徐偉，孫濤

(1．南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016；2．南京審計(jì)大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京211815)

很多自動(dòng)控制系統(tǒng)都具有某種時(shí)滯(hysteresis)效應(yīng)，例如自動(dòng)恒溫系統(tǒng)中溫度由上升突然轉(zhuǎn)為下降(或由下降突然轉(zhuǎn)為上升)，自動(dòng)控制的空調(diào)器通常都不能立刻同步做出反應(yīng)，往往要滯后一段時(shí)間才從降溫狀態(tài)轉(zhuǎn)向增溫狀態(tài)(或反之)。由于時(shí)滯因素的非線性特點(diǎn)，函數(shù)的很多優(yōu)良性質(zhì)遭到破壞，含有時(shí)滯的模型分析起來(lái)十分困難，所以在含時(shí)滯的自控系統(tǒng)建模中，人們通常都略去時(shí)滯因素[1-2]。這樣往往使得構(gòu)造出來(lái)模型對(duì)反映系統(tǒng)的真實(shí)狀況過(guò)于粗略，設(shè)計(jì)出來(lái)的控制方案誤差較大。目前人們對(duì)時(shí)滯現(xiàn)象的特點(diǎn)認(rèn)識(shí)還很膚淺，對(duì)于具時(shí)滯的微分方程，僅對(duì)某些特殊的方程在特殊條件下有弱解存在性結(jié)果，而解的唯一性穩(wěn)定性基本上還沒(méi)有結(jié)果。近年來(lái)隨著治理空氣污染日益受到人們的關(guān)注，各種空氣凈化器應(yīng)運(yùn)而生，凈化設(shè)備的凈化過(guò)程都具一定程度的時(shí)滯效應(yīng)?？諝鈨艋饔址Q(chēng)空氣清潔器，是指能夠吸附、分解或轉(zhuǎn)化各種空氣污染物(一般包括PM2.5、粉塵、花粉、異味、甲醛之類(lèi)的裝修污染、細(xì)菌、過(guò)敏原等)，有效提高空氣清潔度的產(chǎn)品?？諝鈨艋髦杏卸喾N不同的技術(shù)和介質(zhì)，使它能夠在不同條件下向用戶提供清潔和安全的空氣。常用的空氣凈化技術(shù)有：吸附技術(shù)、負(fù)(正)離子技術(shù)、催化技術(shù)、光觸媒技術(shù)、超結(jié)構(gòu)光礦化技術(shù)、HEPA高效過(guò)濾技術(shù)、靜電集塵技術(shù)等；材料技術(shù)主要有：光觸媒、活性炭、合成纖維、HEAP高效材料、負(fù)離子發(fā)生器等?，F(xiàn)有的空氣凈化器多采用復(fù)合型，即同時(shí)采用了多種凈化技術(shù)和材料介質(zhì)?？諝鈨艋髦饕譃榧矣?、商用、工業(yè)、樓宇。在霧霾易發(fā)的城市，空氣凈化器有望像電視、冰箱一樣在家庭中普及。生產(chǎn)過(guò)程中有大量粉塵或有毒氣體產(chǎn)生的建筑工地、工廠車(chē)間，如人造板生產(chǎn)車(chē)間，紡織廠車(chē)間，印刷車(chē)間等，空氣凈化器將成為重要的治污和改善工人工作環(huán)境的設(shè)備之一。特別是生產(chǎn)過(guò)程中有大量有害氣體需要凈化處理的大型企業(yè)，凈化設(shè)備的投入是一筆很大的費(fèi)用，隨著全球經(jīng)濟(jì)不景氣和治理污染壓力的不斷加大，精打細(xì)算地減少生產(chǎn)成本是企業(yè)必須面對(duì)的一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)。精確測(cè)算凈化效果是企業(yè)核算凈化成本、編制和選擇凈化投資方案必不可少的重要環(huán)節(jié)。由于凈化設(shè)備的hysteresis效應(yīng)，使得精確的測(cè)算凈化的動(dòng)態(tài)效果十分困難。所以長(zhǎng)期以來(lái)，人們主要憑經(jīng)驗(yàn)選擇空氣凈化設(shè)備，結(jié)果要么凈化效果達(dá)不到理想，要么投資過(guò)大。但在計(jì)算工具十分先進(jìn)的今天，探討hysteresis效應(yīng)的規(guī)律，利用計(jì)算機(jī)模擬凈化器的工作過(guò)程，跟蹤測(cè)算出凈化的動(dòng)態(tài)效果已經(jīng)成為可能，根據(jù)凈化治污需要達(dá)到的目標(biāo)，合理選擇功能匹配的凈化器和安排使用時(shí)間無(wú)疑是十分有意義的問(wèn)題。

