石冠男，張曉紅，曾建潮,2+

(1.太原科技大學(xué) 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所，山西 太原 030024； 2.中北大學(xué) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引言

維修是使設(shè)備保持、恢復(fù)或改善其運(yùn)行狀態(tài)的全部技術(shù)和管理活動(dòng)[1]。優(yōu)化維修策略的目的是在保證系統(tǒng)可靠性的前提下，盡可能降低系統(tǒng)運(yùn)行成本，以獲得更好的經(jīng)濟(jì)效益。如今工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，各組成部件之間存在復(fù)雜的關(guān)聯(lián)關(guān)系，為了使維修決策模型更加符合實(shí)際需要，考慮部件自身特點(diǎn)和部件間依賴關(guān)系的多部件系統(tǒng)維修決策模型研究具有重大的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義[2]。

在多部件系統(tǒng)的最優(yōu)維修決策建模中，系統(tǒng)的維修需求表示及其概率計(jì)算是建立維修優(yōu)化目標(biāo)與決策變量聯(lián)系的基礎(chǔ)，而系統(tǒng)劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)又是計(jì)算維修需求分組概率的先決條件。2015年，Zhang等[3-4]針對(duì)由相同和不相同部件組成的多部件系統(tǒng)，先后提出統(tǒng)一的多部件系統(tǒng)維修建模方法，給出了基于視情機(jī)會(huì)維修的維修需求劃分模型及基于該模型的維修需求概率計(jì)算通式。

目前，已有的多部件系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)空間劃分模型在建立過程中假設(shè)部件經(jīng)預(yù)防性維修后“修復(fù)如新”，這種維修方式通常被稱作完美維修，而現(xiàn)實(shí)中，大多數(shù)設(shè)備在維修后是不能修復(fù)如新的，這種維修方式通常被稱作非完美維修[5]。受維修器材、維修能力、維修人員等諸多因素影響，非完美維修更貼切實(shí)際并已被實(shí)際應(yīng)用，如煤炭運(yùn)輸系統(tǒng)保養(yǎng)[6]、自卸卡車運(yùn)輸車隊(duì)維護(hù)[7]、發(fā)電廠維修養(yǎng)護(hù)[8]、汽車產(chǎn)品保證服務(wù)[9]等。非完美維修的研究工作最早可追溯到Chan等[10]的最壞預(yù)防維修(worst PM)； Chaudhuri等[11]在1977年首次提出非完美預(yù)防維修(imperfect PM)概念； Pham等[12]針對(duì)非完美維修做了大量研究和文獻(xiàn)綜述，將之前的非完美維修模型總結(jié)為(p,q)法則、(p(t),q(t))法則、改善因子、虛擬年齡法則、沖擊振動(dòng)模型、(α,β)法則、復(fù)合(p,q)法則及其他8類，其中，(p,q),(p(t),q(t))和復(fù)合(p,q)法則利用劣化狀態(tài)回退概率來體現(xiàn)維修效果，而改善因子、虛擬年齡法則、沖擊振動(dòng)模型則是假設(shè)部件經(jīng)維修后表征部件劣化狀態(tài)的特征參數(shù)恢復(fù)到某一特定值，其受多種因素共同影響，如維修方式、維修次數(shù)或者劣化程度等。近年來，針對(duì)非完美維修的研究也有很多，例如Li等[13]建立了基于可靠度的非完美維修模型；Zhang等[14]將基于可靠性的非完美預(yù)防維修和機(jī)會(huì)維修相結(jié)合，研究了風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的維修與維護(hù)；Nodem等[15]用固定系數(shù)體現(xiàn)非完美維修效果，即設(shè)備維修后恢復(fù)至現(xiàn)在劣化水平的固定百分比； Liu等[16]采用同時(shí)考慮退化狀態(tài)和退化速度的改善因子建立非完美維修模型。在以往的非完美維修研究中，大部分文獻(xiàn)只針對(duì)兩部件系統(tǒng)[17]進(jìn)行討論，而對(duì)于部件數(shù)量較多或者需要同時(shí)考慮其他影響因素的復(fù)雜問題，多借助仿真方法[18]解決，因此如何用比較合理的解析方法分析考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)中不同視情維修策略的組合優(yōu)化，是一個(gè)值得深入研究的問題。

