黃泰俊,楊自春,陳國(guó)兵,費(fèi)志方
(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院,湖北武漢 430033)
船舶動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜度高、可靠性要求高的系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)部分設(shè)備及子系統(tǒng)存在冗余,且由于不同航行工況對(duì)系統(tǒng)性能輸出的要求不同。系統(tǒng)中的設(shè)備處于不同的內(nèi)部工作環(huán)境,導(dǎo)致相同設(shè)備存在不同的失效率,而多個(gè)設(shè)備存在于相同的外部環(huán)境之中,導(dǎo)致系統(tǒng)存在共因失效。由于進(jìn)行動(dòng)力系統(tǒng)可靠性分析需要考慮的因素眾多,從而成為此類問題分析的難點(diǎn)。因此對(duì)這類系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析,可以對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和維修決策提出有效建議,具有實(shí)際工程意義。
動(dòng)力系統(tǒng)由多個(gè)分系統(tǒng)構(gòu)成,包含各種串并聯(lián)系統(tǒng)以及k/n(G)系統(tǒng)。由于船舶運(yùn)行工況復(fù)雜,使動(dòng)力系統(tǒng)存在多種工作狀態(tài),傳統(tǒng)的二態(tài)可靠性分析方法因?yàn)楹雎韵到y(tǒng)中間狀態(tài),導(dǎo)致分析結(jié)果過于保守,不能準(zhǔn)確的評(píng)估系統(tǒng)的可靠性,因此,本文采用多狀態(tài)分析方法對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析。目前,對(duì)于多狀態(tài)系統(tǒng)的研究方法主要有以下5種:布爾模型擴(kuò)展法、隨機(jī)過程 (主要是Markov過程)法、通用生成函數(shù) (Universal Generating Function,UGF)法、隨機(jī)仿真 (主要是Monte Carlo仿真)法以及貝葉斯網(wǎng)絡(luò)法等。其中,由于通用生成函數(shù)在處理復(fù)雜的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性方面,具有計(jì)算復(fù)雜程度小、處理離散隨機(jī)變量組合簡(jiǎn)潔高效等優(yōu)點(diǎn),被廣泛運(yùn)用[1-4]。以上研究均是在只考慮系統(tǒng)設(shè)備獨(dú)立失效的情況下進(jìn)行的。
然而,由于工作環(huán)境的影響,使動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)備之間存在共因失效。共因失效是增加失效概率的主要原因之一,會(huì)降低冗余單元提升系統(tǒng)可靠性的效果。針對(duì)這個(gè)問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者把共因失效作為系統(tǒng)可靠性的一個(gè)重點(diǎn)因素進(jìn)行了相關(guān)研究[5-7]。
以上研究考慮的都是相同單元在相同失效率和修復(fù)率情況下的可靠性分析問題,而動(dòng)力系統(tǒng)中存在由于工作環(huán)境不同導(dǎo)致的相同單元失效率不同的情況,針對(duì)此問題以及動(dòng)力系統(tǒng)存在多狀態(tài)和共因失效等問題,本文利用通用生成函數(shù),結(jié)合根據(jù)非同型單元可靠性分析[8]改進(jìn)的Markov過程,提出相同單元存在不同失效率且考慮完全共因失效情況的k/n(G)系統(tǒng)的可靠性分析方法,并以海水系統(tǒng)為例,對(duì)其進(jìn)行可靠性分析。
假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)單元組成,其中單元j(j=1,2,…,n)有kj個(gè)狀態(tài),其中包括了正常狀態(tài)1、失效狀態(tài)kj以及中間狀態(tài) (2,…,kj-1),則單元狀態(tài)性能向量表示為gj= {gj1,gj2,…,gjkj}和對(duì)應(yīng)的狀態(tài)概率為pj(t) = {pj1(t),pj2(t),…,pjkj(t)}。單元的輸出性能被看做為一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程Gj(t),有Gj(t)∈gj,單元狀態(tài)概率和輸出性能值間的關(guān)系為pjhj(t) =Pr{Gj(t) =gjhj}(hj=1,2,…,kj)。
