宋來忠 廖大乾

(三峽大學(xué) 理學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

混凝土可視為由大量隨機(jī)分布的增強(qiáng)顆?！橇弦约吧匙雍退嗨M成的混合物—砂漿所組成的多相復(fù)合材料．起初，人們先假設(shè)增強(qiáng)顆粒形狀為球形來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬．由于增強(qiáng)顆粒形狀一般都不是球形，人們進(jìn)一步假設(shè)顆粒形狀為橢球[1-2]；還有學(xué)者將增強(qiáng)顆粒的形狀假設(shè)為廣義橢球體進(jìn)行數(shù)值模擬[3]．為了使所模擬的增強(qiáng)顆粒的形狀更加接近自然形狀，一些學(xué)者[4-6]假設(shè)顆粒為多面體，研究了“大量多面體隨機(jī)分布的空間區(qū)域”的計(jì)算機(jī)模擬．作者[7-8]使用自由曲線曲面變形技術(shù)，將橢球變形得到了更加接近自然增強(qiáng)顆粒形狀的形體，去掉了一些學(xué)者在研究中的“凸性”限定條件，并且給出了這種顆粒形體的參數(shù)方程，得到了更加接近實(shí)際的混凝土材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)．但有一個(gè)問題：如此模擬的顆粒過于不規(guī)則，以至于難以確定它的內(nèi)部與外部．由于星形不一定是凸的，但卻可以判斷其內(nèi)部與外部；所以，本文在文獻(xiàn)[7-8]的基礎(chǔ)上，對(duì)顆粒的形狀給出一定的限制，使其成為星形，直接給出空間點(diǎn)與這類星形顆粒位置關(guān)系的判別法則、空間點(diǎn)與這類星形顆粒的距離的近似計(jì)算與誤差估計(jì)，使得顆粒的影響區(qū)域在試件創(chuàng)建中減小，顆粒在試件中的分布更加合理、密度加大，從而能創(chuàng)建出具有更高顆粒含量的模型試件．

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 星形的定義

定義1如果一個(gè)簡單閉區(qū)域Ω上至少存在一點(diǎn)0∈Ω，使得對(duì)任意P∈Ω都有直線段OP∈Ω，則稱Ω關(guān)于點(diǎn)O是星形．

顯然，所有的凸單連通的簡單閉區(qū)域都是星形．如果用I(Ω)表示區(qū)域Ω的內(nèi)部，E(Ω)表示區(qū)域Ω的外部，?Ω表示區(qū)域Ω的邊界，假如Ω關(guān)于點(diǎn)O是星形的，那么對(duì)空間中任意一點(diǎn)，過P的直線與Ω邊界的?Ω交點(diǎn)不超過2．并且易得如下判定定理．

定理1設(shè)Ω為關(guān)于點(diǎn)O是星形的，若空間任意點(diǎn)P0(x0，y0，z0)與O的連線交邊界?Ω于P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)兩點(diǎn)，那么

(1)

1.2 星形參數(shù)化描述及條件

作者在文獻(xiàn)[8]引入了一種新的伸縮因子函數(shù)，下面將要使用這個(gè)伸縮因子將橢球變形．

定義2設(shè)0

令

t=(u-u0)2+(v-v0)2(2)

作R2上的連續(xù)函數(shù)：

(3)

令

(4)

則B(u，v)被稱為是R2上的基本伸縮因子．其中Ω1是峰值區(qū)域，而Ω2為變形區(qū)域．

橢球面的參數(shù)方程可表示為：

(5)

其中I=[0，2π]×[0，π]，T=(tij)，i，j=1，2，3，且t11=cosφcosψ-sinφcosθsinψ，t12=cosφsinψ+sinψcosθcosφ，t13=sinφsinθ，t21=-sinφcosψ-cosφcosθsinψ，t22=-sinφsinψ+cosφcosθcosψ，t23=cosφsinθ，a31=sinθsinψ，t32=-sinθcosψ，a33=cosθ.而θ，φ，ψ為歐拉角，且θ∈[0，π)，ψ∈[0，2π)，φ∈[0，2π)．P(u，v)為定義在參數(shù)(u，v)平面R2中區(qū)域I上的光滑曲面．

