陳 波，溫增平，趙文哲

(中國(guó)地震局地球物理研究所，北京 100081)

0 引言

我國(guó)是世界上陸地地震災(zāi)害最嚴(yán)重的國(guó)家之一，特別是隨著經(jīng)濟(jì)建設(shè)和城市化進(jìn)程的不斷加快，地震災(zāi)害潛在風(fēng)險(xiǎn)水平不斷提高。易損性分析作為災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)分析的3個(gè)主要部分(地震危險(xiǎn)性分析、承災(zāi)體的易損性分析、災(zāi)情損失評(píng)估)之一，其核心是建立建筑結(jié)構(gòu)出現(xiàn)或超越各種破壞狀態(tài)的概率與地震強(qiáng)度之間的關(guān)系。開(kāi)展建筑結(jié)構(gòu)地震易損性分析對(duì)于地震破壞和損失預(yù)測(cè)以及減輕地震災(zāi)害具有十分重要的意義。

在實(shí)際地震現(xiàn)場(chǎng)和震害預(yù)測(cè)的工作中，研究人員積累了大量基于烈度的建筑結(jié)構(gòu)震害經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，即用烈度-震害程度的比例或概率構(gòu)成的易損性矩陣，然而烈度的獲得是基于人的感覺(jué)、器物反應(yīng)、房屋為主的工程結(jié)構(gòu)破壞、地表破壞等4類宏觀現(xiàn)象來(lái)評(píng)定(胡聿賢，2006；中國(guó)地震烈度表，GB/T 17742—2008；明小娜等，2017)。這也意味著隨著我國(guó)建筑抗震設(shè)防水平的提高，不同時(shí)期烈度本身的度量尺度也會(huì)發(fā)生變化，所以基于烈度的易損性矩陣具有較大的不確定性(Lagomarsino，Cattari，2014)。然而以往大多數(shù)震害預(yù)測(cè)中關(guān)于房屋建筑易損性的評(píng)估，都是基于烈度進(jìn)行，即表示結(jié)構(gòu)在不同烈度下出現(xiàn)各破壞狀態(tài)的概率(韓淼等，2009)。為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能，更好地進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)，完成對(duì)現(xiàn)有建筑物的加固和維修，加快地震保險(xiǎn)在全國(guó)范圍內(nèi)的推行，基于烈度的易損性矩陣很難滿足實(shí)際需要，特別是對(duì)于土木結(jié)構(gòu)、磚石結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)易房屋，難以通過(guò)結(jié)構(gòu)模擬分析獲取其易損性曲線，如何完善現(xiàn)有的易損性矩陣，并將基于烈度的易損性矩陣轉(zhuǎn)化為更合理的基于地震動(dòng)參數(shù)的易損性矩陣顯得尤為重要(胡少卿等，2007；劉如山等，2009；李靜等，2012；馬玉宏等，2015)。

本文采用最大似然估計(jì)的曲線方法對(duì)震害資料進(jìn)行分析。選取PGA作為地震動(dòng)參數(shù)，根據(jù)烈度與地震動(dòng)參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將結(jié)構(gòu)基于烈度的不同破壞狀態(tài)的概率矩陣轉(zhuǎn)化為基于PGA的不同破壞狀態(tài)的概率矩陣，得到連續(xù)的基于地震動(dòng)參數(shù)的易損性曲線。

1 易損性矩陣曲線化方法

地震易損性是指結(jié)構(gòu)在不同地震作用下，出現(xiàn)各種破壞狀態(tài)的條件概率，它從概率的角度定量表征結(jié)構(gòu)的抗震能力，表達(dá)式為：

F(IM=x) =P(IM≥IMC/IM=x) =P(IMC≤x)

(1)

式中：IM為地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)；IMC是結(jié)構(gòu)物達(dá)到破壞狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的地震動(dòng)參數(shù)；F(IM)為易損性函數(shù)。

