一、選擇題

1.B

2.B

3.C

4.D 提示:如圖1,由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形,但它不是棱錐,A錯誤。如圖2,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐,B錯誤。

圖1

圖2

若六棱錐的所有棱都相等,則底面多邊形是正六邊形。但由幾何圖形知,若以正六邊形為底面,側(cè)棱長必然要大于底面邊長,C錯誤。

5.B

6.A

7.D 提示:因為AD與PB在底面內(nèi)的射影AB不垂直,所以PB⊥AD不成立；又平面PAB⊥平面PAE,所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,而平面PAD與平面PAE相交,所以直線BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°。

8.C 提示:設(shè)球心為Oˊ,如圖3所示,則OˊO=2,由正弦定理得,2|OC|2,|OC|=1。球半徑R=OOˊ2+OC2=,所以S球=4πR2=20π。

9.B 提示:從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,本題所求表面積為三棱錐四個面的面積之和,圖4為其直觀圖,由三視圖知其相關(guān)數(shù)據(jù)。利用垂直關(guān)系和三角形面×6=65,因此該幾何體的表面積為S=30+65。

圖3

圖4

10.B

11.D

12.A

13.C 提示:如圖5所示,平行六面體ABCDA1B1C1D1中與AB,CC1都共面的棱為BC,C1D1,DC,AA1,BB1,共5條。

圖5

圖6

14.C 提示:如圖6所示,因為點M不在B1C1上,所以由B1C1與點M可確定唯一平面B1C1M。設(shè)此平面與AA1的交點為N,則N為AA1的中點。在平面ABB1A1內(nèi),B1N與BA必相交,設(shè)交點為Q,則QM與B1C1一定不平行,所以QM與AB,B1C1都相交。由作法知,這樣的直線QM有且僅有一條,所以①真。因為AB∥A1B1,A1B1與B1C1相交確定一個平面A1B1C1D1,因為過點M作平面A1B1C1D1的垂線唯一,所以過點M與AB,B1C1都垂直的直線唯一,所以②真。過點M作ME∥DC,交CC1于點E,因為DC∥AB,所以ME∥AB,過點M作MF∥A1D1,交AA1于點F,因為A1D1∥B1C1,所以 MF∥B1C1,所以AB 與B1C1都與平面MEF平行,由作法知,這樣的平面MEF有且僅有一個,所以④真。

圖7

16.B

17.D 提示:以A為原點,AB,AD,AA1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖8所示的空間直角坐標系。設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,2),D1(0,1,2),所(0,1,2)。因為面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

圖8

18.A 提示:由條件知AC,BC,CC1兩兩垂直,以C為原點,CB,CA,CC1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖9所示,則B(1,0,0),A(0,3,0),B1(1,0,

圖9

19.B 提示:過球心O向棱l作垂面MNP,截面如圖10所示,由圓的性質(zhì)知MQ⊥OP,OM⊥MP,MQ==2,Rt△MQOr2=1,球O的表面積為S=4πr2=4π。

圖10

20.D

21.B 提示:設(shè)該四面體為S-ABC,D為AC邊的中點,如圖11。

(1)當SA=SC=AB=BC=1,AC=2,平面SAC⊥平面ABC時,VS-ABC最大,此

圖11

(2)當AB=BC=CA=SA=1,SC=2,平面SAC⊥平面ABC時,VS-ABC最大,此,故此時滿足的四面體有2個,這兩個四面體中SB=3或1。

綜合(1)(2)知滿足題意的四面體有3個。

22.C

23.B

24.B 提示:如圖12所示,以正方形ABCD的中心O為原點,與邊BC,CD垂直的直線分別為x軸,y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標系。由條件知C(1,1,0),D(-1,1,0),P(0,0,3),所以設(shè)n=(x,y,z),則n·=0,所以x+y=0,-x=0,所以x=y=0,取n=(0,0,1)。 又所以