考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分模型，能夠更準(zhǔn)確地描述實(shí)際維修情況而更具有參考應(yīng)用價(jià)值，本文在前人研究基礎(chǔ)上，假設(shè)機(jī)會(huì)維修和預(yù)防維修區(qū)域的維修效果均為非完美的，系統(tǒng)部件的劣化狀態(tài)在維修后介于“全新”和“如舊”之間，針對(duì)連續(xù)劣化多部件系統(tǒng)，建立了考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)視情機(jī)會(huì)維修策略的劣化狀態(tài)空間劃分模型，通過分析劣化狀態(tài)空間劃分與維修需求分組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出了維修需求分組的概率計(jì)算通式，最后重新推導(dǎo)了考慮非完美維修時(shí)相同多部件系統(tǒng)的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)并給出數(shù)值解法，利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了上述模型的正確性及對(duì)后續(xù)維修優(yōu)化研究的有效性。

1 系統(tǒng)的特征假設(shè)及定義

1.1 系統(tǒng)描述

假設(shè)某一多部件系統(tǒng)是由M個(gè)相同且相互獨(dú)立的單部件組成，每個(gè)部件均獨(dú)立遭受連續(xù)的累積劣化，其表征部件劣化狀態(tài)的特征參數(shù)(機(jī)械部件磨損量、齒輪裂紋長度等)在系統(tǒng)工作過程中逐漸增加，此類連續(xù)劣化系統(tǒng)在生活中十分常見，如大型風(fēng)力發(fā)電場、重型商業(yè)運(yùn)輸車隊(duì)[19]等?；谶B續(xù)劣化系統(tǒng)的特性，相關(guān)假設(shè)如下：

(5)設(shè)備檢測和維修時(shí)間均忽略不計(jì)。

1.2 維修策略

對(duì)部件采取視情機(jī)會(huì)維修，部件的整個(gè)壽命周期內(nèi)可能的維修需求有不需要維修(正常運(yùn)行)、非完美維修(包括機(jī)會(huì)維修和預(yù)防性維修)和故障后更換3類。為系統(tǒng)中所有相同的部件均定義相同的機(jī)會(huì)、預(yù)防和故障后維修閾值Do，Dp，Df，通常認(rèn)為0

(4)對(duì)不符合上述3種情況的部件，不采取任何維修措施。

如此，部件i從初始狀態(tài)開始正常運(yùn)行，可能經(jīng)過若干次機(jī)會(huì)或預(yù)防性維修，最后由故障后更換重新回到初始狀態(tài)。

2 考慮非完美維修的聯(lián)合劣化狀態(tài)空間劃分

2.1 劣化狀態(tài)空間劃分

圖1所示為僅考慮完美維修時(shí)部件i的劣化過程示意圖及維修區(qū)域劃分。其中，設(shè)定的3條維修閾值將其劣化狀態(tài)空間劃分為4個(gè)維修活動(dòng)區(qū)域：正常運(yùn)行區(qū)、機(jī)會(huì)維修區(qū)、預(yù)防維修區(qū)和故障后更換區(qū)。在每次檢測后根據(jù)當(dāng)前劣化狀態(tài)信息所落區(qū)域，采取相應(yīng)的維修活動(dòng)，即不需要維修、機(jī)會(huì)維修、預(yù)防維修、故障后更換。

在考慮非完美維修的單部件系統(tǒng)維修建模中，同樣為部件i設(shè)定3個(gè)維修閾值將其劣化狀態(tài)空間分為4個(gè)維修活動(dòng)區(qū)域：正常運(yùn)行區(qū)域、機(jī)會(huì)維修區(qū)域、預(yù)防維修區(qū)域、故障后更換區(qū)域。不同的是，為了使研究更符合實(shí)際維修需求，當(dāng)設(shè)備的劣化狀態(tài)在檢測點(diǎn)落在機(jī)會(huì)維修和預(yù)防維修區(qū)域時(shí)，對(duì)部件采取非完美維修。圖2所示為考慮非完美維修時(shí)部件i可能的劣化示意圖，從全新初始狀態(tài)開始，其可能接受數(shù)次機(jī)會(huì)維修或預(yù)防維修，維修效果為非完美的，最終經(jīng)由故障后更換重新恢復(fù)至初始狀態(tài)。

