，，

(江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003 )

1 研究背景

極限分析理論一般基于上下限定理對邊坡的極限承載力進(jìn)行求解，其通常假設(shè)極限狀態(tài)下的滑裂面通過坡趾或坡趾下方[1-3]。實(shí)際上當(dāng)坡頂局部堆載且較大時(shí)，往往會(huì)在坡面先行發(fā)生局部破壞，即滑裂面不經(jīng)過坡趾。例如：邊坡上方修建構(gòu)筑物，路堤上的車輛荷載等，此類邊坡采用傳統(tǒng)假設(shè)并不合理。何思明等[4]給出了坡頂局部荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式，分析結(jié)果表明局部荷載對滑裂面的分布有顯著的影響。

較之構(gòu)造靜定平衡的應(yīng)力場，機(jī)動(dòng)許可的速度場往往更容易通過計(jì)算求解，因此上限法被廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定中[2,5]。目前均質(zhì)邊坡的上限法分析已被廣泛運(yùn)用，對于土體類型和性質(zhì)隨空間變化的非均質(zhì)邊坡[6-8]，已有不少學(xué)者采用上限法展開研究。王均星等[9]基于有限單元法建立了非均質(zhì)土邊坡的上下限數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，給出了相應(yīng)的應(yīng)力場和速度場。欒茂田等[10]基于上限定理和抗剪強(qiáng)度折減系數(shù)，考慮土體強(qiáng)度的非均質(zhì)性，在采用抗滑樁加固的情況下建立了極限平衡方程，探討了抗滑樁的極限抗力和最優(yōu)加固位置。Kumar和Samui[11]采用整體法的對數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)研究了土體參數(shù)分層變化情況下的邊坡穩(wěn)定性。方薇等[12]在假定非均質(zhì)邊坡滑裂面為對數(shù)螺旋線的情況下，運(yùn)用上限法研究了黏聚力線性變化對邊坡穩(wěn)定性的影響。孫志彬等[13]將邊坡進(jìn)行離散，利用上限法對黏聚力和內(nèi)摩擦角線性變化時(shí)的邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析。以上學(xué)者皆是基于傳統(tǒng)的極限分析理論，假設(shè)滑裂面通過坡趾并只考慮了自重情況下的影響，未對局部荷載作用下的非均質(zhì)邊坡進(jìn)行深入研究。

上限法服從關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，即滑動(dòng)面切線方向和土體速度方向的夾角等于內(nèi)摩擦角，因此內(nèi)摩擦角的空間分布決定了滑裂面的形狀特征。對于只有黏聚力變化時(shí)的非均質(zhì)邊坡，仍然可以采用整體法將滑裂面假設(shè)為對數(shù)螺旋線進(jìn)行計(jì)算。本文基于上述學(xué)者對坡頂局部荷載和非均質(zhì)土的研究，將以上2種不同形式統(tǒng)一結(jié)合起來，以局部荷載作用于坡頂且滑裂面不限制通過坡趾或坡趾下方為計(jì)算模型，結(jié)合極限分析上限法，針對黏聚力隨深度線性分布的非均質(zhì)邊坡，推導(dǎo)了坡頂局部荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算公式，給出了穩(wěn)定性與黏聚力以及坡頂荷載之間的定量關(guān)系，將理論公式轉(zhuǎn)化為擁有多個(gè)變量的極小值問題，并給出了最優(yōu)解。