靜態(tài)地測(cè)定空氣凈化器平均凈化效果，不少學(xué)者討論過(guò)。如趙亢等[3]對(duì)6種空氣凈化器，提出了3種測(cè)試凈化效果的模式。2008年張琴等[4]，2015年宋靜等[5]分別關(guān)于空氣凈化器對(duì)甲醛、苯和氨氣的凈化效果的測(cè)試方法進(jìn)行了研究。張言等[6]對(duì)空氣凈化器在室內(nèi)環(huán)境中的空氣凈化效果進(jìn)行了測(cè)試研究。厲龍等[7]提出空氣凈化器對(duì)凈化甲醛效果的測(cè)試方法。何錦強(qiáng)[8]對(duì)空氣凈化器凈化室內(nèi)TVCO效率做出了實(shí)驗(yàn)研究。2006年我國(guó)還發(fā)布了第一部《室內(nèi)空氣凈化產(chǎn)品凈化效果測(cè)定方法》(QB/T2761-2006)，并于2006年12月1日正式實(shí)施。作為各種室內(nèi)空氣凈化產(chǎn)品凈化效果測(cè)定的統(tǒng)一規(guī)范，為消費(fèi)者選擇凈化器提供指導(dǎo)。2015年我國(guó)又發(fā)布了GB/T 18801—2015 空氣凈化器國(guó)家標(biāo)[9]。國(guó)外學(xué)者也有類(lèi)似研究[10-14]，但是到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者們提出的凈化效果測(cè)試方法和我國(guó)政府發(fā)布的凈化效果測(cè)試方法，都是指在室內(nèi)沒(méi)有新的污染源產(chǎn)生條件下，空氣凈化器運(yùn)行一段時(shí)間后，相對(duì)于凈化前空氣中污染物平均降低的程度，不能用于有新污染物不斷產(chǎn)生的生產(chǎn)工地和車(chē)間動(dòng)態(tài)地跟蹤測(cè)試每個(gè)點(diǎn)污染物濃度。

本文以吸附式空氣凈化器實(shí)施工業(yè)減排為例，討論具有hysteresis的自控系統(tǒng)成本與效益的計(jì)算問(wèn)題。首先根據(jù)空氣凈化系統(tǒng)的功能原理引進(jìn)了一類(lèi)時(shí)滯算子F及其伴隨算子G，通過(guò)一系列的分析，推算給出了算子F和算子G的若干重要性質(zhì)，特別的得到了函數(shù)在算子F作用下保持關(guān)于時(shí)間變量的可導(dǎo)性。然后主要利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了兩類(lèi)含時(shí)滯項(xiàng)的微分方程整體古典解存在唯一性。使得動(dòng)態(tài)地跟蹤分析空氣凈化過(guò)程中，凈化區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)污染物濃度成為可能。最后考慮了企業(yè)粉塵或VOCs(Volatile organic compounds揮發(fā)性有機(jī)物，根據(jù)美國(guó)國(guó)家環(huán)保署的定義，不包括CO,CO2，碳酸、碳酸鹽、金屬碳化物及碳酸鈣)等有害物凈化問(wèn)題，擬在政府實(shí)施有害氣體排放管制背景下，通過(guò)對(duì)空氣凈化器功能的定量分析，根據(jù)凈化需要達(dá)到的目標(biāo)，建立凈化器投資決策模型，為企業(yè)合理選用凈化設(shè)備提供參考。本文的不足在于未能得出函數(shù)在算子F作用下是否能保持對(duì)空間變量的可導(dǎo)性，因此對(duì)于時(shí)滯項(xiàng)關(guān)于空間變量可導(dǎo)的微分方程還有待進(jìn)一步研究。