建筑結(jié)構(gòu)易損性主要通過(guò)地震易損性曲線和震害矩陣來(lái)表示。一般易損性曲線橫坐標(biāo)為地震的強(qiáng)度指標(biāo)，如烈度、峰值加速度、峰值速度、地震動(dòng)反應(yīng)譜值等，縱坐標(biāo)為達(dá)到不同破壞等級(jí)的超越概率。易損性曲線的獲得可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)法(Colombietal，2008)、解析法(Lagomarsino，Cattari，2014)及混合法(Aldemiretal，2013)。在易損性的研究進(jìn)程中對(duì)易損性函數(shù)的選用，不同學(xué)者提出了不同的數(shù)學(xué)模型，如：邏輯回歸函數(shù)(Singhal，Kiremidjian，1998)、威爾遜分布函數(shù)(Shinozukaetal，2007)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)(Shinozukaetal，2000；Yamazakietal，2000)等，其中對(duì)數(shù)正態(tài)分布最為常用。

易損性曲線的擬合方法有很多種，如多項(xiàng)式擬合、最小二乘法擬合、最大似然估計(jì)法擬合等(Shinozukaetal，2000；Baker，2013；陳力波等，2012；吳子燕等，2014；林慶利等，2017)。本文采用最大似然估計(jì)法，通過(guò)MATLAB程序做具體計(jì)算和繪制易損性曲線，獲取基于地震動(dòng)參數(shù)的易損性曲線的具體流程，如圖1所示。

圖1 震害矩陣的曲線化計(jì)算方法

1.1 建筑物破壞等級(jí)分類

建筑物破壞等級(jí)通常可分為5類(GB/T 24335—2009)：DSk(k=0，1，…，4)分別表示基本完好、輕微破壞、中等破壞、嚴(yán)重破壞、毀壞5種破壞狀態(tài)。LSs(s=1，2，3，4)為5種破壞狀態(tài)之間的閾值，分別代表“輕微破壞”“中等破壞”“嚴(yán)重破壞”“毀壞”4種破壞狀態(tài)的極限值，如圖 2所示。

圖2 易損性超越概率曲線不同破壞狀態(tài)示意圖

1.2 烈度與地震動(dòng)參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

地震烈度是地震引起的地面震動(dòng)及其影響的強(qiáng)弱程度。鑒于早期監(jiān)測(cè)條件的限制，詳細(xì)的強(qiáng)震記錄很難獲得，但是通過(guò)烈度評(píng)定，地震工作者積累了豐富的宏觀烈度資料。胡聿賢和張敏政(1984)提出了缺乏強(qiáng)震觀測(cè)資料地區(qū)地震動(dòng)參數(shù)的估算方法；田啟文等(1986)進(jìn)行了根據(jù)烈度資料估算我國(guó)地震動(dòng)參數(shù)衰減規(guī)律的一系列研究；特別是《中國(guó)地震烈度表》(GB/T 17742—2008)作為我國(guó)地震烈度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，給出了烈度與峰值加速度(PGA)和峰值速度(PGV)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文采用《中國(guó)地震烈度表》(GB/T 17742—2008)給出的烈度與地震動(dòng)參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)值，從表1中可以看出，每一個(gè)烈度對(duì)應(yīng)的PGA和PGV。

表1 地震烈度與峰值加速度PGA和峰值速度PGV的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.3 基于最大似然估計(jì)法確定易損性雙參數(shù)

在易損性研究的進(jìn)程中，對(duì)數(shù)正態(tài)分布數(shù)學(xué)模型作為易損性的概率模型已經(jīng)被驗(yàn)證是一種成熟、理想的模型，本文也采用對(duì)數(shù)累計(jì)正態(tài)分布函數(shù)作為易損性函數(shù)。易損性函數(shù)定義為：

(2)