設(shè)變形中心為O′的取峰值區(qū)域Ω1和支區(qū)域Ω2(Ω1?Ω2?Ω)．取伸縮系數(shù)α1，α2，α3∈R，伸縮系數(shù)矩陣記為D=diag(α1，α2，α3)，豐滿指數(shù)k取為正整數(shù)．那么，變形之后的參數(shù)曲面Pd(u，v)與變形之前的橢球面P(u，v)就有如下關(guān)系：

Pd(u，v)=(DB(u，v)k+E)(P(u，v)-O′)+O′，

(u，v)∈I(6)

顯然，邊界曲面可由(7)表示的區(qū)域，不一定是星形區(qū)域．但實(shí)際上，有

定理2如果取O′=O，只要αi≥-1，i=1，2，3．那么，邊界為(7)的Ω關(guān)于點(diǎn)O為星形區(qū)域．

滿足定理2條件的方程(7)的空間圖形是星形(如圖1所示)．

(u，v)∈I(7)

其中，在第i個(gè)變形的區(qū)域中，峰值區(qū)域?yàn)棣?i，支區(qū)域?yàn)棣?i，它們分別為：

由于伸縮系數(shù)矩陣Di=diag(α1i，α2i，α3i)的所有元素都是大于等于-1的，故對(duì)于空間點(diǎn)P′(x′，y′，z′)=P′(x′(u′，v′)，y′(u′，v′)，z′(u′，v′))，可考慮函數(shù)：

g(u′，v′)=

那么，有

定理3設(shè)P′是空間中任意一點(diǎn)，那么

(10)

1.3 點(diǎn)到星形體的距離計(jì)算的搜索算法及誤差

定義3空間中任意一點(diǎn)P′(x′，y′，z′)到?Ω的距離，可以定義為

(11)

(u，v)∈I(12)

其參數(shù)區(qū)域是閉區(qū)域I=[0，2π]×[0，π]，所以可以考慮如下快速的搜索法算法：

第1步：給定自然數(shù)n，取ui+1=2iπ/n，vj+1=jπ/n；i=0，…，n-1，j=0，…，n-1

第2步：由式(8)計(jì)算星形表面上對(duì)應(yīng)的n2個(gè)點(diǎn)：Pd(x(ui，vj)，y(ui，vj)，z(ui，vj))

第3步：將上一步得到的n2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算n2個(gè)函數(shù)值：f(x(ui，vj)，y(ui，vj)，z(ui，vj))

第4步：取min{f(x(ui，vj)，y(ui，vj)，z(ui，vj))}

作為所求距離d(P，?Ω)的近似值．

定義4空間中任意一點(diǎn)P′到Ω的距離，可以定義為

(13)

如圖2所示．誤差滿足

可得距離的誤差范圍：

(14)

圖1 橢球變?yōu)樾切?圖2 點(diǎn)到骨料的距離誤差圖

2 基本算法

以試件中需生成的星形總個(gè)數(shù)的最大值N、或者試件中需生成的星形的總體積數(shù)S(星形體積的計(jì)算見文獻(xiàn)[8])、或者模擬時(shí)搜索中心連續(xù)被拒絕總次數(shù)K，來控制終止．用k記連續(xù)選取中心點(diǎn)O而被拒絕的次數(shù)；用n記已生成的星形個(gè)數(shù)；用s記已生成的星形的總體積數(shù)．主要步驟如下．

第1步：設(shè)定產(chǎn)生隨機(jī)星形的各種參數(shù)及其分布區(qū)域、試件中星形的總個(gè)數(shù)最大值N、星形的體積總數(shù)S以及搜索中心連續(xù)被拒絕總次數(shù)K，給初值n=1，k=0，s=0;

