石小磊 高德利 王宴濱

中國石油大學(xué)石油工程教育部重點實驗室

隨著油氣勘探進(jìn)程的不斷發(fā)展，勘探工作重點逐漸轉(zhuǎn)向西部及其他新探區(qū)，并對一些深層油氣藏進(jìn)行了鉆探，而這類探井一般都屬于深井或超深井。超深井具有高溫高壓以及鉆遇地層復(fù)雜等特點，井身結(jié)構(gòu)設(shè)計也較為復(fù)雜，給完井和測試作業(yè)帶來很大挑戰(zhàn)。因此清晰地了解井筒內(nèi)溫度、壓力的分布，不僅可以為篩選合適性能的油管柱以及封隔器提供參考資料，而且對油氣井日常生產(chǎn)管理和動態(tài)設(shè)計分析極其重要。在地層測試過程中，取得井筒壓力、溫度分布的方法有：（1）在井筒中布置一定數(shù)量的壓力計和溫度計；（2）僅實測井底或井口壓力、溫度，采用理論分析方法預(yù)測整個井筒的壓力、溫度分布［1］。就目前技術(shù)水平而言，由于高溫高壓井對測試設(shè)備及配套部件要求比較嚴(yán)格，因此使用溫度計和壓力計幾乎很難對井筒溫度、壓力準(zhǔn)確測量，故理論分析方法是預(yù)測井筒溫度和壓力的首選方法。

20世紀(jì)50年代，Cullender和 Smith［2］利用平均溫度和偏差系數(shù)得到了穩(wěn)定流動狀態(tài)下管柱井底壓力分布模型；Kirkpatrick［3］提出了自噴井井筒溫度分布模型，并繪制了便于查詢的溫度梯度圖版，利用該圖版可快速查詢注入口處的溫度。Ramey［4］將單相不可壓縮液體或單相理想氣體的溫度看作井深的函數(shù)，充分考慮了傳熱和導(dǎo)熱，得到了井筒溫度分布模型。Hasan和Kabir［5］提供了準(zhǔn)確性較高的井筒溫度分布的半解析解模型，極大地推動了井筒傳熱理論的發(fā)展。直到1994年，國內(nèi)學(xué)者王彌康［6］利用稠油油藏?zé)岵晒に噷鳠岱譃榫矁?nèi)穩(wěn)態(tài)傳熱和地層內(nèi)非穩(wěn)態(tài)傳熱，并求解出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。楊蔚、黃煒［7］將氣體平均溫度假定為常數(shù)，用視對比壓力替換真實壓力，推導(dǎo)出了一種新的關(guān)系式并給出解析解，可在計算機(jī)上編程實現(xiàn)，但該方法計算精度不高。毛偉和梁政［8］提出了直井井筒溫度壓力的耦合模型，但未考慮摩擦力對井筒溫度的影響。郭春秋［9］針對高溫高壓氣井提出了預(yù)測溫度、壓力、流速和密度的數(shù)值模型，可較為精確地對井筒溫度、壓力進(jìn)行預(yù)測。

根據(jù)調(diào)研可知，前人對井筒溫度壓力分布研究基本上只考慮了單相流體的穩(wěn)定流動，將溫度或壓力模型獨立求解。筆者在綜合前人研究成果的基礎(chǔ)上，從動量守恒和能量守恒方程出發(fā)，考慮多相流體流動的影響，導(dǎo)出了描述流體穩(wěn)定流動時的溫度、壓力耦合模型，通過四階龍格-庫塔方法進(jìn)行數(shù)值求解，并利用四川某氣田X井進(jìn)行實例驗證，結(jié)果表明該模型具有較高的精度，能滿足工程要求。

1 模型的建立

溫壓耦合模型假設(shè)條件如下：

（1）流體在井筒中作穩(wěn)定流動，同一截面上流體物性參數(shù)相同；

（2）井筒內(nèi)到水泥環(huán)外界面為穩(wěn)定傳熱，水泥環(huán)外界面到外部地層為非穩(wěn)定傳熱；

（3）井筒和地層的傳熱只發(fā)生在徑向上，可以將沿井深方向的熱損失忽略；

（4）井筒周圍地層溫度均勻?qū)ΨQ分布，并且服從線性變化規(guī)律。

取井底作為坐標(biāo)原點，以油管軸線向上為正方向。在油管上取長為dx的微元體，θ為油管與水平方向的夾角，建立圖1所示的坐標(biāo)系。

圖1 井筒微元體能量守恒示意圖Fig. 1 Schematic conservation of energy of borehole microelement

動量守恒方程

能量守恒方程

式中，ρ為流體密度，kg/m3；v為流體流速，m/s；x為井深，m；p為壓力，Pa；g為重力加速度，m/s2；θ為井斜角，°；f為摩阻系數(shù)，無量綱；d為油管內(nèi)徑，m；W為流體質(zhì)量流量，kg/s；H為比焓，J/kg；Q為單位長度控制體單位時間內(nèi)的熱損失，J/（m·s）。