式中：P(C|IM=x)是地震動(dòng)強(qiáng)度達(dá)到IM=x時(shí)，結(jié)構(gòu)物到達(dá)某一極限狀態(tài)的概率；Φ是標(biāo)準(zhǔn)累積正態(tài)分布函數(shù)；θ是易損性函數(shù)的中位數(shù)，β為lnIM的標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)于超越破壞狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，由式(2)定義的易損性函數(shù)，可以得到在IM=xi處的似然函數(shù)的密度函數(shù)：

(3)

相應(yīng)的，對(duì)于未超越破壞狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，在IM=xi處的似然函數(shù)的密度函數(shù)為：

(4)

根據(jù)不同的破壞狀態(tài)有不同的中位數(shù)θ和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差β，定義似然函數(shù)為：

(5)

式中：N為統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)總數(shù)；xi表示第i棟結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的峰值加速度；ti為伯努利事件，如果達(dá)到破壞狀態(tài)，ti=1，否則，ti=0。

雙參數(shù)θ和β計(jì)算公式為：

(6)

2 震害矩陣曲線化實(shí)例

2.1 震害資料的收集和統(tǒng)計(jì)

地震現(xiàn)場(chǎng)作為大的原型實(shí)驗(yàn)場(chǎng)，工程結(jié)構(gòu)的真實(shí)震害經(jīng)驗(yàn)是地震工程學(xué)發(fā)展的重要支柱，人類如何抗御地震災(zāi)害的認(rèn)識(shí)很大程度也來(lái)源于此(溫增平等，2009)。四川省地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，地震活動(dòng)頻繁，房屋結(jié)構(gòu)類型多樣，歷史上發(fā)生過(guò)多次7級(jí)以上特大地震，特別是2008年汶川8.0級(jí)地震、2013年蘆山7.0級(jí)地震造成了嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡。孫柏濤等(2014)采用不同分級(jí)和分區(qū)域的方法研究了南北地震帶各類房屋建筑的分布特征和抗震能力，以四川省為例，將其分為：I區(qū)，西部地區(qū)；II區(qū)，中北部地區(qū)；III區(qū)，中南部地區(qū)。結(jié)合6個(gè)地級(jí)市204個(gè)調(diào)查點(diǎn)的23 964棟房屋建筑調(diào)查結(jié)果和汶川地震等歷史震害經(jīng)驗(yàn)對(duì)其房屋建筑進(jìn)行調(diào)查，給出了分區(qū)域各類結(jié)構(gòu)房屋的基于烈度的易損性矩陣。

2.2 土木結(jié)構(gòu)房屋易損性曲線

本文首先以孫柏濤等(2014)統(tǒng)計(jì)給出的III區(qū)土木結(jié)構(gòu)易損性矩陣為例，計(jì)算結(jié)構(gòu)超越概率易損性曲線。圖 3為分別以散點(diǎn)圖和直方圖來(lái)直觀地表達(dá)III區(qū)土木結(jié)構(gòu)房屋在不同烈度作用下的破壞比結(jié)果。

通過(guò)基于烈度的土木結(jié)構(gòu)房屋易損性矩陣，從破壞狀態(tài)DSi的破壞概率累積計(jì)算出超越每個(gè)極限破壞狀態(tài)LSi的累計(jì)概率，得到相應(yīng)土木結(jié)構(gòu)房屋的超越概率矩陣，詳見(jiàn)表2。

通過(guò)最大似然估計(jì)法，結(jié)合表 1，利用MATLAB軟件即可求得土木結(jié)構(gòu)房屋超越概率，計(jì)算得到其對(duì)數(shù)正態(tài)分布的易損性函數(shù)雙參數(shù)θ和β，如表3所示。

表2 III區(qū)土木結(jié)構(gòu)房屋超越概率矩陣(%)

圖3 III區(qū)土木結(jié)構(gòu)房屋震害矩陣散點(diǎn)圖(a)及直方圖(b)