對(duì)于系統(tǒng)而言,系統(tǒng)輸出性能由全部n個(gè)單元的性能狀態(tài)決定,假設(shè)系統(tǒng)存在K個(gè)性能值,則單元和系統(tǒng)之間存在如下映射關(guān)系:
利用UGF進(jìn)行系統(tǒng)可靠性分析時(shí),通過引入z變換函數(shù),首先要對(duì)系統(tǒng)及系統(tǒng)單元進(jìn)行狀態(tài)和性能描述。UGF定義了隨機(jī)變量的可能取值與其對(duì)應(yīng)的概率之間的聯(lián)系,并通過運(yùn)算建立了不同變量之間的關(guān)系。定義t時(shí)刻單元j的UGF為[9]:
定義UGF的運(yùn)算法則,引入算子Ωf,得到多狀態(tài)系統(tǒng) (Multi-state System,MSS)的UGF為:
式中:U1(z,t),…,Un(z,t) 為各單元的UGF。
根據(jù)串并聯(lián)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),定義系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)f(·)的計(jì)算法則:
1)對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)輸出性能取決于性能最弱的單元,定義運(yùn)算符δ1:
式中:gi、gj表示2個(gè)不同單元的性能值。
2)對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng),若系統(tǒng)性能由各單元一起分擔(dān),定義運(yùn)算符δ2:
3)對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng),若系統(tǒng)性能取決于性能最強(qiáng)的單元承擔(dān),定義運(yùn)算符δ3:
由于UGF表示多狀態(tài)系統(tǒng)的瞬時(shí)性能分布,因此可以用于評(píng)估瞬態(tài)可用度、平均瞬態(tài)性能等。
使用算子δA可得到在任意t(t>0)時(shí)刻實(shí)際性能需求值為w時(shí)的系統(tǒng)瞬態(tài)可用度[9]:
使用算子δE可得到在任意t(t>0)時(shí)刻系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能為:
由上節(jié)所知,利用通用生成函數(shù)方法進(jìn)行多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析,關(guān)鍵在于確定狀態(tài)的性能值和對(duì)應(yīng)狀態(tài)的概率,對(duì)于單元j而言,即計(jì)算式 (1)中的gjhj和pjhj(t),對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言,即計(jì)算式(7)中的gi和pi(t)。其中單元性能值由單元本身決定,系統(tǒng)性能值由組成系統(tǒng)的單元之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系決定。
本節(jié)將利用Markov過程進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)的概率分析。對(duì)存在共因失效單元的k/n(G)系統(tǒng)作以下假設(shè)。
1)系統(tǒng)中單元的壽命和維修時(shí)間均服從指數(shù)分布,且單元只存在工作和失效2種狀態(tài)。
2)系統(tǒng)由n個(gè)失效率不同的相同單元組成,其對(duì)應(yīng)失效率分別為 (λ1,λ2,…,λn),至少有k(k=1,2,…,n)個(gè)單元正常工作時(shí),系統(tǒng)正常;否則,系統(tǒng)失效。
3)系統(tǒng)進(jìn)入故障狀態(tài)時(shí),其余正常單元停止工作。
4)單元可修,且有足夠的維修工,各單元的維修率相同為μ。
5)共因失效發(fā)生時(shí)系統(tǒng)失效,共因失效率為λ*。
對(duì)k/n(G)系統(tǒng)存在狀態(tài)進(jìn)行定義。從失效單元個(gè)數(shù)定義,狀態(tài)有n-k+2個(gè),失效單元數(shù)分別為0,1,…,n-k,n-k+1,n個(gè)。然而,由于每個(gè)單元失效率不同,所以在i(i=1,2,…,n-k+1)個(gè)單元失效的情況下又分為Cin個(gè)子狀態(tài)。用0和1表示各個(gè)單元的工作狀態(tài),0表示失效,1表示工作。例如 t時(shí)刻的 (0,0,1,1,…,1)表示單元1和2失效,其他正常工作。若用EiSi表示系統(tǒng)所有狀態(tài),其中 Si=1,2,…,Cin,則t時(shí)刻的狀態(tài)為E21(t),用FiSi(t)表示狀態(tài)EiSi(t)失效單元的位置,則F21(t) ={1,2}。令失效單元數(shù)n-k=r,以系統(tǒng)的單元失效個(gè)數(shù)表示的系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)系圖,不存在共因失效和存在共因失效的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。
圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移
圖1 中,λSi、μSi(i=1,2,…,r+1) 分別為失效單元數(shù)為i到失效單元數(shù)為i-1的狀態(tài)的失效率及相反過程的修復(fù)率,μSn為單元全部失效到失效單元數(shù)為r+1時(shí)的修復(fù)率。
通過馬爾科夫過程可以得到微分方程組(10)。
式中:pi(t)(i=0,1,…,r+1,n)為失效單元數(shù)為i時(shí)的狀態(tài)概率,piSi(t)為失效單元數(shù)為i時(shí)子狀態(tài)Si的概率,λj(j=1,2,…,n)為第j種單元的失效率。
本文使用MATLAB進(jìn)行迭代運(yùn)算,初始條件為p(t) = [1,0,…,0],即 p0(0) =1,pisi(0) =0,求解得到各狀態(tài)的瞬態(tài)概率pi(t)。
對(duì)于不需要了解瞬態(tài)概率,只關(guān)心穩(wěn)態(tài)可靠性能的系統(tǒng),可以把各狀態(tài)概率pi(t)作為常量,帶入式 (10)進(jìn)行計(jì)算,對(duì)于微分方程組的求解,也就轉(zhuǎn)換為求解線性代數(shù)方程,可以得到多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率值pi(∞)。
以文獻(xiàn) [7]的算例3為研究對(duì)象,由于該系統(tǒng)的單元失效率相同,所以把λ1=λ2=0.001/h、λ*=0.000 5/h、μ =0.004/h代入式 (10) 得到結(jié)論,如表1所示。
表1 結(jié)論對(duì)比
其中,在本文結(jié)論中失效單元數(shù)為1時(shí)的概率計(jì)算為:
所以本文結(jié)論與文獻(xiàn) [7]一致,驗(yàn)證了本文所提出方法的正確性。
4.2.1 海水系統(tǒng)的多狀態(tài)模型
海水系統(tǒng)的用途是向動(dòng)力設(shè)備和用水用戶提供足夠的冷卻海水保證它們的正常工作。本文以海水系統(tǒng)為例,建立多狀態(tài)系統(tǒng)的計(jì)算模型,如圖2所示。其中,1、2、3、4、5分別代表5臺(tái)海水泵,1、2為共因失效組1(CCG1),3、4為共因失效組2(CCG2),5號(hào)泵為軸系海水泵,其與前兩組海水泵互為備用。
由于泵1、2、泵3、4以及泵5分別在3個(gè)不同艙室之中,且由于2號(hào)海水泵在儲(chǔ)備狀態(tài)時(shí)連接普通電源,工作時(shí)連接可靠電源,4號(hào)海水泵連接可靠電源,其余海水泵連接普通電源,導(dǎo)致各泵的獨(dú)立失效率不同;由于泵的型號(hào)相同,所以各泵的修復(fù)率相同。設(shè)λi為各泵的獨(dú)立失效率,μ為修復(fù)率。不同艙室的整體工作環(huán)境不同,所以不同艙室海水泵的共因失效率也不相同,、分別為共因失效組1、2的共因失效率。根據(jù)設(shè)計(jì)值,相應(yīng)數(shù)據(jù)如表2所示。
圖2 海水系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
表2 可靠性參數(shù)
4.2.2 海水系統(tǒng)可靠性分析
1)穩(wěn)態(tài)分析。由于每個(gè)海水泵只存在工作和失效2種狀態(tài),海水泵的額定流量為250 t/h,所以gi={250,0}。對(duì)于共因失效組1而言,把表2中數(shù)據(jù)帶入式 (10),再聯(lián)合式 (3)、(5),得到共因失效組1(子系統(tǒng)1)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:
同理,得到共因失效組2(子系統(tǒng)2)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:
單元5(子系統(tǒng)3)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:
最后得到海水系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:
根據(jù)式 (9)得到海水系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)性能為:
在船舶的不同航行工況下,對(duì)于海水系統(tǒng)的供水量要求不同:
(1)在工況1下,w=964.8 t/h,則 A(∞,w)=0.994 0;
