■北京市第十二中學高中部 高慧明

■北京市教育學院豐臺分院 張 琦

本刊特邀欄目專家簡介：

高慧明首屆全國十佳班主任,全國著名數(shù)學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數(shù)學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關(guān)高考科學備考、班級管理等多場專題報告?，F(xiàn)任教于北京市第十二中學高中部。

張 琦北京教育學院豐臺分院數(shù)學教研員,骨干教師,中國教育學會輔導機構(gòu)教師專業(yè)水平等級認證專家評委、命題專家。主編《高考復習三級跳》叢書數(shù)學卷,在全國知名學術(shù)期刊上發(fā)表有影響的論文數(shù)十篇。

不等關(guān)系是客觀世界中廣泛存在的一個基本關(guān)系,各種類型的不等式在現(xiàn)代數(shù)學的各個分支及實際應(yīng)用中起著十分重要的作用。在歷史上,人們在考查事物的時候,經(jīng)常要進行大與小、多與少、長與短等的比較和研究。而一旦有了這樣的比較就很容易引起人們在數(shù)量關(guān)系上的認識,進而產(chǎn)生相等或者不等關(guān)系的定義。

在我國,歷來強調(diào)不等式的重要地位?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準(實驗)》中明確指出：“不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系,是數(shù)學研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問題是同樣重要的?！?/p>

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中則將相等關(guān)系、不等關(guān)系一起進行論述：“相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關(guān)系,是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ)?！蓖ㄟ^本單元的學習,“可以幫助學生通過類比,理解等式和不等式的共性與差異,理解基本不等式,提升邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng)”。

自1934年哈代的名著《不等式》問世以來,不等式知識就結(jié)束了零散的、孤立的狀態(tài),而是形成了自己的固有體系。哈代的著作,完整、簡潔、系統(tǒng)地講述了不等式的基本內(nèi)容,內(nèi)容由初等到高等。在此之后,有關(guān)不等式問題的研究層出不窮,文章、著作也很多。而且各類考試均對不等式知識表現(xiàn)出了濃厚的興趣,比如數(shù)學奧林匹克中不等式的題目甚多,幾乎每屆I MO與CMO都有一道不等式題;而在我國高中聯(lián)賽和高考題中,不等式也是屢見不鮮。為什么會這樣呢?主要是因為不等式最能反映出選手的創(chuàng)造能力,能夠考查選手分析問題、解決問題的能力。

下面擬通過相關(guān)試題,對不等式相關(guān)內(nèi)容進行簡單梳理,以供參考。

一、阿基米德的不等式

古希臘的科學家、數(shù)學家阿基米德曾研究過圓面積計算公式和圓周率,他所用的極富啟迪性的方法,被后人稱之為“割圓術(shù)”。阿基米德在《圓的度量》中,提出了三個命題：

1.圓面積計算公式,其中L為圓周長,r為圓半徑;

2.圓與其外切正方形面積之比為11∶14;

3.圓周率π：。

關(guān)于圓周率,阿基米德分別從圓的外切正多邊形和內(nèi)接正多邊形進行推導,通過對近似數(shù)值進行精巧的調(diào)整,最終得到。事實上,在古希臘或更早時候,數(shù)學家已經(jīng)有了樸素的不等式的概念,并且能夠利用逼近的思想解決某些數(shù)學問題,這是難能可貴的。但是,那時候并沒有我們現(xiàn)在習慣上常用的這些不等式的符號,所以其表示不等關(guān)系時,是比較復雜的。隨著時間的推移,在科學家的著作中會偶有涉及不等式的問題,但是直到不等號出現(xiàn)為止,不等式的理論發(fā)展是比較緩慢的。

二、不等號的歷史與不等式理論體系

數(shù)學符號不僅可以簡化和表示較為復雜的事物,而且能加快數(shù)學思想的發(fā)展速度,幫助人們利用、理解數(shù)學知識。數(shù)學符號對于數(shù)學來說有著非常關(guān)鍵的作用。下面我們就來看看不等號的由來。