1 自控系統(tǒng)與hysteresis現(xiàn)象

以吸附式凈化器為例，并假設(shè)只吸附空氣中一種污染物。設(shè)在空間區(qū)域Ω內(nèi)點(diǎn)(x,y,z)處，時(shí)刻t空氣中污染物的質(zhì)量濃度為u(x,y,z,t)(單位：mg/m3)，空氣凈化器對(duì)污染物的吸附強(qiáng)度為v(x,y,z,t)=F(u(x,y,z,t))=F(u)(單位：mg ·m-3·s-1)，當(dāng)然吸附強(qiáng)度與凈化器吸附能力、空氣中污染物的質(zhì)量濃度u(x,y,z,t)以及點(diǎn)(x,y,z)到凈化器吸口的距離有關(guān)。再設(shè)空氣中污染物最大質(zhì)量濃度為u*，最小質(zhì)量濃度不妨記為0(指低于這個(gè)質(zhì)量濃度，空氣凈化器就會(huì)自動(dòng)停止吸附)，凈化器的最大吸附強(qiáng)度為v*，最小吸收強(qiáng)度為0，考慮的時(shí)間段為[0,T]。取函數(shù)集合

圖1 算子F映射規(guī)律示意圖Fig.1 Mapping law of operatorF

Hysteresis算子不只是不滿足線性那么簡(jiǎn)單，主要麻煩在于F(u(t))的值不僅依賴(lài)u(t)的值，還依賴(lài)于u在時(shí)刻t前后的變化趨勢(shì)，從而含hysteresis的微分方程討論起來(lái)十分困難。所以對(duì)Hysteresis算子形態(tài)的討論還十分罕見(jiàn)，對(duì)含Hysteresis的微分方程古典解差不多還沒(méi)有結(jié)果。

2 算子F的嚴(yán)格定義和性質(zhì)

圖2 算子F0映射標(biāo)準(zhǔn)化圖Fig.2 Mapping Normalized Graph of operatorF0

0<γ≤|g′(u)|,|h′(u)|≤δ,即過(guò)Σ上任意點(diǎn)沿軌線或基線的導(dǎo)數(shù)都介于γ和δ之間。凈化器靈敏度越高，點(diǎn)A與點(diǎn)B越向直線段AB靠攏，即時(shí)滯池Σ變得越狹窄，若凈化器靈敏度極高，整個(gè)時(shí)滯池Σ幾乎變成一條直線段。一般δ≤1,從而v*≤u*,N?M。

2.1 算子F0的定義和性質(zhì)

由于算子F具有時(shí)滯效應(yīng)，對(duì)一般連續(xù)函數(shù)直接定義F0不方便，我們首先只對(duì)分段函數(shù)定義F0。對(duì)任意u(t)∈M分段單調(diào)，定義初值

v(0)=F0(u(0))=

由F0初值定義，對(duì)任意u1(t),u2(t)∈M，顯然|v1(0)-v2(0)|≤δ|u1(0)-u2(0)|，根據(jù)引理1和引理2，若u1(t),u2(t)都分段單調(diào)，對(duì)于任意t0∈[0,T]，利用數(shù)學(xué)歸納法容易推得

對(duì)任意t0∈[0,T]

(1)

推論1 對(duì)任意u(t)∈M，均有

對(duì)任意[t1,t2]?[0,T]

(2)

