陳瑞鵬，李小亞

本文主要研究非線性微分方程

正周期解的存在性，其中a∈L1(?/ω?;?+)，c∈L1(?/ω?;?).非線性項(xiàng)f∈Car(?/ω?×(0，∞)，?)，即f|[0，ω]:[0，ω]×(0，∞)→? 是 一 個(gè)L1-Carathéodory函數(shù)且在x=0處有奇性.作為一類重要的數(shù)學(xué)模型，方程（1）旨在描述與呼吸、心律失常及血細(xì)胞生成等密切相關(guān)的多種人體生理過(guò)程［1-3］.近年來(lái)，非線性微分方程（1）被諸多學(xué)者廣泛研究［4-6］.同時(shí)，多位學(xué)者致力于研究該方程相應(yīng)的微分系統(tǒng)，如 Ma［7］，Wang［8］和Chen［9］等.上述文獻(xiàn)雖然都側(cè)重于研究（1）及相應(yīng)微分系統(tǒng)周期解的存在性，然而所涉及的非線性項(xiàng)大多不具有奇異性.據(jù)我們所知，對(duì)于奇異非線性微分方程（1）的周期解存在性的研究結(jié)果相對(duì)較少.可是，對(duì)奇異情形的研究無(wú)疑是極其必要的，所得結(jié)果將進(jìn)一步豐富一階周期微分方程和此類數(shù)學(xué)模型的相關(guān)理論.鑒于此，我們將為帶奇異非線性項(xiàng)的方程（1）建立正周期解的存在性結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

本文總假設(shè)：（C1）a∈L1(?;[0，+∞))為ω-周期函數(shù)且滿足(0，∞)→? 是L1-Carathéodory函數(shù).

注1條件（C1）意味著線性方程x′+a(t)x=0是非共振的.此時(shí)相應(yīng)的Green函數(shù)為G(t，s)=.此外，不難驗(yàn)證

引理1［10］（Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)K是Banach空間S中的一個(gè)有界閉凸集，A:K→K全連續(xù)，則A在K中必有不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

對(duì)于函數(shù)ξ∈L1(0，ω)，記ξ?和ξ?分別為它的本性上界和本性下界.若ξ≥0，a.e.t∈[0，ω]且在一個(gè)正測(cè)集上嚴(yán)格為正，則記為ξ?0.令

定理1 假設(shè)（C1）和（C2）成立且（C3）存在常 數(shù)α，β∈(0，∞)，m≤1≤M及 函 數(shù)b，e∈L1(0，ω):b，e?0，使得0[0，ω].若σ?＞0，則方程（1）存在一個(gè)正ω-周期解.

對(duì)于給定的x∈K，記I1={t∈ [0，ω]|r≤x(t)＜m} ，I2={t ∈[0，ω]|R≥x(t)＞M }，I3=[0，ω](I1?I2).任取x∈K，則由G(t，s)和非線性項(xiàng)f的非負(fù)性可得

定理2 假設(shè)（C1）和（C2）成立且（C4）存在常數(shù)α，β，μ，ν∈(0，1)及滿足b1，b2，e?0 的函數(shù)x∈(0，1)，a.e.t∈[0，ω].若σ?=0，則方程（1）存在一個(gè)正ω-周期解.

證明 方便起見，令δ=max{α，μ}，Bi(t)=定 義 閉 凸 集K={x∈Sω:r≤x(t)≤R，?t∈[0，ω]，R＞1}， 其 中R，r是兩個(gè)需要滿足R＞r＞0和R＞1的待定常數(shù)

.由引理1可知，若A把有界閉凸集K映入自身，則A必有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，從而方程（1）必有一個(gè)正ω-周期解.

對(duì)給定的x∈K，記J1={t∈ [0，ω]|r≤x(t)＜1}，J2={t∈[0，ω]|R≥x(t)≥1}.任取x∈K，由條件（C4）可得

另一方面，對(duì)每個(gè)x∈K，有

現(xiàn)在，只需確定待定常數(shù)R，r，使得

推論1 假設(shè)（C1）（C2）和（C4）成立，則非線性微分方程x′+a(t)x=f(t，x)存在一個(gè)正ω-周期解.

證明 由c(t)≡0結(jié)合（2）易得σ?=0.從而由定理知結(jié)論顯然成立.

3 結(jié)論

運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，本文為一階非線性微分方程x′+a(t)x=f(t，x)+c(t)建立了若干正周期解的存在性結(jié)果，對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)的已有結(jié)果進(jìn)行了豐富和補(bǔ)充.以本文的工作為基礎(chǔ)，今后還可以深入研究如下問(wèn)題：

對(duì)于上述問(wèn)題的研究，有助于進(jìn)一步豐富一階非線性微分方程與非線性微分系統(tǒng)的相關(guān)理論.