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數(shù)學(xué)之美之數(shù)形結(jié)合

2018-11-23 04:29蔡萃藝
新高考·高三數(shù)學(xué) 2018年5期
關(guān)鍵詞:面紗做題圖象

蔡萃藝

依稀記得剛走進初中大門之時,數(shù)學(xué)老師在班級公共郵箱里放了一份《數(shù)學(xué)之美》的ppt文件.點開后,是一張張精美的幾何動態(tài)圖,幾張體現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間運算規(guī)律的宏大的平面圖,數(shù)與形的美妙結(jié)合給我?guī)砹藦娏业囊曈X沖擊.曾經(jīng)的我單純地認為數(shù)學(xué)就是數(shù)字的運算,只有通過縝密的頭腦風(fēng)暴才能將數(shù)學(xué)運用得如魚得水,而數(shù)字就是人們操控數(shù)學(xué)的秘密武器,在我將那份ppt從頭到尾一圖不落一字不漏地看完后,之前在腦海中構(gòu)建出的數(shù)學(xué)概念堡壘,瞬間被一個個奇形怪狀的立體圖形轟炸成碎片,需要被替換、更新、重組.

雖說有被數(shù)學(xué)之美驚艷到,但內(nèi)心其實還充滿著對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼,人們總是對未知的事物有著探索的渴望;與渴望并存的,還有對探索結(jié)果的恐懼.一想到這些“美”的背后煩瑣的證明過程,復(fù)雜的計算方法,我總是踟躕在數(shù)學(xué)之美的表面,難以感受到它背后更具有深度的美.這就仿佛給數(shù)學(xué)蒙上了一層朦朧的面紗,你深知面紗之下的真容能夠觸動大腦里最僵硬的那根神經(jīng),給你一種如釋重負、恍然大悟的快感,但卻捉摸不透揭開那層面紗的方法,

總而言之,數(shù)學(xué)不單單研究數(shù)字,它還研究結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等方面,從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種.

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,幾何與數(shù)字的關(guān)系并不是非常緊密,稍有涉及的無非是計算圖形的面積、周長,要求稍微高點則是計算最值問題等.到了初中,圖形的種類變得豐富起來,函數(shù)也登上了數(shù)學(xué)的舞臺,這兩者之間的結(jié)合便構(gòu)成高中試卷壓軸題型——考查數(shù)形結(jié)合的函數(shù)題.

函數(shù)可以用圖象來表示,其中必然會涉及幾何問題;幾何圖形里大有文章可做,最為寵幸的便是函數(shù).這兩者的結(jié)合可謂是“雙劍合璧”了.華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”,“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性,而數(shù)形結(jié)合,主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

運用數(shù)形結(jié)合的思想解題可以起到事半功倍的成效,在過去接觸的大部分題目里,題干中并不會給出明確的提示來揭示這道題的本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,這就要求我們做題時擁有一種敏銳的直覺.原式進行各種變形轉(zhuǎn)化后還是無法找到解題的突破口,就可以換一種思路,采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決,

例 已知f(x)=m(x-2m)(x+m +3), g(x) =2x-2,若x∈R,f(x)<0或g(x)<0,則m的取值范圍是____.

大部分人都會先解m(x-2m)(x+m+3)<0和2x-2<0,將x的范圍求出,這時便需要注意條件中的“或”字,說明兩者中只需有一者小于零即可,但由于m的正負未知,2m與m 3的大小也就無法確定.進行分類討論的工作量可以說是十分大了.不妨換條路走,f(x)是二次函數(shù)形式,可以畫出它大致的圖象,g(x)的圖象是可以確定的,于是我們可以得到圖1.

由圖可知,當x<1時,g(x)<0,因此此時f(x)的圖象只要是拋物線即可.當x≥1時,因為g(x)>0,所以f(x)<0,這時就要求我們對x≥1時f(x)的圖象進行條件限制.首先先確定m的正負,由它來決定f(x)圖象的開口方向.當m>0時,圖象開口向上,則x趨于正無窮時總會有f(x)>0恒成立,因此m必須為負數(shù),所以f(x圖象與x軸的交點為(2m,0)和(-m-3,0),就如圖2.再通過確定交點的左右位置即可對m進行分類討論,求解就簡單多了.

由此可見,數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”,即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的,這個方法常常與以下內(nèi)容有關(guān):實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系,函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系,曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系,以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念(如三角函數(shù))等,

我們要在平常做題的過程中,不斷總結(jié)積累,慢慢領(lǐng)悟出數(shù)形結(jié)合的思想方法,讓兩者相得益彰地輔助我們思考,從而達到解決問題的目的,如果說代數(shù)與幾何是數(shù)學(xué)界的兩大強者,強強針鋒相對之時你不知所措,只會被夾在中間受到二倍技能的傷害,倘若你選擇避開,同樣會造成兩敗俱傷,而你則無利可收.因此不如試著將它們征服于股掌之間,融合出更為強大的必殺技,想必到那時,許多囤積的難題便可以迎刃而解了.

點評 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個非常有效的方法,該生能感受到其中的生動有趣,體會到數(shù)學(xué)之美,對其將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必有助益.

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