江蘇省蘇州陽山實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (215151)

袁琴琴

解題信息論認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的過程，就是數(shù)學(xué)問題信息的獲取、存儲(chǔ)、處理、輸出，從而實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的活動(dòng)過程.羅增儒教授則將數(shù)學(xué)解題過程總結(jié)為“三位一體”的工作：有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合.為了真正意義上達(dá)到以上工作，首先要正確表征已有信息，而表征過程中較為適用的方式就是通過啟發(fā)性提示語確定思維起點(diǎn)，進(jìn)而與記憶儲(chǔ)存中相關(guān)定理、公式、及其推理過程、基本模式(模型)等解題依據(jù)進(jìn)行深度整合，形成解題時(shí)有效的邏輯結(jié)構(gòu).于是，捕捉信息與提取依據(jù)是形成邏輯結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是推進(jìn)問題解決的源動(dòng)力.在解題教學(xué)中若能展示邏輯結(jié)構(gòu)的形成過程，則有可能對(duì)學(xué)生解題中的思維過程和心理過程進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，合理的調(diào)控，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和心理表征能力有一定的幫助.本文試借一題談?wù)剬?duì)此的認(rèn)識(shí).

圖1

看下面一道題：如圖1，若點(diǎn)G為ΔABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為 .

1.分析提示語，形成合理的思維方向

學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題經(jīng)驗(yàn)的個(gè)體差異，直接導(dǎo)致對(duì)已有信息產(chǎn)生強(qiáng)弱不一的心理刺激，即在已有認(rèn)知“元”的調(diào)配下產(chǎn)生了最先“提示語”的自我認(rèn)知，以自己熟悉(或熟練)的觀點(diǎn)和方式作為思維活動(dòng)的起點(diǎn)，并嘗試調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知?jiǎng)恿?，逐步揭開問題中各個(gè)未知信息.因此，我們應(yīng)教學(xué)生捕捉到已有信息(包括條件與結(jié)論)中的“提示語”，通過對(duì)“提示語”的加工、解釋、轉(zhuǎn)換等方式，啟發(fā)出正確的思維起點(diǎn).

捕捉信息：問題中含有兩個(gè)基本提示語——“重心”和“垂直”.

提示語分析：可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)信息的最初表征與學(xué)生的元認(rèn)知密切有關(guān)，不同的知識(shí)基礎(chǔ)對(duì)信息理解的深度不一，進(jìn)而產(chǎn)生不同的思維起點(diǎn).

不難看出，對(duì)同一“提示語”的不同理解產(chǎn)生的思維起點(diǎn)不盡相同，不同的“提示語”下的思維起點(diǎn)卻有可能相同，比如“重心”和“垂直”均可以從解析幾何、向量等角度展開思維，同時(shí)也表明了不同的思維起點(diǎn)將會(huì)在過程中與其它信息產(chǎn)生交匯聯(lián)系，形成一個(gè)和諧統(tǒng)一的邏輯結(jié)構(gòu).在教學(xué)中，讓不同的學(xué)生暴露其表征已有信息的過程，并進(jìn)一步暴露其產(chǎn)生的思維起點(diǎn)，讓其他學(xué)生從中獲取經(jīng)驗(yàn)，長期訓(xùn)練，學(xué)生的表征能力將會(huì)得到很大提升.

2.模式構(gòu)建，體現(xiàn)思維范式的引導(dǎo)性

我們經(jīng)常遇到這樣的現(xiàn)象：

課堂直接給出某一公式(定理)，然后給出大量訓(xùn)練題直接“運(yùn)用”這一公式(定理)；

將某一問題改換敘述方式，或呈現(xiàn)新的情境，很多學(xué)生就束手無策.

上述現(xiàn)象是就題做題的短視教學(xué)行為，內(nèi)在原因是教師沒有將知識(shí)的生成、推導(dǎo)過程暴露給學(xué)生，必然不能揭示出過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生在知識(shí)運(yùn)用時(shí)出現(xiàn)思維卡殼斷層的現(xiàn)象就不足為奇了.人教社章建躍教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題》中就著重指出：“要強(qiáng)調(diào)知識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法教學(xué)的重要性.”因此，我們?cè)谛轮R(shí)的教學(xué)中(特別是一些核心知識(shí))，必須要不遺余力、不惜時(shí)間地體現(xiàn)出其過程性，并提升至思想觀念層面去指導(dǎo)知識(shí)運(yùn)用.

本題的思想方法源自哪里？我們回顧一下課本中推導(dǎo)“正弦定理”的過程：

傳統(tǒng)推導(dǎo)正弦定理的基本方法有三個(gè)：

(暴露過程)

方向1：作高法——從幾何量關(guān)系的角度去研究，蘊(yùn)含“算兩次”的基本思想；

方向2：坐標(biāo)法——從解析幾何的角度去處理，體現(xiàn)代數(shù)方法研究幾何問題的基本準(zhǔn)則；

方向3：數(shù)乘法——從向量運(yùn)算的角度去思考，突出向量關(guān)系數(shù)量化的基本要領(lǐng).

(小結(jié)提升)獲得的思想方法：解決三角形(或幾何圖形)有關(guān)問題可以從幾何關(guān)系、解析幾何、向量運(yùn)算三個(gè)基本方向進(jìn)行思考.

圖2

通過暴露過程，小結(jié)提煉等活動(dòng)的設(shè)計(jì)，為學(xué)生提供了具有思想性的先行組織者，在遇到類似問題時(shí)，就會(huì)自覺地將此作為一種思維的范式去進(jìn)行：

本題是研究三角形中有關(guān)量的問題(問題識(shí)別)，可以將此與“正弦定理”的研究過程產(chǎn)生聯(lián)系，從幾何量的關(guān)系、解析幾何、向量運(yùn)算三個(gè)視角去展開思維(模式操作).

方向1：幾何量的關(guān)系入手

分別延長AG、BG交BC、AC于E、D(如圖2)，由勾股定理得

到體現(xiàn).

方向2：解析幾何的方法研究

圖3

圖4

建系2：注意到垂直的特殊性，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AG、BG所在直線為x,y軸建立坐標(biāo)系(如圖4)，設(shè)A(a,0),B(0,b),C(-a,-b)，接下去可通過等面積、向量運(yùn)算等進(jìn)行處理.

方向3：向量運(yùn)算著手

從上面的具體解答可得到驗(yàn)證，一旦有了核心知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法作為范式，學(xué)生必定能迅速進(jìn)入思維通道.因此，在知識(shí)教學(xué)中一定要重視挖掘和揭示知識(shí)的思想性，并在知識(shí)運(yùn)用過程中加以示范與訓(xùn)練，定會(huì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的理解程度.