圖3所示為考慮非完美維修的單部件系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分簡化圖，其中：U0表示部件沒有維修需求，U1表示部件在等待機(jī)會(huì)維修，P表示部件需要預(yù)防維修，C表示部件需要故障后更換。圖4所示為相同兩部件系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)空間劃分示意圖,在M個(gè)部件組成的多部件系統(tǒng)中，各部件的維修閾值相互交叉，將其聯(lián)合劣化狀態(tài)空間劃分為更多區(qū)域，不同區(qū)域?qū)?yīng)不同的維修需求組合。

類似地，可以得出M=3,4,…時(shí)相同部件系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)空間劃分。對(duì)于不相同部件系統(tǒng)而言，區(qū)別僅在于各部件的維修閾值不同，其劣化狀態(tài)空間劃分思想不變。

在具體的維修優(yōu)化建模中，研究者通常關(guān)注的是求取多部件系統(tǒng)的維修需求組合和相應(yīng)的概率，而系統(tǒng)劣化狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)是計(jì)算維修需求分組概率的先決條件，下面在假設(shè)系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)存在且為π(x1,x2,…,xM)的情況下，給出M個(gè)相同部件系統(tǒng)中所有維修需求組合的概率計(jì)算通式。

2.2 考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)維修需求分組及其概率計(jì)算

(1)當(dāng)i=0,j=0時(shí)，

(1)

(2)當(dāng)i=0,1≤j≤M時(shí)，

(2)

(3)當(dāng)1≤i≤M,j=0時(shí),

(3)

(4)當(dāng)1≤i

(4)

3 考慮非完美維修的劣化狀態(tài)回退

(5)

至此，得到相同多部件系統(tǒng)中所有維修需求分組及其概率計(jì)算通式，并對(duì)非完美維修進(jìn)行了合理建模。在相同多部件系統(tǒng)維修中引入非完美維修雖然不會(huì)影響其維修需求分組，但是會(huì)改變部件劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)，進(jìn)而影響系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)，因此需要對(duì)考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)求解。

4 考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)聯(lián)合概率密度計(jì)算

在單部件維修決策過程中常利用更新理論進(jìn)行建模，但在基于視情機(jī)會(huì)維修策略的多部件系統(tǒng)維修中，特別是引入非完美維修后，所有部件在某一個(gè)檢測時(shí)刻全部恢復(fù)至初始全新狀態(tài)的可能幾乎不存在，尋找多部件系統(tǒng)的完全更新周期無從談起。然而，考慮到系統(tǒng)中部件的后續(xù)劣化僅與當(dāng)前檢測時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，與系統(tǒng)的歷史狀態(tài)無關(guān)，符合Markov特性，可利用半更新特性將系統(tǒng)檢測周期作為一個(gè)半更新周期，分析一個(gè)半更新周期內(nèi)聯(lián)合劣化狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，可近似得到系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)在整個(gè)劣化空間的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)[23-24]。

已知π(x1,x2,…,xM)為M相同多部件系統(tǒng)的聯(lián)合劣化狀態(tài)的概率密度函數(shù)，設(shè)任意部件i的劣化狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為Ω(xi)，因?yàn)楦鞑考牧踊^程相互獨(dú)立，所以只需求出任意部件i的劣化狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(xi)，即可得出系統(tǒng)聯(lián)合劣化狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)π(x1,x2,…,xM)=Ω(x1)Ω(x2)…Ω(xM)，而部件i的劣化狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(xi)可通過分析半更新周期內(nèi)部件i所有可能的維修及其狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況得到。

在多部件系統(tǒng)維修中分析任意部件i的維修需求，需要在決策時(shí)刻考慮是否有其他部件為部件i提供維修機(jī)會(huì)。因此，在M相同的多部件系統(tǒng)中，分析部件i需要考慮以下兩種情形：

情形1當(dāng)其他M-1個(gè)部件均沒有維修需求，即其他M-1個(gè)部件部件的劣化狀態(tài)均落在區(qū)域[0,Dp)時(shí)，由式(1)可得其發(fā)生概率為

(6)

在上述基礎(chǔ)上，假設(shè)半更新周期開始前的部件劣化狀態(tài)為yi，繼續(xù)分析部件i所有可能的維修情況及其轉(zhuǎn)移狀態(tài)，在半更新周期開始時(shí)部件i又有維修和沒有被維修兩種情況(如圖5)：