2 能耗計(jì)算及穩(wěn)定性分析

為求得上限解，需尋找滿足機(jī)動(dòng)許可的速度場。本文假設(shè)邊坡破壞機(jī)構(gòu)為旋轉(zhuǎn)間斷面，滑裂面假定通過坡趾或坡面上的某點(diǎn)。如圖1所示，滑塊BCD為剛體繞O點(diǎn)沿著CD面做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，CD為速度間斷面。圖1中：β為邊坡坡角；H為坡高；h為滑裂面的臨界高度,且h≤H;γ為土體重度;ω為旋轉(zhuǎn)角速度;φ為內(nèi)摩擦角;θ為滑裂面上任意一點(diǎn)所對應(yīng)的極角;γθ為滑裂面上極角θ所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)半徑;q為坡頂作用的局部荷載;b為作用寬度；L為滑裂面起點(diǎn)到坡頂?shù)木嚯x；a為局部荷載到坡頂?shù)木嚯x;滑裂面上極角θ處的滑動(dòng)速度為Vθ。

圖1 邊坡對數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)Fig.1 Log-spiral failure mechanism of slope

假設(shè)滑塊前后緣與旋轉(zhuǎn)中心O的連線與水平方向的夾角分別為θ0，θh。根據(jù)對數(shù)螺旋線方程r=r0exp[(θ-θ0)tanφ]，則有如下比例關(guān)系：

(1)

(2)

式中r0和rh分別為θ0和θh對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)半徑。

2.1 外功率計(jì)算

外功率由邊坡重力和坡頂局部荷載提供。重力對滑塊BCD所做的功率Ws可由OCD，OBD和OBC各土塊所做外功率求得,則有

(3)

其中：

f1(θh,θ0)=

圖2 外荷載所做功率示意圖Fig.2 Illustration of the power for external loads

當(dāng)坡頂作用局部荷載時(shí)，滑裂面起始點(diǎn)與荷載分布相對位置不確定，因此二者作用形式分為2種情況進(jìn)行討論：一種是荷載位于滑裂面以內(nèi)，即L>a+b>0；另一種是荷載一部分位于滑裂面以外，即a+b>L>b。圖2顯示了局部荷載與旋轉(zhuǎn)中心O的幾何關(guān)系，為求坡頂局部荷載作用下的外功率，可將局部荷載等效成集中力F，根據(jù)式(4)來求得。

(4)

式中：l′為局部荷載在滑裂面以內(nèi)作用寬度；rq為局部荷載等效作用點(diǎn)到O點(diǎn)的距離；lq為局部荷載作用點(diǎn)到O點(diǎn)的水平距離。

當(dāng)L>a+b>0時(shí)，有

(5)

當(dāng)a+b>L>b時(shí)，有

因此局部荷載所做的功率為

Wq=ωqfq。

(7)

總的外功率為

W外=Ws+Wq。

(8)

圖3 黏聚力隨深度變化的模式Fig.3 Model of cohesion varying with depth

2.2 內(nèi)能耗散

內(nèi)能耗散由速度間斷面提供，由于土體內(nèi)部黏聚力c隨深度發(fā)生線性變化，在沿間斷面進(jìn)行能耗積分時(shí)，引入黏聚力比例因子λc，設(shè)坡頂土體的黏聚力為λcc0，坡腳處的土體黏聚力為c0，如圖3所示。式(9)為邊坡內(nèi)任意一點(diǎn)處的黏聚力ch表達(dá)式。

(9)

對式(9)沿速度間斷面CD滑面進(jìn)行積分，可得其內(nèi)部能耗率W內(nèi)，即

(10)

其中：

(11)

(3tanφsinθh-cosθh)-exp(3θ0tanφ)·

(3tanφsinθ0-cosθ0)] 。

(12)

式中V表示滑裂面上任意一點(diǎn)的滑動(dòng)速度。

2.3 穩(wěn)定性分析

傳統(tǒng)的上限分析中，令W外=W內(nèi)，即默認(rèn)安全系數(shù)K=1.0時(shí)，便可得出邊坡的臨界高度。本文將起始角θ0、終止角θh和臨界高度h作為自變量，根據(jù)式(7)和式(9)求出坡頂局部荷載作用下非均質(zhì)邊坡的安全系數(shù)K，即

(13)