圖12

圖13

25.B 提示:以C為坐標原點,CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖13所示的空間直角坐標系。設(shè)CA=CB=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),所以=(0,-a,1)。因為點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,所以平面 ABD,所以=0,(2,-2,2)。因為平 面 ABD,所以為平面ABD的一個法向量。因為cos〈以A1B與平面ABD所成的角的余弦值為

26.C

27.C

28.C

二、填空題

30.9 提示:如圖14所示,設(shè)圓臺的母線長為l,則由相似,得l=9(cm)。

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

36.6 提示:如圖20,過點Cˊ作CˊD∥AˊBˊ,交yˊ軸于點D,作CˊE∥yˊ軸,交xˊ軸于點E。因為正△ABC的邊長為2,所以DCˊ=AˊE=EBˊ=1,DAˊ=CˊE=。因為∠AˊDCˊ=135°,所以CˊAˊ2=DAˊ2+CˊD2-2DAˊ·CˊD·cos135°=45°),所以CˊAˊ2-CˊBˊ2=6。

圖20

37.4

圖21

40.2+22 提示:由題意知,正視圖就是如圖22所示的截面PEF,其中E,F分別是AD,BC的中點,連接AO,易得AO=2,而PA=3,于是解得PO=1,所以PE=2,故其正視圖的周長為2+22。

圖22

圖23

圖24

設(shè)面AEC1F的法向量為n=(1,λ,μ),則有n·=0,n·=0。

三、解答題

44.(1)如圖25所示,取BD的中點M,連接MC,FM。

因為F為BD1的中點,所

圖25

又CM⊥平面DBD1,所以EF⊥平面DBD1。因為BD1?面DBD1,所以EF⊥BD1,故EF為BD1和CC1的公垂線。

(2)連接ED1,有VE-DBD1=VD1-DBE,由(1)知EF⊥平面DBD1,設(shè)點D1到平面BDE的距離為d,則S△DBE·d=S△DBD1·EF。因為AA1=2,AB=1,所以BD=BE=ED=,故點D1到平面DBE的距離

45.存在點E,且E為AB的中點。

下面給出證明:

如圖26所示,取BB1的中點F,連接DF,則DF∥B1C1。因為AB的中點為E,連接EF,則EF∥AB1。因為B1C1與AB1是相交直線,所以平面DEF∥平面AB1C1。而DE?平面DEF,所以DE∥平面AB1C1。

圖26

46.(1)如圖27所示,取BC的中點G,連接AG,EG,因為E是B1C的中點,所以

圖27

由直棱柱知,AA1∥BB1,而D是AA1的中點,所以EGAD,所以四邊形EGAD是平行四邊形,所以ED∥AG。又DE?平面ABC,AG?平面ABC,所以DE∥平面ABC。

(2)因為AD∥BB1,所以AD∥平面BCE,所以VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE=VE-ABC,由(1)知,DE∥平面ABC,所以VE-ABC=4=12。

47.(1)由題意可知,在四棱錐B-ACDE中,平面ABC⊥平面ACDE,AB⊥AC,所以AB⊥平面ACDE。

又AC=AB=AE=2,DE=4,則四棱錐B-ACDE的體積為

(3)因為AC=AB,N是BC的中點,所以AN⊥BC。在直三棱柱中,平面ABC⊥平面BCD,所以AN⊥平面BCD。由(2)知AN∥EM,EM⊥平面BCD,又EM?平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCD。

48.(1)當E為BC的中點時,EF與平面PAC平行。

在△PBC中,E,F分別為BC,PB的中點,所以EF∥PC。又EF?平面PAC,而PC?平面PAC,所以EF∥平面PAC。

(2)因為PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以EB⊥PA。又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP?平面PAB,所以EB⊥平面PAB。又AF?平面PAB,所以AF⊥BE。又PA=PB=1,F是PB的中點,所以AF⊥PB。又因為PB∩BE=B,PB,BE?PBE,所以AF⊥平面PBE。因為PE?平面PBE,所以AF⊥PE。