(1)部件i在半更新周期開始時(shí)沒有被維修過

(2)部件i在半更新周期開始時(shí)進(jìn)行了維修

可得，在其他M-1個(gè)部件不會(huì)為部件i提供機(jī)會(huì)維修機(jī)會(huì)時(shí)，部件i的劣化狀態(tài)為xi的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)可表示為

(7)

情形2當(dāng)其他M-1個(gè)部件至少有一個(gè)有維修需求時(shí)，其會(huì)為部件i提供機(jī)會(huì)維修機(jī)會(huì)，其發(fā)生概率為

dx1dx2…dxM-1。

(8)

類似情形1，繼續(xù)分析此時(shí)部件i所有可能的維修及其轉(zhuǎn)移狀態(tài)情況，如下：

(1)部件i在半更新周期開始時(shí)沒有被維修過

(2)部件i在半更新周期開始時(shí)被維修過

在其他M-1個(gè)部件會(huì)為部件i提供維修機(jī)會(huì)時(shí)，部件i的劣化狀態(tài)為xi的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)可表示為

(9)

綜合情形1和情形2的發(fā)生概率及上述所有狀態(tài)的轉(zhuǎn)移可能，合并式(7)和式(9)，可得部件i的劣化狀態(tài)為xi的穩(wěn)態(tài)概率密度

(10)

式(10)關(guān)于Ω(xi)的表達(dá)式是一個(gè)隱式積分方程，很難精確求出其精確解析解，下文嘗試采用離散方式求其數(shù)值的近似解。

5 數(shù)值求解

5.1 數(shù)值解法

首先對(duì)式(10)進(jìn)行合并項(xiàng)簡化：

(11)

f(x-y*))。

(12)

根據(jù)定積分的意義，每一個(gè)積分和都可以看作是定積分的一個(gè)近似值，即

(13)

這在幾何意義上，是用一系列小矩形面積近似小曲邊梯形的結(jié)果，將所示的正交近似數(shù)值求解規(guī)則應(yīng)用于式(12)的求解，同時(shí)采用Dmax對(duì)式(12)中的∞進(jìn)行截尾，每一個(gè)正交點(diǎn)的近似方程可表示為

wherex/h=i,y/h=j,z/h=k,

Do/h=a,Dp/h=b,Df/h=c,Dmax/h=d。

(14)

將要求解的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)用矩陣形式表示為Ω=[Ω(h)Ω(2h) …Ω(ih)]T，然后根據(jù)矩陣相乘的原則將式(14)改寫為式(15)的矩陣形式：

Ω=hK1+h2K21K22+hK3+

(hK4)M-1(hK5+h2K61K62)。

(15)

式中K1,K21,…的具體定義見附錄。如此可通過求解Ω(x)的線性方程組得到其數(shù)值近似解。

5.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

5.2.1 數(shù)值求解

目前,大多數(shù)研究多采用Markov過程(如復(fù)合泊松分布、Gamma分布、布朗漂移運(yùn)動(dòng)等)描述系統(tǒng)的劣化過程，Gamma分布最適合用來分析非負(fù)增量、嚴(yán)格單調(diào)的劣化過程[25]，并有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)上的解析推導(dǎo)，文獻(xiàn)[26-27]以Gamma過程描述系統(tǒng)的劣化過程，研究了考慮非完美維修劣化系統(tǒng)的視情機(jī)會(huì)維修優(yōu)化模型；李玲等[28]將Gamma過程與幾何過程相結(jié)合，研究了加速劣化系統(tǒng)的最優(yōu)視情維修策略。因此，本文假設(shè)部件單位時(shí)間內(nèi)的劣化狀態(tài)變化量Δxi服從Gamma分布。

設(shè)部件單位時(shí)間內(nèi)的劣化狀態(tài)變化量Δxi服從概率密度函數(shù)為式(16)的Γ(α,β)分布，則t個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的累積增量服從Γ(tα,β)分布。

(16)

式中：α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)。

令M=10，Do=8，Dp=12，Df=20，用5Df對(duì)積分上限∞作截尾處理。圖6和圖7所示為β=4對(duì)應(yīng)不同α和α=0.04對(duì)應(yīng)不同β時(shí)，求解非線性方程組得到的Gamma函數(shù)f(x)和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(x)的近似數(shù)值解。