第2步：根據(jù)顆粒半徑的范圍，隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)數(shù)a；

第3步：在模擬區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)O(x0，y0，z0)，判斷它是否是在所有已生成的星形顆粒的外部；若否，則令k=k+1，轉(zhuǎn)到第4步；若是，由計(jì)算距離的搜索算法計(jì)算O與所有的已生成星形顆粒之間的距離，并判斷最小的距離d是否≥a(注意控制誤差)；若否，則令k=k+1，轉(zhuǎn)到第4步；若是，則取橢球的中心為O(x0，y0，z0)，長半軸長為a，生成一個(gè)橢球，再將橢球隨機(jī)變形，使之成為星形顆粒，并計(jì)算星形的體積s0，令s=s+s0，n=n+1，到到第4步；

第4步：如果滿足n>N，或k>K，或s>S，結(jié)束程序；否則，轉(zhuǎn)到第2步．

3 混凝土數(shù)值模擬實(shí)例

由于界面和骨料的尺度差異太大，受計(jì)算工具的限制，難以用有限元方法對(duì)其進(jìn)行力學(xué)分析計(jì)算．所以，本文采用其他一些學(xué)者的做法[4-6，9]，假設(shè)混凝土是具有星形增強(qiáng)顆粒以及砂漿所組成的兩相復(fù)合材料，伸縮系數(shù)控制在-0.16～-0.1之間．然后，根據(jù)文獻(xiàn)[10]所給的級(jí)配曲線模擬生成混凝土試件，如圖3、圖4所示．

圖3 骨料含量為55%的 圖4 骨料含量為60%的二級(jí)配隨機(jī)模擬 三級(jí)配隨機(jī)模擬

圖3是假設(shè)增強(qiáng)骨料形狀為星形，模擬的骨料含量為55%的二級(jí)配混凝土試件，模擬區(qū)域?yàn)閇0，15]×[0，15]×[0，15](單位：cm)，顆粒粒徑為0.5∶2，2∶4兩種級(jí)別．兩種骨料的體積分別是：839.165 6 cm3和1 017.202 2 cm3，所有骨料的總體積為1 856.367 8 cm3占到試件體積的55%．兩種骨料的配合比大約為4.5∶5.5．每種骨料顆粒數(shù)為3 527和130，骨料顆?？倲?shù)為3 657．

圖4是假設(shè)增強(qiáng)骨料形狀為星形，模擬的骨料含量為60.04%的三級(jí)配混凝土試件，模擬區(qū)域[0，30]×[0，30]×[0，30](單位：cm)，顆粒粒徑分別為0.5∶2,2∶4和4～8三種．每種骨料的體積分別為：4 050.08 cm3，4 864.87 cm3和7 295.18 cm3，骨料總體積為16 210.15 cm3占試件總體積的60.04%．3種骨料的配合比約為2.5∶3∶4.5．每種骨料個(gè)數(shù)為5 128和229，33，骨料顆?？倲?shù)為5 380．顯然，比文獻(xiàn)[8]的算法生成試件的骨料含量高．

值得注意的是：誤差估計(jì)式(14)，必須充分大才能成立，但n若取得太大，會(huì)影響計(jì)算速度．所以，在作模擬時(shí)，一定要注意檢查，以便選取適當(dāng)?shù)膎值．

4 有限元網(wǎng)格模型實(shí)例

本文選擇背景網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格全部采用Abaqus軟件中的C3D8R類型單元?jiǎng)澐郑畬⒄襟w的8個(gè)頂點(diǎn)作為背景網(wǎng)格的基本點(diǎn)來判斷，如果8個(gè)頂點(diǎn)有5個(gè)都屬于骨料單元，則這8個(gè)點(diǎn)組成的網(wǎng)格單元屬于骨料單元，否則，這8個(gè)點(diǎn)組成的網(wǎng)格單元屬于砂漿單元．