16世紀法國數(shù)學家維葉特用“=”表示兩個量的差別?？墒怯＝虼髮W數(shù)學、修辭學教授雷科德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了。于是等于符號“=”就從1540年開始使用起來。1591年,法國數(shù)學家韋達在文中大量使用這個符號,它才逐漸為人們接受。17世紀德國萊布尼茨廣泛使用了“=”號,才使其得以流行并沿用至今。大于號“＞”和小于號“＜”,是1631年英國著名數(shù)學家哈里奧特創(chuàng)用。1631年哈利奧特在著名的《分析術(shù)實例》一書中關(guān)于大于和小于的記號是這樣記錄的：大于的記號：a＞b表示a量大于b量;小于的記號：a＜b表示a量小于b量。由于這對記號簡潔且對稱,最終為大家所接受并使用。

就像研究平面幾何一樣,我們在研究不等式的時候,也需要先有一些“不證自明”的公理,之后根據(jù)這些公理,再來構(gòu)建不等式理論的大廈。不等關(guān)系,是代數(shù)的實數(shù)集中特有的一個概念,按照哈代的說法,我們?nèi)≌龜?shù)這一概念作為未定義物,又取下列兩個命題作為公理：

(Ⅰ)或a為零,或a為正,或-a為正,這些可能性是相互排斥的;

(Ⅱ)兩正數(shù)之和與積仍為正數(shù)。

根據(jù)這兩條公理,我們知道或-a為正,則稱a為負;若a-b為正,則稱a大于b;若a-b為負,則稱a小于b。這個時候,我們就能得到下面的不等式的基本性質(zhì)：

(1)對稱性：a＞b?b＜a。

(2)傳遞性：a＞b,b＞c?a＞c。

(3)加(減)：a＞b?a+c＞b+c。

(4)乘(除)：a＞b,c＞0?a c＞b c;a＞b,c＜0?a c＜b c。

(5)乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈Z且n＞1)。

(6)開方：a＞b＞0?na＞nb(n∈Z且n＞1)。

(7)a＞b,c＞d?a+c＞b+d。

(8)a＞b＞0,c＞d＞0?a c＞b d。

此后關(guān)于不等式的推導,大多依賴于以上幾條性質(zhì)。換句話說,以上這些不等式的基本性質(zhì)是我們解不等式和證明不等式的基本出發(fā)點。下面,我們就看一些在不等式發(fā)展史中有著重要地位的不等式。

三、基本不等式

基本不等式,由名字就可以看出來其重要性,大概可以說它是最基本的重要不等式之一,在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。下面從幾何的角度簡單進行解釋。

如圖1,A B是圓O的直徑,點C是A B上一點,A C=a,B C=b。過點C作垂直于A B的弦D E,連接A D,B D。

圖1

當且僅當點C與圓心O重合時,即a=b時等號成立。

綜上所述可知,基本不等式的幾何意義可以理解為：在圓內(nèi),“半徑不小于半弦”。是a,b的算數(shù)平均數(shù),是a,b的幾何平均數(shù),所以基本不等式又叫作平均值不等式。平均值不等式更一般的表達形式如下：

一般來說,假設(shè)a1,a2…,an為n個非負實數(shù),它們的算術(shù)平均數(shù)記為An=,幾何平均數(shù)記為G=n算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系：,即An≥Gn,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立。上述不等式稱為平均值不等式,或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達形式簡單,容易記住,但它的證明和應(yīng)用非常靈活、廣泛。它有多種不同的證明方法,感興趣的同學可查閱相關(guān)資料進行研究。我們下面來看兩道高考題。

例1(2013年天津高考理)設(shè)a+b=2,b＞0,則當取得最小值。

解析：因為a+b=2,b＞0,所以,當且僅當時等號成立,此時a=-2,或a=。若a=-2,則;若,則所以取得最小值時,a=-2。

例2(2013年山東高考理)設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3x y+4y2-z=0,則當取得最大值時的最大值為( )。