顯然K是關(guān)于θ0,θh,h3個(gè)未知量的多元函數(shù)，邊坡的安全系數(shù)對應(yīng)于函數(shù)的極小值。即對式(13)進(jìn)行偏導(dǎo)，滿足式(14)的參數(shù)值所對應(yīng)的滑裂面為邊坡臨界滑裂面。

(14)

3 黏聚力比例因子對邊坡穩(wěn)定性的影響

已知邊坡的模型參數(shù)如圖4所示：坡高H=10 m，土體重度γ=18.5 kN/m3，坡角β=45°，邊坡坡腳處土體黏聚力c0=20 kPa，內(nèi)摩擦角φ=25°，坡頂水平，作用局部荷載q=200 kN/m，a=1 m，b=1 m。取比例因子λc=1.2，根據(jù)以上參數(shù)便可求出在臨界狀態(tài)下的邊坡滑裂面位置和安全系數(shù)(見圖5)。

圖4 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型Fig.4 Slope stability calculation model

圖5 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results of slope stability

圖6 λc-K關(guān)系曲線Fig.6 Curve of λc-K

圖7 不同λc下的滑裂面分布Fig.7 Distribution of sliding surface of slope varying with λc

由圖6可見，在其他參數(shù)(土體力學(xué)性狀、荷載分布)保持不變的情況下，隨著λc的線性增加，土體黏聚力的增大導(dǎo)致抗滑力不斷增加，在下滑力不變的情況下邊坡越來越穩(wěn)定。當(dāng)λc從0.4增加到1.4時(shí)，安全系數(shù)增幅達(dá)到61.8%，效果非常明顯。表1和圖7列出了邊坡滑裂面分布特征隨λc的變化，滑裂面極限高度h變化十分明顯，但坡頂L的變化十分微小，由此看出對數(shù)螺旋線滑裂面的起始角θ0隨λc的增大逐漸減少，但幅度很小。終止角θh隨λc的增大而增大，即滑裂面對應(yīng)的張角逐漸增加。

表1 不同比例因子λc下邊坡臨界滑裂面分布Table 1 Distribution of critical sliding surface ofslope varying with λc

4 坡頂局部荷載分布對邊坡穩(wěn)定性的影響

控制坡頂局部荷載的3個(gè)重要參數(shù)分別為荷載大小q、荷載的作用寬度b、荷載到坡頂?shù)木嚯xa，保持其中2個(gè)參數(shù)不變，進(jìn)行單因素分析其對邊坡穩(wěn)定性的影響，其余土體參數(shù)同上，取黏聚力比例因子λc=1.2。

4.1 局部荷載大小q影響性分析

研究荷載大小q對邊坡穩(wěn)定性的影響，取a=0 m，b=1 m，圖8(a)和圖8(b)分別給出了q從100 kN/m變化到300 kN/m對應(yīng)的K值和h值。邊坡的安全系數(shù)K和滑裂面臨界高度h隨荷載q的增大而減小。圖9繪出了3種荷載下邊坡滑裂面的分布，隨著荷載q的增大，滑裂面張角逐漸減小。

圖8 荷載大小q對安全系數(shù)K和滑裂面高度h的影響Fig.8 Influence of load value q on safety factor Kand slope’s sliding surface height h

圖9 不同荷載值下潛在滑裂面位置Fig.9 Position of potential sliding surface in the presence of different loads

4.2 荷載作用寬度b影響性分析

取a=0 m，q=200 kN/m，圖10(a)和圖10(b)給出了b從0.5 m到3.5 m對應(yīng)的K值與h值。從圖中可以看出，安全系數(shù)K隨著b的增大而減小，而臨界高度隨著b的增大而增大，當(dāng)b達(dá)到3 m時(shí)，滑裂面通過坡趾附近，從2 m到3 m時(shí)h的變化幅度增大。圖11描繪了3種荷載作用寬度下的邊坡臨界滑裂面分布圖，從圖中可以看出隨著b的增大，滑裂面的張角逐漸增大，當(dāng)經(jīng)過坡趾附近時(shí)，終止角θh達(dá)到最大。