易損性曲線雙參數(shù)輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴(yán)重破壞LS3毀 壞LS4θ0.0730.1370.2630.482β0.8390.7060.7790.711

采用易損性曲線雙參數(shù)θ和β即可繪制出III區(qū)基于地震動(dòng)參數(shù)PGA土木結(jié)構(gòu)房屋的超越概率易損性曲線，如圖4所示。超越概率的離散點(diǎn)是通過(guò)實(shí)際震害資料調(diào)查計(jì)算得到的，與最大似然估計(jì)法擬合的易損性超越概率校核曲線一致，可以得到理論分析的最大似然估計(jì)曲線是合理的、準(zhǔn)確的。由此通過(guò)擬合的易損性曲線可以得到不同PGA(單位：g，1 g=9.8 m/s2)對(duì)應(yīng)的不同破壞狀態(tài)的超越概率(表4)。

圖4 土木結(jié)構(gòu)房屋易損性超越概率曲線

PGA/g輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴(yán)重破壞LS3毀 壞LS40.01 0.89 0.01 0.00 0.000.10 64.66 32.78 10.72 1.350.20 88.55 70.40 36.28 10.810.30 95.41 86.66 56.74 25.260.40 97.88 93.55 70.51 39.670.50 98.91 96.67 79.55 52.060.60 99.40 98.18 85.54 62.100.70 99.65 98.96 89.58 70.010.80 99.79 99.38 92.36 76.190.90 99.86 99.62 94.30 81.011.00 99.91 99.76 95.69 84.76

為了得到處于不同破壞狀態(tài)的概率，用PDSk表示在DSk狀態(tài)下的概率；PLSs表示極限破壞狀態(tài)的概率。結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)下的損害概率，通過(guò)以下公式求得：

PDS0(xi)=1-PLS1(xi)

(7)

PDSk(xi)=PLSk(xi)-PLSk+1(xi)=

(8)

表5 基于PGA的土木結(jié)構(gòu)房屋易損性矩陣(%)

式中：k=1,2,3。

PDS4(xi)=PLS4(xi)

(9)

根據(jù)土木結(jié)構(gòu)易損性超越概率曲線結(jié)果，結(jié)合表4，通過(guò)式(7)～(9)可以得到不同破壞狀態(tài)下的易損性矩陣，如表 5所示。

通過(guò)式(7)～(9)繪制基于PGA土木結(jié)構(gòu)房屋的易損性曲線，如圖5所示，可直觀看到不同破壞狀態(tài)的損害概率隨PGA增大的變化趨勢(shì)，得到給定PGA下結(jié)構(gòu)超越不同破壞狀態(tài)的概率。

圖5 基于PGA土木結(jié)構(gòu)房屋震害矩陣易損性擬合曲線

2.3 多種房屋建筑的易損性曲線

與III區(qū)土木結(jié)構(gòu)房屋易損性曲線計(jì)算一致，通過(guò)最大似然估計(jì)方法，利用烈度與PGA之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本文將提供不同結(jié)構(gòu)處于不同破壞狀態(tài)下的易損性函數(shù)的雙參數(shù)θ和β，并繪制出其易損性曲線，如表 6所示?；谝讚p性曲線雙參數(shù)繪制四川省3個(gè)分區(qū)不同類型結(jié)構(gòu)的易損性曲線，如圖 6所示。

按照烈度與PGV之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣可以給出了基于PGV的不同結(jié)構(gòu)房屋在不同破壞狀態(tài)下的θ和β，如表7所示。

3 結(jié)論與討論

本文提出一種房屋震害矩陣雙參數(shù)曲線化方法，該方法基于烈度與地震動(dòng)參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，采用最大似然估計(jì)方法，將既有房屋易損性矩陣或?qū)嶋H震害統(tǒng)計(jì)的破壞比結(jié)果轉(zhuǎn)化為雙參數(shù)易損性曲線。具體認(rèn)識(shí)如下：

