王威璇, 翟成波

(山西大學 數(shù)學科學學院, 太原 030006)

0 引 言

分數(shù)階微分方程在物理學、 力學、 控制理論和經(jīng)濟管理等領域應用廣泛[1-17], 其中無窮區(qū)間上的分數(shù)階微分方程也得到廣泛關注[2-6,8-9,17]. 但無窮區(qū)間上非線性分數(shù)階微分方程邊值問題的研究目前處于初始階段, 特別是對于無窮區(qū)間上分數(shù)階邊值問題正解的研究文獻報道較少. 文獻[4]研究了如下分數(shù)階微分方程m-點邊值問題:

(1)

正解的存在性, 利用Leggett-Williams不動點定理, 得到了其3個正解的存在性, 但未考慮正解的唯一性. 受文獻[4,18-19]啟發(fā), 本文利用算子之和的不動點定理, 考慮如下一類無窮區(qū)間上非線性分數(shù)階微分方程m-點邊值問題正解的存在性與唯一性:

(2)

1 預備知識

定義1[7]函數(shù)f:+→+的s階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

定義2[7]函數(shù)f:+→+的s階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義為

其中:s>0;n為大于或等于s的最小整數(shù).

引理1[4]設f∈C[0,+∞), 則分數(shù)階邊值問題:

引理2[4]Green函數(shù)G1(t,s)滿足如下性質:

1) 當(t,s)∈[0,+∞)×[0,+∞)時,G1(t,s)是連續(xù)的, 且G1(t,s)≥0;

2)G1(t,s)關于t是嚴格增的;

3) 當0

設E是實Banach空間,θ是E中的零元.P?E是一個錐, “≤”是由P引出的半序, 即v-u∈P?u≤v. 如果存在常數(shù)N>0, 使得u,v∈E,θ≤u≤v?‖u‖≤N‖v‖, 則錐P稱為正規(guī)的, 最小的N稱為P的正規(guī)常數(shù).

定義3[20]如果u≤v, 有Tu≤Tv(Tu≥Tv), 則稱T:E→E是增算子(減算子).

定義4[20]設0<γ<1, 如果對τ∈(0,1),u∈P, 有T(τu)≥τγTu, 則稱算子T:P→P是γ-凹的. 如果對τ>0,u∈P, 有T(τu)≥τTu, 則稱算子T:P→P是次齊次的.

對任意的u,v∈E,u～v表示存在λ>0和μ>0, 使得λu≤v≤μu. 顯然, ～是等價關系. 給定h>θ(i.e.,h≥θ且h≠θ), 定義集合Ph={u∈E|u～h}, 易得Ph?P.

引理3[18]設P是E中的正規(guī)錐,A:P→P是增的γ-凹算子,B:P→P是增的次齊次算子. 若下列條件成立:

1) 存在h>θ, 使得Ah∈Ph,Bh∈Ph;

2) 存在常數(shù)δ0>0, 使得Au>δ0Bu,u∈P.

則算子方程

Au+Bu=u

(5)

在Ph中有唯一解u*, 且對于給定的v0∈Ph, 做迭代序列vn=Avn-1+Bvn-1(n=1,2,…), 則{vn}收斂于u*.

引理4[19]設P是E中的正規(guī)錐,A:P→P是增算子,B:P→P是減算子. 若下列條件成立:

1) 對t∈(0,1), 存在φi(t)∈(t,1)(i=1,2), 使得

(6)

2) 存在h0∈Ph, 使得Ah0+Bh0∈Ph.

則算子方程(5)在Ph中有唯一解u*, 且對給定的u0,v0∈Ph, 做迭代序列

un=Aun-1+Bvn-1,vn=Avn-1+Bun-1,n=1,2,…

則{un},{vn}收斂于u*.

注2當B是一個零算子時, 引理3和引理4仍成立.

2 主要結果

假設:

(H1)f(t,u),g(t,u): [0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且關于第二個變量是增的;

(H2) 當u有界時,f(t,(1+tα-1)u),g(t,(1+tα-1)u)關于t∈[0,+∞)有界;

(H3) 存在常數(shù)γ∈(0,1), 使得f(t,τu)≥τγf(t,u),t∈[0,+∞),τ∈(0,1),u∈[0,+∞), 對任意的t∈[0,+∞),τ∈(0,1),u∈[0,+∞), 有g(t,τu)≥τg(t,u);

定理1若假設條件(H1)～(H4)成立, 則邊值問題(2)在Ph中有唯一正解u*, 這里h(t)=tα-1,t∈[0,+∞), 且對于Ph中任意的u0, 做迭代

有{un+1}收斂到u*(t), 其中G(t,s)由式(3)給出.

證明: 由引理1知, 邊值問題(2)可轉化為積分方程

其中G(t,s)由式(3)給出. 定義E上兩個算子A,B如下:

再由引理2易得Au∈C[0,+∞), 所以A:P→P. 同理有B:P→P.

當u,v∈P且u≥v時, 有u(t)≥v(t),t∈[0,+∞). 由假設條件(H1)得

即Au≥Av, 從而A是一個增算子. 同理, 由假設條件(H1)知,B是增算子. 對τ(0,1)和u∈P, 由假設條件(H3)知,

因此A是一個γ-凹算子,B是一個次齊次算子.