圖10 荷載長度b對安全系數(shù)K和滑裂面高度h的影響Fig.10 Influence of load length b on safety factorK and slope’s sliding surface height h

圖11 不同局部荷載作用寬度下滑裂面位置Fig.11 Position of sliding surface with different widths of local load

4.3 荷載距坡頂距離a的影響性分析

取b=1 m，q=200 kN/m，圖12(a)和圖12(b)給出了a從0 m到1.5 m對應(yīng)的K值與h值。從圖中可看出，安全系數(shù)K隨著a的增大而增加，當(dāng)a>1 m時(shí)增加的幅度減小，滑裂面的臨界高度h同樣也是逐漸增大；當(dāng)a=1 m時(shí)發(fā)生突變，h陡增；進(jìn)一步增加a的距離到1.5 m時(shí)，h達(dá)到最大值，此時(shí)滑裂面通過坡趾。圖13給出了a在4種取值下的滑裂面分布，從圖中可以看出隨著a的小幅度增大，邊坡的滑裂面發(fā)生了急劇的變化，滑裂面的張角迅速增加，破壞范圍逐漸擴(kuò)大。

圖12 荷載距坡頂距離a對安全系數(shù)和滑裂面高度的影響Fig.12 Influence of distance a from load to slope top on safety factor K and slope’s sliding surface height h

圖13 局部荷載距坡頂不同距離下滑裂面位置Fig.13 Position of sliding surface with different distances from local load to slope top

5 結(jié) 論

當(dāng)邊坡坡頂作用局部荷載時(shí)，邊坡的滑裂面不一定通過坡趾或坡趾下方，有可能發(fā)生局部失穩(wěn)破壞。本文針對黏聚力隨深度線性變化的非均質(zhì)邊坡，提出了一種計(jì)算非均質(zhì)邊坡坡頂局部荷載作用下的穩(wěn)定性綜合分析方法，并重點(diǎn)分析了黏聚力比例因子λc和坡頂局部荷載分布情況對邊坡臨界狀態(tài)下的安全系數(shù)和滑裂面的影響。研究表明：

(1)隨著比例因子λc的逐漸增大，安全系數(shù)增幅較大，滑裂面高度逐漸增加，剛體旋轉(zhuǎn)起始角θ0基本保持不變，終止角θh不斷增加，滑裂面張角也隨之變大。

(2)邊坡局部荷載的性質(zhì)對邊坡滑裂面的位置及其安全系數(shù)影響較大。隨著局部荷載q的逐漸增大，邊坡的安全系數(shù)以及臨界高度逐漸減小，邊坡發(fā)生局部破壞的范圍也隨之減小；當(dāng)荷載的作用寬度b不斷增加時(shí)，安全系數(shù)隨著減小，但臨界高度不斷增加，當(dāng)b達(dá)到3 m時(shí)滑裂面通過坡趾；荷載到坡頂?shù)木嚯xa的增加導(dǎo)致滑裂面深度急劇擴(kuò)大，安全系數(shù)也隨之增大，存在突變點(diǎn)a=1 m時(shí)邊坡的安全系數(shù)增幅減緩，臨界高度增幅陡增，達(dá)到1.5 m時(shí)滑裂面通過坡趾。

(3)本文僅針對了土體黏聚力c隨深度的線性變化，假定邊坡滑裂面仍然為對數(shù)螺旋線，如果考慮內(nèi)摩擦角φ的線性變化，滑裂面不再是對數(shù)螺旋線。不同于孫志彬等[13]在自重情況下提出的假定滑面通過坡趾的離散模型，在考慮坡頂局部荷載作用下滑裂面經(jīng)過坡面時(shí)，需要提出一種新的破壞機(jī)構(gòu)。