(2)在工況2下,w=814.8 t/h,則 A(∞,w)=0.994 0;
(3)在工況3下,w=364.8 t/h,則 A(∞,w)=0.999 9;
(4)在工況4下,w=267.8 t/h,則 A(∞,w)=0.999 9。
2)瞬態(tài)分析。精確值的解法為,結(jié)合初始條件對(duì)式 (10)進(jìn)行Laplace-Stieltjes變換,再進(jìn)行Laplace-Stieltjes反變換可以解得各狀態(tài)的瞬態(tài)概率表達(dá)式,即piSi(t)。結(jié)合式 (3)、(5)得到海水系統(tǒng)瞬態(tài)通用生成函數(shù)表達(dá)式UMSS(z,t)。
本文結(jié)合穩(wěn)態(tài)概率計(jì)算過程的數(shù)據(jù),利用Origin生成相應(yīng)圖形。以1 000<w<1 250為例,則:
根據(jù)上式可以得到系統(tǒng)單元獨(dú)立失效和考慮共因失效時(shí)的瞬態(tài)可用度A(t,w)和平均瞬態(tài)性能E(t),如圖3、圖4所示。
圖3 海水系統(tǒng)變工況下瞬態(tài)可用度對(duì)比
圖3 中,NO CCF1和CCF1分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí),系統(tǒng)性能輸出要求為500<w<750時(shí)的可靠性水平;NO CCF2和CCF2分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí),系統(tǒng)性能輸出要求為750<w<1 000時(shí)的可靠性水平;NOCCF3和CCF3分別代表單元獨(dú)立失效和共因失效時(shí),系統(tǒng)性能輸出要求為1 000<w<1 250時(shí)的可靠性水平。
根據(jù)圖3和4可知:①若不考慮共因失效,將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果比實(shí)際情況偏高;②海水系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)在系統(tǒng)開始運(yùn)行后,迅速收斂,根據(jù)瞬態(tài)指標(biāo)的變化規(guī)律,可以在性能要求變化時(shí),確定系統(tǒng)的檢修周期;③系統(tǒng)冗余度越高,可靠性越高,但是隨著冗余度的增加,對(duì)于系統(tǒng)可靠性的提升效果逐漸減小,可以根據(jù)此規(guī)律確定系統(tǒng)最合適的備件數(shù)量;④考慮共因失效時(shí),系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能穩(wěn)定值約為1 229 t/h,遠(yuǎn)大于最高需求性能964.8 t/h,說(shuō)明海水系統(tǒng)有很高的可用度。
圖4 海水系統(tǒng)平均瞬態(tài)性能對(duì)比
本文結(jié)合通用生成函數(shù)和Markov過程,對(duì)含有共因失效的多狀態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析,基于已有的非同型單元k/n(G)馬爾科夫系統(tǒng)可靠性分析方法改進(jìn)提出了一種新方法,用于相同單元具有不同失效率并且存在共因失效的情況。并且用實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證,保證方法的正確性。通過研究有以下結(jié)論。
1)本文結(jié)合通用生成函數(shù)與Markov過程的多狀態(tài)可靠性分析方法,解決了二態(tài)可靠性分析結(jié)果偏保守的問題,提高了可靠性分析的精確度。
2)共因失效將導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性水平下降,本文研究結(jié)果也證明了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行共因失效分析的必要性。
3)考慮共因失效改進(jìn)Markov方法,克服傳統(tǒng)可靠性研究只考慮獨(dú)立失效和只考慮單元失效率相同的局限性,使本文的狀態(tài)概率計(jì)算方法能夠應(yīng)用于存在共因失效的相同單元不同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中,同時(shí)由算例1的結(jié)果可以證明,此方法也可以運(yùn)用于相同單元具有相同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中,具有一定的通用性。
本文考慮了單元壽命和維修時(shí)間都服從指數(shù)分布的情況,然而在機(jī)械設(shè)備當(dāng)中,還存在非指數(shù)分布的情況。下一步工作將考慮單元壽命和維修時(shí)間服從非指數(shù)分布的情況。