(1)該方法彌補(bǔ)了基于烈度易損性曲線的不足，特別是針對(duì)難以進(jìn)行模擬分析的結(jié)構(gòu)類型，如土木結(jié)構(gòu)、磚石結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)易房屋，提供了更為簡(jiǎn)便的途徑來(lái)得到相應(yīng)的易損性曲線。

(2)以四川省房屋震害矩陣為例，基于中國(guó)地震烈度表中烈度與地震動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，給出了各類房屋結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線特征參數(shù)，分析結(jié)果可為四川省基于地震動(dòng)參數(shù)的房屋建筑震害評(píng)估提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。需要注意的是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，針對(duì)不同的區(qū)域特征，應(yīng)合理選擇烈度-地震動(dòng)參數(shù)(PGA，PGV)的關(guān)系模型。

圖6 四川省分區(qū)域各類型房屋結(jié)構(gòu)震害矩陣擬合曲線

分區(qū)及結(jié)構(gòu)類型輕微破壞LS1中等破壞LS2嚴(yán)重破壞LS3毀 壞LS4θβθβθβθβ土木結(jié)構(gòu)0.0700.6960.1260.6750.2390.7320.4670.694西部地區(qū)磚木結(jié)構(gòu)0.0830.7030.1710.7390.3460.6780.7840.720(I區(qū))穿斗木結(jié)構(gòu)0.1020.6690.2120.7260.5190.8481.7300.926磚石結(jié)構(gòu)0.0920.6890.1530.5470.2380.6130.4910.845土木結(jié)構(gòu)0.0730.8390.1370.7060.2630.7790.4820.711中北部地區(qū)(II區(qū))磚木結(jié)構(gòu)0.0900.7320.1850.7370.3650.6870.8080.707穿斗木結(jié)構(gòu)0.1090.6660.2240.6960.5580.8541.7500.851土木結(jié)構(gòu)0.0730.8390.1370.7060.2630.7790.4820.711中南部及東部地區(qū)(III區(qū))磚木結(jié)構(gòu)0.0910.7230.1900.7420.3710.6880.8250.694穿斗木結(jié)構(gòu)0.1050.6730.2130.7010.5420.8681.6960.853高層建筑(高設(shè)防)0.2980.5990.7370.6241.3650.4761.1580.077高層建筑(一般設(shè)防)0.2770.5310.6340.5951.2760.5141.1340.075鋼混結(jié)構(gòu)(高設(shè)防)0.2670.7850.5400.5480.8410.5061.6290.558鋼混建筑(一般設(shè)防)0.2280.7380.4810.5840.6960.4661.5270.607設(shè)防磚混(高設(shè)防)0.1760.8610.3570.7340.6020.6001.6240.740設(shè)防磚混(一般設(shè)防)0.1390.8450.2920.7090.5100.6081.3720.828未設(shè)防磚混0.1190.7700.2230.6230.3960.6601.0310.786

表7 基于PGV的不同結(jié)構(gòu)不同破壞狀態(tài)下的易損性曲線雙參數(shù)θ(單位：m/s)和β

(3)本文提出的易損性矩陣曲線化方法具有較高的可靠性和適用性，在進(jìn)一步研究工作中可應(yīng)用該方法對(duì)已有的易損性矩陣或曲線進(jìn)行校驗(yàn)和完善，以便更好地服務(wù)于地震災(zāi)害快速評(píng)估、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)和保險(xiǎn)估算等。

考慮到目前直接獲取的強(qiáng)震記錄均為未修正的結(jié)果，烈度與地震動(dòng)參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系還需要進(jìn)一步完善，本文通過(guò)基于房屋震害矩陣曲線化方法得到的易損性曲線與真實(shí)情況相比存在一定誤差。隨著烈度與地震動(dòng)參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的完善，本文方法可得到更加廣泛的應(yīng)用。