根據(jù)前人對比焓梯度［10］和熱損失［11］的研究，這里引用方程式

式中，Cp為流體比定壓熱容，J/（kg·℃）；CJ為流體焦耳-湯姆遜系數(shù)，℃/Pa；rto為油管外徑，m；Uto為總傳熱系數(shù)，J/（s·m2·℃）；Tf為井筒流體溫度，℃；Te為地層溫度，℃；f（t）為無因次時間函數(shù)；ke為地層導(dǎo)熱系數(shù)，J/（s·m·℃）。

假設(shè)離井筒中心無窮遠(yuǎn)處的地層溫度是井深的線性函數(shù)，設(shè)地溫梯度為gT，井底處的地層溫度是Tebh，則任意深度處的地層溫度為

由式（1）、式（2）、式（3）和式（4）可得到壓力、溫度梯度的耦合數(shù)學(xué)模型

2 模型參數(shù)的確定

在進(jìn)行溫度和壓力場求解時，需要針對其主要熱物性參數(shù)進(jìn)行深入分析，由于熱物性參數(shù)在計算時十分復(fù)雜，本文結(jié)合前人的研究列出了其中4個最重要的熱物性參數(shù)的計算公式。

2.1 無因次時間函數(shù)

由于無因次時間函數(shù)的求解過程非常復(fù)雜，并且浪費時間，一般采用Ramey所推導(dǎo)的近似公式［4］

式中，tn為無因次時間，無量綱；t為生產(chǎn)時間，s；αt為地層熱擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；rh為井眼半徑，m。

2.2 比定壓熱容Cp和焦耳-湯姆遜系數(shù)CJ

在開采過程中測試管柱內(nèi)可能會存在氣液兩相同時流動的狀況。區(qū)別于單相流的處理方法，考慮其自身的流動復(fù)雜性，井筒內(nèi)流體的混合比熱容可以表示為［12］

井筒內(nèi)流體的混合焦耳-湯姆遜系數(shù)可以表示為

式中，Cpg為氣相比定壓熱容，J/（kg·℃）；Cpl為液相比定壓熱容，J/（kg·℃）；Wg為氣相質(zhì)量流量，kg/s；W1為液相質(zhì)量流量，kg/s；CJg為氣相焦耳-湯姆遜系數(shù)，℃/Pa；CJ1為液相焦耳-湯姆遜系數(shù)，℃/Pa。

計算氣相焦耳-湯姆遜系數(shù)CJg和液相焦耳-湯姆遜系數(shù)CJ1的方法見參考文獻(xiàn)［13］。

2.3 總傳熱系數(shù)

總傳熱系數(shù)Uto是式（4）計算的關(guān)鍵，由于井筒內(nèi)流體和管壁之間的傳熱系數(shù)非常大，可以忽略不計。油管和套管的導(dǎo)熱系數(shù)遠(yuǎn)大于水泥環(huán)和地層的導(dǎo)熱系數(shù)，油管和套管造成的溫度損失也是可以忽略的，所以可以采用工程上常用的簡化方程式［5］

式中，rco為套管外徑，m；hc為環(huán)空流體對流傳熱系數(shù)，J/（s·m2·℃）；hr為環(huán)空流體輻射傳熱系數(shù)，J/（s·m2·℃）；kcem為水泥環(huán)導(dǎo)熱系數(shù)，J/（s·m·℃）。

3 模型求解

式（6）為壓力和溫度的梯度方程組，已知井底x0截面處的流體溫度T0和壓力p0構(gòu)成此方程組的初始條件，若欲求其兩個未知量溫度T和壓力p，相應(yīng)的梯度方程的右函數(shù)記為Fi（i=1，2），則方程組（6）可表示為

將起點位置的初始值（x0，T0，p0）和新定義的函數(shù)Fi重新聯(lián)立方程組，對于這類常微分方程組的初值問題可利用計算精度較高的四階龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值求解，取步長為h，節(jié)點x1=x0+h的函數(shù)值T1和p1可表示為

其中

若x1未達(dá)到預(yù)計深度，再將新的節(jié)點和上一個節(jié)點的計算值（x1，p1，T1）作為下步計算的初始值重復(fù)上述步驟，如此連續(xù)遞推運算直到預(yù)計深度。井筒溫度場壓力場耦合計算流程如圖2所示。

圖2 井筒溫度場壓力場計算流程圖Fig. 2 Calculation flowchart of borehole temperature and pressure fields

4 算例分析

四川某氣田X井，完鉆井深4 500 m，地溫梯度0.019 ℃/m，井底地層溫度123.4 ℃，井底壓力為57.3 MPa，環(huán)空對流傳熱系數(shù)1.96 J/（s·m2·℃），環(huán)空輻射傳熱系數(shù)34.28 J/（s·m2·℃），水泥環(huán)導(dǎo)熱系數(shù)0.62 J/（s·m·℃），地層導(dǎo)熱系數(shù)2.122 J/（s·m·℃），地層熱擴(kuò)散系數(shù)1.21×10-6m2/s，產(chǎn)氣量50×104m3/d，產(chǎn)水量為 5 m3/d，油密度 800 kg/m3，水密度 1 039 kg/m3，天然氣相對密度0.68，氣體比熱容為3 000 J/（kg·℃），水比熱容為4 221 J/（kg·℃）。油管外徑為88.9 mm，油管內(nèi)徑為76 mm，套管外徑為177.8 mm，井眼直徑為215.9 mm。