事實(shí)上，令u1(t)=u(t)，當(dāng)0≤t≤t1時(shí)，u2(t)=u(t)，當(dāng)t1

|v1(t2)-v2(t2)|=|v(t2)-v(t1)|，

|u1(t)-u2(t)|=|u(t)-u(t1)|

推論2 對(duì)任意u(t)∈M，關(guān)于t絕對(duì)連續(xù)，則F(u)關(guān)于t也絕對(duì)連續(xù)。

2.2 算子F的定義和性質(zhì)

(ii)設(shè)|(x1,y1,z1)-(x2,y2,z2)|<1,則

由推論1，

于是，得到

定理1結(jié)論成立。

3 算子F的伴隨算子G及其性質(zhì)

G(u(x1,y1,z1,t1))=

G(u(x2,y2,z2,t1))=

通過(guò)一些基本計(jì)算可得

|G(u(x1,y1,z1,t1))-G(u(x2,y2,z2,t1))|≤

2|g′(u(x1,y1,z1,t1)-u1*)-

g′(u(x2,y2,z2,t1)-u1*)|+

注意到

|g′(u(x1,y1,z1,t1)-u1*)-

g′(u(x2,y2,z2,t1)-u1*)|≤

因此，若|(x1,y1,z1)-(x1,y1,z1)|≥1,則

若|(x1,y1,z1)-(x1,y1,z1)|<1,則

δ(|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|)/

|G(u(x2,y2,z2,t1)-G(x2,y2,z2,t2)|=

4 含hysteresis的微分方程

設(shè)某車(chē)間(或工地 )生產(chǎn)過(guò)程中每天有氣態(tài)污染物產(chǎn)生，為了防止污染擴(kuò)散，車(chē)間(或工地)對(duì)外封閉，內(nèi)部配置功率強(qiáng)大的凈化器。產(chǎn)生的氣態(tài)污染物密度函數(shù)為f(x,y,z,t), 0≤f≤u*,車(chē)間內(nèi)空氣中污染物質(zhì)量濃度為u(x,y,z,t),凈化器吸收的強(qiáng)度一般為F(u(x,y,z,t))相當(dāng)于負(fù)源。u滿足如下反應(yīng)擴(kuò)散方程系統(tǒng)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中β>0為常數(shù)，依賴(lài)于污染物的類(lèi)型、凈化器的品質(zhì)、有關(guān)物理量的計(jì)量單位等因素，ν為單位法向量。

下面僅對(duì)系統(tǒng)(4)-(6)解的存在唯一性給出證明，其方法可稍作調(diào)整用于證明系統(tǒng)(3)-(5)解的存在唯一性。由定理2，式(6)可變形為

(7)

再設(shè)方程(4)-(6)有兩個(gè)解u1,u2∈M∩E,則

[F(u1)-F(u2)]=0 in Ω×(0,T]

(8)

(9)

(10)

e-λt[F(u1)-F(u2)]in Ω×(0,T],

(11)

由Hopf引理(參見(jiàn)文獻(xiàn)[19 ])，U的正最大值，和負(fù)最小值都不可能在?Ω×[0,T]上達(dá)到。下面用反證法證明U≡0。設(shè)U的正最大值在點(diǎn)(x0,y0,z0,t0)∈Ω×(0,T]處達(dá)到，顯然(x0,y0,z0,t0)也是u1-u2在Ω×(0,t0]內(nèi)的正最大值點(diǎn)。否則存在點(diǎn)(x1,y1,z1,t1)∈Ω×(0,t0]使

u1(x1,y1,z1,t1)-u2(x1,y1,z1,t1)>

u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)>0

(12)

但e-λt1≥e-λt0且

U(x0,y0,z0,t0)=

e-λt0[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≥

e-λt1[u1(x1,y1,z1,t1)-u2(x1,y1,z1,t1)]=

U(x1,y1,z1,t1)

(13)

式(12)與式(13)不相容。

由式(11)，得

(1-εδ)λ[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≤

λ[1-εG(u1)]·

[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≤

-δ[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]+

從而

(14)