5.2.2 正確性分析

表1 不同劣化參數(shù)對(duì)應(yīng)的R

≈1，

(17)

即π(x1,x2,…,xM)在整個(gè)聯(lián)合劣化狀態(tài)空間的積分同樣近似為1，滿足概率密度函數(shù)的一般特性。

5.2.3 有效性分析

在實(shí)際維修優(yōu)化建模時(shí)，通常選取系統(tǒng)的半更新周期和維修閾值作為優(yōu)化的決策變量，不同的半更新周期和維修閾值會(huì)影響穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的求解，下面分析半更新周期t和各維修閾值對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響程度。選取Do=8，Dp=12，Df=20，α=0.04，β=4，t=100為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)照參照組，每次僅改變參照組中一個(gè)參數(shù)，以分析各參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響。

圖8所示為當(dāng)半更新周期t發(fā)生改變，其余參數(shù)不變時(shí)，劣化增量分布Gamma函數(shù)f(x)和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(x)的示意圖。從圖中可以看出，隨著半更新期周期t的增加，t時(shí)間內(nèi)累積劣化增量分布Γ(tα,β)的形狀參數(shù)明顯增加，故Gamma函數(shù)f(x)和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(x)的均值明顯右移。造成該現(xiàn)象的原因是Gamma分布的特性：在固定β值時(shí)，隨著α值的增大，其超過某定值的概率會(huì)隨之增加，對(duì)于本文所建立的視情機(jī)會(huì)維修策略，體現(xiàn)為提高檢測周期，會(huì)提高設(shè)備劣化狀態(tài)到達(dá)失效閾值的可能性。

圖9～圖11所示分別為相同劣化增量分布Gamma函數(shù)f(x)，以及不同的機(jī)會(huì)維修閾值、預(yù)防維修閾值和故障后維修閾值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)Ω(x)示意圖。

從圖9～圖11的分析來看，選擇不同的檢測周期、機(jī)會(huì)維修閾值、預(yù)防維修閾值和故障更換閾值將對(duì)應(yīng)不同的維修概率，從而對(duì)后續(xù)維修優(yōu)化模型的維修成本產(chǎn)生影響，因此該理論方法可以為后續(xù)的維修優(yōu)化決策提供理論依據(jù)。實(shí)際維修中，檢測周期過長使檢測間隔內(nèi)發(fā)生停機(jī)故障的概率增大，增加了故障維修成本，檢測周期過短又會(huì)對(duì)系統(tǒng)干預(yù)頻繁，從而大大增加檢測成本。同樣，在故障更換閾值確定的情況下，減小機(jī)會(huì)和預(yù)防維修區(qū)域，會(huì)縮短部件的生命周期，使預(yù)防維修成本過高，反之，增大機(jī)會(huì)和預(yù)防維修區(qū)域則會(huì)增大周期內(nèi)故障維修的概率和成本。

6 結(jié)束語

本文主要針對(duì)設(shè)備維修后不能修復(fù)如新這一實(shí)際情況，將已有的劣化狀態(tài)空間劃分方法與非完美維修模型相結(jié)合，建立了考慮非完美維修的多部件系統(tǒng)劣化狀態(tài)空間劃分模型，在假設(shè)系統(tǒng)聯(lián)合概率密度函數(shù)存在的情況下，給出了各維修需求分組的概率計(jì)算式，然后利用半更新理論求得系統(tǒng)的聯(lián)合穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)表達(dá)式，并給出了相應(yīng)的數(shù)值解法，最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證了上述穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)定義及解法的正確性。

本文還分析了該方法對(duì)后續(xù)維修優(yōu)化建模的有效性，后續(xù)將以此為基礎(chǔ)對(duì)相同多部件系統(tǒng)的最優(yōu)維修優(yōu)化決策展開進(jìn)一步研究;同時(shí),本文僅考慮定期檢測下的維修策略劣化狀態(tài)空間劃分，事實(shí)上，由于劣化程度的加深，系統(tǒng)劣化速度會(huì)加快，采用序貫檢測更加合理，后續(xù)將以本文為基礎(chǔ)進(jìn)行深入研究。