以圖3骨料含量為55%的幾何模型為例，對(duì)15 cm×15 cm×15 cm區(qū)域的用背景網(wǎng)格劃分，將其邊界其以3 mm為步長，分成50等分，共125 000個(gè)網(wǎng)格單元．得到的骨料單元51 284個(gè)，砂漿單元73 716，其中骨料的網(wǎng)格單元的含量為41%．如圖5～7所示．要說明的是：選用背景網(wǎng)格，當(dāng)幾何模型離散成有限元單元之后，一些較小的骨料，將會(huì)被砂漿“融掉”所以會(huì)降低骨料的含量．

圖5 砂漿背景網(wǎng)格圖 圖6 骨料背景網(wǎng)格圖 圖7 砂漿和骨料混合的背景網(wǎng)格圖

5 力學(xué)分析模擬試算

下面采用Abaqus軟件中混凝土塑性損傷模型的本構(gòu)關(guān)系[9]，對(duì)上述有限元模型，進(jìn)行力學(xué)分析試算．材料參數(shù)按文獻(xiàn)[10]選取，如表1所示．

表1 混凝土材料力學(xué)參數(shù)

對(duì)上述有限元模型試件底部添加固定約束，如圖8所示．為了方便處理，在試件的上端添加了一個(gè)參考點(diǎn)RP1，然后對(duì)頂部的上表面第一層與該點(diǎn)進(jìn)行全約束，保證頂部均勻受力，同時(shí)通過該點(diǎn)來體現(xiàn)整個(gè)試件的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系[11]，如圖9所示．

圖8 試件底部約束圖 圖9 試件頂部約束圖

然后，在試件的頂部施加的是方向向下的2 mm的位移荷載，得到試件受力過程的應(yīng)力分布云圖結(jié)果如圖10所示．加載結(jié)果的破壞過程如圖10所示．圖10(a)表示在沒有加外力的作用下，混凝土試件的初始狀態(tài)．圖10(b)表示的是混凝土試件局部區(qū)域開始出現(xiàn)損傷單元．圖10(c)表示混凝土試件的頂面所受的應(yīng)力表現(xiàn)的不如正面的應(yīng)力那么明顯，其中正面的應(yīng)力比較集中，逐漸呈現(xiàn)出“X”形狀的趨勢(shì)．從圖10(d)可以看出，隨著荷載的施加，試件損傷單元沿試件45度方向慢慢擴(kuò)展，最終形成一條宏觀裂縫．圖10(e)表示的是在極限應(yīng)力作用下，兩個(gè)受力面的三維視圖，其中兩個(gè)應(yīng)力面均顯示了混凝土試件的損傷單元都是沿著45°方向擴(kuò)展．這與文獻(xiàn)[12]報(bào)道的真實(shí)的混凝土試件在受壓狀態(tài)下的損傷結(jié)構(gòu)基本一致．

圖10 三維混凝土試件單軸壓縮破壞損傷過程圖

對(duì)比圖11和Abaqus手冊(cè)[9]中的標(biāo)準(zhǔn)混凝土單軸壓縮損傷圖像圖，可以看出兩者變化趨勢(shì)基本一致．

圖11 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖

6 結(jié) 語

本文在文獻(xiàn)[7-8]的基礎(chǔ)上，對(duì)復(fù)合材料的增強(qiáng)顆粒的形狀給出一定的限制，使其成為星形，創(chuàng)建出比以往文獻(xiàn)中報(bào)道的顆粒含量更高的試件．為進(jìn)一步從細(xì)觀力學(xué)的角度，分析具有增強(qiáng)顆粒的復(fù)合材料的性能，提供了創(chuàng)建更加接近真實(shí)試件的幾何模型方法．從理論上來說，本文的方法也是文獻(xiàn)[13]的三維推廣．