根據(jù)X井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，應(yīng)用耦合模型對井筒溫度壓力在不同產(chǎn)量、不同氣體相對密度、不同生產(chǎn)時間條件下的分布進(jìn)行了敏感性分析，并對比分析了預(yù)測結(jié)果與線性模型的差異。

由圖3和圖4可見，其他參數(shù)恒定時，產(chǎn)量增大使流體受到更大的摩擦阻力，克服阻力需要做更多的功，從而使井筒中的壓力減少；而溫度沿井深呈非線性變化，同時產(chǎn)量增大，沿井筒分布的溫度剖面也呈增大趨勢［14］，這是由于產(chǎn)量增加，流速變大，流體與周圍環(huán)境進(jìn)行的熱交換損失變小導(dǎo)致。

圖3 產(chǎn)量與井筒壓力分布剖面圖Fig. 3 Production rate and borehole pressure distribution section

圖4 產(chǎn)量與井筒溫度分布剖面圖Fig. 4 Production rate and borehole temperature distribution section

由圖5和圖6可見，井筒壓力分布與氣體相對密度成反比關(guān)系，即隨著氣體相對密度的增大壓力大幅度減小，這是由于氣體相對密度增大，壓降梯度變化越明顯，壓力損失增加導(dǎo)致；而當(dāng)氣體產(chǎn)量和生產(chǎn)時間等參數(shù)恒定時，氣體密度越高，井筒溫度越高，這主要是由于氣體密度增大，井筒內(nèi)流體的熱流當(dāng)量隨即也增大，熱損失減少，因此溫度剖面向水平軸正方向偏移。

圖5 氣體相對密度與井筒壓力分布剖面圖Fig. 5 Relative gas density and borehole pressure distribution section

圖6 氣體相對密度與井筒溫度分布剖面圖Fig. 6 Relative gas density and borehole temperature distribution section

由圖7和圖8可見，隨著時間的延長，在井底壓力不變化的情況下，考慮耦合效應(yīng)的模型預(yù)測的壓力變化不大；而溫度相對升高，這是由于時間變化關(guān)系到無因次時間函數(shù)的大小，最終影響到井筒溫度的分布。

圖7 生產(chǎn)時間與井筒壓力分布剖面圖Fig. 7 Production time and borehole pressure distribution section

由圖9和圖10可見，在所有計算參數(shù)相同的情況下，耦合模型下井筒內(nèi)的壓力和線性模型的壓力幾乎相同；而溫度呈現(xiàn)出不同的變化趨勢，耦合模型的溫度梯度先小后大，這進(jìn)一步證實了井筒溫度并非沿井深一階線性變化，如果純粹的視井筒溫度按線性變化的話，在油氣井動態(tài)預(yù)測時，若井筒內(nèi)流體熱物性參數(shù)與溫度關(guān)系密切，則有可能造成一定的誤差，并且隨著產(chǎn)量的增加，流速變大，井筒內(nèi)流體熱交換損失減小，誤差也會相應(yīng)的增大。

圖8 生產(chǎn)時間與井筒溫度分布剖面圖Fig. 8 Production time and borehole temperature distribution section

圖9 耦合模型與線性模型壓力分布對比圖Fig. 9 Pressure distribution comparison between coupling model and linear model

圖10 耦合模型與線性模型溫度分布對比圖Fig. 10 Temperature distribution comparison between coupling model and linear model

5 結(jié)論與建議

（1）依據(jù)動量、能量守恒定律和流體力學(xué)基本原理，建立了考慮耦合效應(yīng)的高溫高壓氣井測試溫壓分布定量分析模型，利用四階龍格-庫塔方法得到的運算結(jié)果可較為準(zhǔn)確地預(yù)測井筒中的溫度和壓力分布。

（2）敏感性分析結(jié)果表明：隨著產(chǎn)量的增加，井筒內(nèi)流體的摩阻增大，流速增大，井筒內(nèi)壓力下降，溫度升高；隨著氣體相對密度的增大，壓力梯度增大，熱損失減少，井筒內(nèi)壓力下降，溫度升高；隨著生產(chǎn)時間的增加，由于無因次函數(shù)與時間變化有關(guān)，井筒內(nèi)壓力保持不變，溫度升高。該模型的分析結(jié)果可為測試管柱的下入及井下開采提供理論依據(jù)。

（3）通過對比分析可知，井筒流體流動的溫度沿井深呈非線性分布，如果在求解過程中將其考慮按線性規(guī)律分布，將會使計算結(jié)果與實際情況有較大出入，因此在實際生產(chǎn)過程中，需考慮影響井筒溫度分布的因素以及溫度和壓力之間的相互影響。