下證引理3的條件2)成立. 一方面, 由假設條件(H2)可得

另一方面, 有

因此l1h(t)≤Ah(t)≤l2h(t),t∈[0,+∞), 即l1h≤Ah≤l2h, 所以Ah∈Ph. 同理可證Bh∈Ph.

對u∈P, 由假設條件(H4)知,

即Au≥δBu,u∈P. 因此A,B滿足引理3的所有條件. 從而算子方程Au+Bu=u在Ph中有唯一解u*; 且對于初值u0∈Ph, 構造迭代序列un=Aun-1+Bun-1(n=1,2,…), 當n→∞時, 有un→u*, 即邊值問題(2)有唯一解u*∈Ph, 序列

收斂到u*(t). 證畢.

假設:

(H5) 當u有界時,f(t,(1+tα-1)u)關于t在[0,+∞)內有界;

(H7) 存在常數(shù)γ∈(0,1), 使得f(t,τx)≥τγf(t,x),t∈[0,+∞),τ∈(0,1),x∈[0,+∞).

由注2和定理1可得：

推論1假設α,ξi,βi(i=1,2,…,m-2)滿足邊值問題(2)的條件, 且假設條件(H5)～(H6)成立, 則下列邊值問題：

(7)

在Ph中有唯一解u*, 其中h(t)=tα-1,t∈[0,+∞). 對初值u0∈Ph, 序列

收斂到u*(t), 其中G(t,s)由式(3)給出.

假設:

(H8)f(t,u),g(t,u): [0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù), 且f(t,u)關于u是增的,g(t,u)關于u是減的;

(H9) 對于τ∈(0,1), 存在φi(τ)∈(τ,1)(i=1,2), 使得

定理2假設條件(H2),(H8),(H9)成立, 且f(t,0)和g(t,0)均不恒為零, 則邊值問題(2)在Ph中有唯一正解u*, 這里h(t)=tα-1,t∈[0,+∞). 對于初值u0,v0∈Ph, 序列

收斂到u*(t), 這里G(t,s)由式(3)給出.

證明: 算子A:P→E和B:P→E分別定義為

下證引理4的條件2)成立. 一方面, 由假設條件(H2)知,

另一方面, 有

由假設條件(H8)和定理1的證明知,l4≥l3>0, 于是l4h(t)≥Ah(t)+Bh(t)≥l3h(t),t∈[0,+∞), 因此Ah+Bh∈Ph， 所以引理4的所有條件都滿足. 算子方程Au+Bu=u在Ph中有唯一解u*， 且對于初值u0,v0∈Ph, 序列

un=Aun-1+Bvn-1,vn=Avn-1+Bun-1,n=1,2,…

收斂到u*, 即邊值問題(2)在Ph中有唯一正解u*. 對任意初值u0,v0∈Ph, 做序列

當n→∞時, 有un(t)→u*(t),vn(t)→u*(t). 證畢.

假設:

(H10) 對于τ∈(0,1), 存在φ(τ)∈(τ,1), 使得f(t,τu)≥φ(τ)f(t,u),t∈[0,+∞),u∈[0,+∞).

由注2和定理3可得：

推論2假設α,ξi,βi(i=1,2,…,m-2)滿足邊值問題(2)的條件, 且假設條件(H5),(H6),(H10)成立, 則邊值問題(7)有唯一解u*∈Ph, 其中h(t)=tα-1,t∈[0,+∞). 對初值u0∈Ph, 序列

收斂到u*(t), 其中G(t,s)由式(3)給出.

3 應用實例

例1考察無窮區(qū)間上分數(shù)階微分方程:

(8)

顯然,f(t,u),g(t,u): [0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)均連續(xù), 且關于u是增的, 滿足假設條件(H1). 當0≤u≤M時, 有

其中t∈[0,+∞). 滿足假設條件(H2), 且f(t,0)>0,g(t,0)>0.令γ=1/2, 對t∈[0,+∞),τ∈(0,1),u∈[0,+∞), 有

滿足假設條件(H2). 此外, 顯然a(t),b(t)關于t是連續(xù)的, 且

取δ∈(0,1], 則

因此定理1的所有條件都滿足. 所以邊值問題(8)有唯一正解u*∈Ph,h(t)=t3/2,t∈[0,+∞). 對初值u0∈Ph, 做序列

則有un(t)→u*(t),n→∞.

例2考察無窮區(qū)間上分數(shù)階微分方程:

(9)

滿足假設條件(H9), 且f(t,0)>0,g(t,0)>0. 從而滿足假設條件(H8). 設φ1(τ)=τα1,φ2(τ)=τα2,τ∈(0,1), 則φ1(τ),φ2(τ)∈(τ,1). 于是, 對t∈[0,+∞),τ∈(0,1),u∈[0,+∞), 有

因此定理2的所有條件都滿足. 所以邊值問題(9)有唯一正解u*∈Ph, 其中h(t)=tα-1,t∈[0,+∞). 對初值u0,v0∈Ph, 做序列

則有un(t)→u*(t),vn(t)→u*(t),n→∞.