解析：求解此題,可先根據(jù)已知條件用x,y來表示z,再經(jīng)過變形,轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題,取等號的條件可直接代入,進而再利用基本不等式求出的最值。

由x2-3x y+4y2-z=0,得z=x2-3x y+4y2。

四、柯西不等式

柯西不等式是指下面的定理：設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則當數(shù)組a1,a2,…,an;b1,b2,…,bn不全為0時,當且僅當bi=λ ai(1≤i≤n)時等號成立。

柯西不等式的證明方法有很多,如配方法、向量法等,感興趣的同學可查閱有關(guān)資料進行研究。

關(guān)于柯西不等式的考題也非常多,下面我們來欣賞幾道。

例3(2017年北京海淀區(qū)一模)已知實數(shù)u,v,x,y滿足u2+v2=1,,則z=u x+v y的最大值是

解析：本題與常規(guī)線性規(guī)劃問題有著明顯的區(qū)別,因為同學們很難發(fā)現(xiàn)z=u x+v y的幾何意義。但是同學們?nèi)绻屑毞治?適當進行轉(zhuǎn)化,應(yīng)該能夠找出下面的思路：

若記a=(u,v),b=(x,y),則z=a·b=|a|·|b|·cos。由圖2知當a=也就是a,b共線同向且|b|最大時,z=u x+v y有最大值2。

此外,還可以根據(jù)柯西不等式得,(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2,因為x2+y2表示陰影區(qū)域內(nèi)任意一點與原點距離的平方,所以點為(2,2)的時候,距離的平方最大,最大值為8。

也就是(u x+v y)2≤(u2+v2)(x2+y2)=x2+y2≤8,所以u x+v y≤2,當且僅當x=y=2,u=v=時,等號成立。接下來,我們看這樣一道經(jīng)典練習：

例4(2008年全國Ⅰ卷理)若直線x a通過點M(cosα,sinα),則( )。

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

解析：本題常規(guī)解法是注意到點M是單位圓上的動點,直線通過點M,也就是圓心到直線的距離小于等于半徑,從而可得結(jié)論。

例5(2012年湖北卷理)設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,a x+b y+c z=20,則=( )。

解析：由柯西不等式得,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(a x+b y+c z)2=400,當且僅當時取等號,因此有

關(guān)于柯西不等式的練習還有很多,本文不再一一列舉。請同學們注意,在利用柯西不等式求最值的時候,一定要關(guān)注等號成立的條件。

五、絕對值三角不等式

定理1：若a,b為實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a b≥0時,等號成立。

定理2：設(shè)a,b,c為實數(shù),則|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之間時等號成立。

事實上,絕對值三角不等式可加強為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,還可以推廣為|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。

此外,絕對值三角不等式還有關(guān)于向量的形式,如下：

對于任意兩個向量a,b,有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

例6(2016年浙江高考理)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大

解析：如果同學們能靈活應(yīng)用絕對值三角不等式的向量形式的話,本題是非常簡單的。解題過程如下：|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|≤,所以|a+b|≤ 6,平方可得a2+2a·b+b2≤6,可知a·b≤。所以a·b的最大值為。

例7(2016年浙江高考理)已知實數(shù)a,b,c,則( )。

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2＜100

解析：可舉反例排除錯誤的選項：

對于A,令a=b=10,c=-110,可排除此選項。

對于B,令a=10,b=-100,c=0,可排除此選項。

對于C,令a=100,b=-100,c=0,可排除此選項。

下面我們來看選項D,根據(jù)絕對值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b+a+b2|,由于,所以可知,所以可得-2＜＜2,-2＜,再根據(jù)絕對值三角不等式,可知1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|a2+b-a-b2+2c|,由于a2-a,b2-b∈,可求得c∈(-7,7),所以必然有a2+b2+c2＜22+22+72＜100。

故答案為D。