5 含hysteresis的系統(tǒng)運(yùn)行成本與效益評(píng)價(jià)模型

仍然以空氣凈化為例，考慮企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中有某類(lèi)VOCs氣體產(chǎn)生。這類(lèi)VOCs氣體直接對(duì)外排放會(huì)污染環(huán)境，而且最終產(chǎn)品中往往還會(huì)含有少量不易除盡的氣態(tài)有毒物質(zhì)，在今后的產(chǎn)品使用過(guò)程中，這些氣態(tài)有害物質(zhì)將緩慢釋放，對(duì)人造成傷害。政府通常規(guī)定最終產(chǎn)品中這種氣態(tài)有毒物質(zhì)含量的某種標(biāo)準(zhǔn)(如甲醛的E1標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)量濃度小于等于1.5 mg/L)，保證產(chǎn)品不對(duì)用戶造成傷害。

5.1 有害物總排放量和最終產(chǎn)品中有毒物含量雙約束模型

假設(shè)1 政府對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)實(shí)施雙約束，每年VOCs氣體總排放配額為H0(t)，產(chǎn)品中有毒氣態(tài)物質(zhì)質(zhì)量濃度限額為ω0(mg/L)?！肮に嚋p排”技術(shù)已經(jīng)用到最大限度，現(xiàn)在擬對(duì)VOCs氣體采用凈化處理，產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為c0,正常售價(jià)為p0,年產(chǎn)量為Q0,固定生產(chǎn)成本為C0?？偱欧排漕~允許市場(chǎng)交易，交易價(jià)格為σ,產(chǎn)品中有毒氣態(tài)物質(zhì)限額無(wú)法交易，但含量每低于ω一個(gè)單位，銷(xiāo)售價(jià)格可提高ρ能被消費(fèi)者接受。

企業(yè)根據(jù)生產(chǎn)的工藝技術(shù)流程、生產(chǎn)設(shè)備的先進(jìn)程度、每批計(jì)劃產(chǎn)量、產(chǎn)品預(yù)計(jì)達(dá)到的質(zhì)量等因素，用電腦模擬出每個(gè)生產(chǎn)加工周期[0,T1]中產(chǎn)生VOCs源的密度函數(shù)f(x,y,z,t),測(cè)算出可能釋放到Ω內(nèi)VOCs總量的理論值I0。

注1 為了便于對(duì)有害氣體的處理，通常都會(huì)把Ω限制在一個(gè)狹小的空間內(nèi)，如人造板材去毒氣過(guò)程通常是把板材密封在罩子里加熱，在罩子周?chē)褂霉δ軓?qiáng)大的凈化設(shè)備吸收毒氣。生產(chǎn)實(shí)際中Ω往往都是低矮扁平的，還可以把Ω近似地看成平面區(qū)域。

假設(shè)2 總結(jié)同類(lèi)企業(yè)經(jīng)驗(yàn)、根據(jù)企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模和邊際效應(yīng)遞減規(guī)律，投資與凈化效果大致滿足下列微分方程

(15)

(16)

其中H表示每個(gè)生產(chǎn)批次凈化減排量，ω表示減少最終產(chǎn)品中含毒物質(zhì)量濃度，s為凈化設(shè)備投資，0

σ[m(I0-c1sr1)-H0]-s-C0

(17)

s1-r2+mc1r1sr1-r2σ-c2r2ρQ0=0

(18)

σ[m(I0-c1sr1)-H0]-s-

5.2 工作場(chǎng)所有害物含量約束模型

(19)

(20)

(21)

由(21)-(23)算出唯一精確古典解w,再把u=e-0.9tw代入(3)-(5)檢驗(yàn)，若誤差不大，就用方程(19)-(21)取代方程(3)-(5)作決策，計(jì)算難度減少很多。

同樣方程(6)轉(zhuǎn)化為

(22)

由(22)-(24)也能算出唯一精確古典解w。

6 結(jié) 語(yǔ)