(3)過點A作AG⊥DE于點G,連接PG,因為DE⊥PA,則DE⊥平面PAG,故∠PGA是二面角P-DE-A的二面角,所以∠PGA=45°。

因為PD與平面ABCD所成角是30°,所以∠PDA=30°,所以 AD=3,PA=AB=1。所以AG=1,DG=2。

設(shè)BE=x,則CE=3-x。

在Rt△DCE中,(2+x)2=(3-x)2+12,得BE=x=3-2。

圖28

又因為PD∥A1A,所以,所 以 ∠PED=60°,即 二 面 角P-AC-B的大小為60°。

50.(1)因為∠A1C1B1=∠ACB=90°,所以B1C1⊥CC1,所以B1C1⊥平面ACC1,所以B1C1⊥CD。由D為AA1的中點可知,DC=DC1=2,所以DC2+即CD⊥DC1。所以CD⊥平面B1C1D。又CD?平面B1C1D,所以平面B1CD⊥平面B1C1D。

(2)由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1,在平面ACC1A1內(nèi)過點C1作C1E⊥CD,交CD或其延長線于點E,連接EB1,由三垂線定理可知∠B1EC1為二面角B1-DC-C1的平面角。

所以∠B1EC1=60°,由B1C1=2可知。因為△DC1C的面積為1,所以=1,解得x=2。

圖29

51.(1)如圖29所示,連接AC,AN,BN。因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC。在Rt△PAC中,N為PC的中點,所以AN=PC。因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC。又BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB。從而在Rt△PBC中,BN為斜邊PC上的中線,所以BN=PC,所以AN=BN,所以△ABN為等腰三角形。又M為底邊AB的中點,所以MN⊥AB。又因為AB∥CD,所以MN⊥CD。

(2)如圖29所示,連接PM,CM,因為∠PDA=45°,PA⊥AD,所以AP=AD。因為四邊形ABCD是矩形,所以AD=BC,所以PA=BC。又因為M為AB的中點,所以AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90°,所以PM=CM。又因為N為PC的中點,所以MN⊥PC。由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD。

52.(1)如圖30所示,連接BM,DM。在等腰梯形ABCD中,因為AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E 是BC的中點,所以△ABE與△ADE都是等邊三角形,所以BM⊥AE,DM⊥AE。又BM∩DM=M,所以AE⊥平面BDM。因為BD?平面BDM,所以AE⊥BD。

(2)連接CM交EF于點N,連接PN。因為ME∥FC,且ME=FC,所以四邊形MECF是平行四邊形,所以N是線段CM的中點。因為P是線段BC的中點,所以PN∥BM。由題意可知,BM⊥平面AECD,所以PN⊥平面AECD。因為PN?平面PEF,所以平面PEF⊥平面AECD。

(3)由(2)可得,PN為三棱錐P-CDE的高,因為AB=2,所以BM=3,所以

圖30

53.(1)如圖31所示,連接A1B,AB1,交于點E,則E為A1B的中點,因為D為A1C1的中點,所以DE為△A1BC1的中位線,所以B1C∥DE。又DE?平面AB1D,BC1?平面AB1D,所以BC1∥平面AB1D。

圖31

(2)過點D作DF⊥A1B1于點F,由正三棱柱的性質(zhì)可知,DF⊥平面ABB1A1,AB1?平面ABB1A1,故DF⊥AB1,連接EF,DE,在等邊三角形A1B1C1中,B1D=a,在 Rt△AA1D 中,AD=a,所以AD=B1D,所以DE⊥AB1。又DE∩DF=D,所以AB1⊥平面DFE。又FE?平面DFE,故EF⊥AB1,則∠DEF為二面角A1-AB1-D的平面角。又,因為△B1FE∽,故所求二面角A1-AB1-D的大小為