大小參數(shù)S，S＜T，計(jì)算抽樣區(qū)間[t-S+1，t] 內(nèi)u1，t和u2，t的滯后k階樣本互協(xié)方差：

計(jì)算u2，t對u1，t的滯后k階樣本互相關(guān)系數(shù)：

u1，t對u2，t的滯后k階樣本互相關(guān)系數(shù)：

其中C11，t（0，S），C22，t（0，S）為u1，t和u2，t的子樣本方差，r12，t（k，S），r21，t（k，S）稱為Rolling偏相關(guān)系數(shù)。

Hong（2001）[6]證明，如果序列u1，t和u2，t是相互獨(dú)立的且存在2階矩，則：

基于以 上定義的 Rolling 偏相關(guān)系數(shù)r12，t（k，S）和r21，t（k，S），構(gòu)造 Rolling Hong 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，定義t時(shí)刻X2→X1的單向Rolling Hong檢驗(yàn)，判斷單向時(shí)變偏Granger因果關(guān)系：

定義t時(shí)刻X1→X2的單向rolling Hong檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

定義t時(shí)刻X2?X1的雙向Rolling Hong檢驗(yàn)，判斷雙向時(shí)變偏Granger因果關(guān)系：

其中K（x）是核函數(shù)，M是一個(gè)正整數(shù),C1S（K），D1S（K），C2S（K）和D2S（K）按下面方法估計(jì)[7]：

Hong（2001）[6]證明，在合適的正則化條件下，如果序列X1，t和X2，t相互獨(dú)立，則Rolling Hong檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從漸近正態(tài)分布?？梢宰C明，類似的結(jié)果對于本文的偏相關(guān)統(tǒng)計(jì)量仍然成立，即：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，本文實(shí)證研究中核函數(shù)選擇Barttlett內(nèi)核：

Hong（2001）[6]指出,Rolling樣本S的大小影響檢驗(yàn)的有效性，并提出用Belle（2008）[7]的方法計(jì)算S，本文采用同樣的方法選擇S=100。

綜合上述結(jié)果，時(shí)變偏Granger因果關(guān)系的檢驗(yàn)步驟如下：

步驟1:建立VAR模型，計(jì)算模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差；

步驟2:計(jì)算ui，t的滯后k階相關(guān)系數(shù)ri，t，i=1，2 ；

步驟3:根據(jù)確定的子樣大小參數(shù)S，核函數(shù)K（x）和參數(shù)M，計(jì)算時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和的值；

步驟4:判斷t時(shí)刻因果關(guān)系的存在性，顯著性水平α=0.01，若（S）＞ 2.33，i=1，2;（S）＞2.33，則稱t時(shí)刻對應(yīng)的單向（雙向）偏Granger因果關(guān)系是顯著的。

2 實(shí)證

2.1 數(shù)據(jù)來源及預(yù)處理

本文選取2010年1月5日至2015年7月23日上證指數(shù)、深證指數(shù)、恒生指數(shù)的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，共1345組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來自于搜狐財(cái)經(jīng)。

用Pt表示第t天股票市場的收盤價(jià)格，計(jì)算每日對數(shù)收益率Rt：

圖1 上證股市、深證股市和香港股市日收益率數(shù)據(jù)圖

從三個(gè)股市的日對數(shù)收益率序列圖1可以看出，上證股市、深證股市和香港股市的日收益率波動(dòng)整體上不是太大，在2015年之后有一段時(shí)間的大幅度波動(dòng)。

2.2 時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

用提出的偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法對上證股市、深證股市、香港股市的日收益率進(jìn)行分析。并且和Rolling Hong基于兩個(gè)序列的檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果見圖2。

圖2 時(shí)變Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)結(jié)果

觀察圖2中數(shù)據(jù)的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：

（1）上證綜指與恒生指數(shù)的Roling Hong檢驗(yàn)的結(jié)果與時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的結(jié)果相比，由圖2（a）可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)的上證綜指對恒生指數(shù)的單向因果關(guān)系比運(yùn)用Rolling Hong檢驗(yàn)方法所檢驗(yàn)出的結(jié)果要小很多。圖2（b）和（c）表明恒生指數(shù)對上證綜指的單向因果關(guān)系、兩指數(shù)的雙向因果關(guān)系都沒有明顯的不同。結(jié)合圖2（f），上證綜指和深證成指有著顯著的雙向因果關(guān)系，所以，當(dāng)在研究上證綜指與恒生指數(shù)之間的因果關(guān)系時(shí)，深證成指是一個(gè)很大的影響因素。當(dāng)剔除掉深證成指的影響之后，上證綜指對恒生指數(shù)的單向因果關(guān)系不再顯著，表明兩個(gè)序列的因果關(guān)系檢驗(yàn)結(jié)果收到第三個(gè)變量的影響，而時(shí)變偏Granger因果檢驗(yàn)可以剔除其他變量的影響，更客觀反映兩個(gè)變量之間的直接關(guān)系。

（2）圖2（d）、（e）、（f）表明上證綜指與深證成指的Rolling Hong檢驗(yàn)的結(jié)果與時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的結(jié)果基本相同，沒有特別明顯的變化，說明滬深股市的變化受香港股市等外來因素的影響很小，和朱宏泉等（2001）[8]的研究結(jié)果一致。

（3）深證成指與恒生指數(shù)的Roling Hong檢驗(yàn)的結(jié)果與時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的結(jié)果相比和上證綜指與恒生指數(shù)的結(jié)果相似，此處略去。

3 結(jié)論

本文引入了偏相關(guān)的方法，將Lu等（2014）[5]提出的兩個(gè)序列間時(shí)變Granger因果關(guān)系的rolling Hong檢驗(yàn)方法進(jìn)行推廣，研究兩個(gè)時(shí)間序列給定所有其他分量序列條件下的動(dòng)態(tài)Granger因果關(guān)系。應(yīng)用到中國股市的結(jié)果表明，時(shí)變偏相關(guān)Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)得到的結(jié)果均比Rolling Hong檢驗(yàn)研究出的結(jié)果要穩(wěn)定，時(shí)變偏Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)方法相對于傳統(tǒng)原始的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)，剔除了其他變量的影響，研究兩個(gè)序列之間直接的動(dòng)態(tài)Granger因果關(guān)系。