陳靜 陳友軍

摘要：提出基于改進(jìn)歐拉公式優(yōu)化非等間距GM（1，1）模型的新方法，在已有的非等間距GM（1，1）模型轉(zhuǎn)換為等間距GM（1，1）模型的方法基礎(chǔ)上，根據(jù)白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)滿足非齊次指數(shù)形式，結(jié)合改進(jìn)歐拉公式推導(dǎo)出模型的參數(shù)表達(dá)式，直接建立一個(gè)新的優(yōu)化模型.該方法不僅適用于非等間距GM（1，1）模型建模，也適用于等間距GM（1，1）模型建模.應(yīng)用實(shí)例表明文章所提方法在預(yù)測(cè)精度和實(shí)用性上有顯著提高.

關(guān)鍵詞：非等間距； 模型優(yōu)化； 參數(shù)； 改進(jìn)歐拉公式

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）32-0187-04

Abstract： A new method for optimizing thenon-equidistantGM（1，1） model based on the improved Euler formula is proposed.The method basis for transforming the existing non-equidistant GM（1，1） model into an equidistant GM（1，1） model is proposed.According to the time response function of the whitening equation， the non-homogeneous exponential form is satisfied， and the improved Euler formula is used to derive the parameter expression of the model， and a new optimization model is directly established. This method is not only applicable to non-equidistant GM （1，1） model but also applicable to equidistant GM （1，1） model modeling. The application examples show that the proposed method has significantly improved prediction accuracy and practicability.

Key words：non-equidistant；model optimization；parameter；improved Euler formula

灰色系統(tǒng)理論中的GM（1，1）模型作為理論的基礎(chǔ)與核心，因其“小樣本”“貧信息”建模過(guò)程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)和工程技術(shù)等領(lǐng)域[1]?；疑到y(tǒng)模型大部分是在等間距序列基礎(chǔ)上建立的，但是在實(shí)際生活中常常會(huì)遇到非等間距序列的數(shù)據(jù)，因此，提高非等間距GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度及其適應(yīng)性，具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。模型的精度是建模的關(guān)鍵，對(duì)于非等間距GM（1，1）模型的改進(jìn)問(wèn)題，許多學(xué)者提出了很多方法來(lái)提高建模精度，例如重構(gòu)背景值[2-8][17]、優(yōu)化初始條件[9-10]、優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)[11]、對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[12]、優(yōu)化灰色微分方程[13]等。文獻(xiàn)[2-3]與文獻(xiàn)[8]是利用非等間距GM（1，1）模型的1-AGO滿足或近似滿足指數(shù)函數(shù)規(guī)律優(yōu)化其背景值，文獻(xiàn)[4]在非等間距的序列中提出用積分重構(gòu)GM（1，1）模型的背景值，文獻(xiàn)[5-7]通過(guò)用[x1t]在區(qū)間[ki，ki+1]上的中點(diǎn)值和數(shù)值計(jì)算中的插值公式以及對(duì)1-AGO進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算后再用背景值替換中心值的方法重構(gòu)背景值；文獻(xiàn)[9-10]分別采用原始數(shù)據(jù)的第n個(gè)分量作為灰色微分方程的初始條件和以非等間距一階累加生成序列各分量作為優(yōu)化的初始值來(lái)建立優(yōu)化模型；文獻(xiàn)[11]利用前向差商和后向差商的加權(quán)平均值代替灰導(dǎo)數(shù)；文獻(xiàn)[12]用歐拉法直接估計(jì)參數(shù)來(lái)優(yōu)化非等間距GM（1，1）模型。以上文獻(xiàn)的研究為灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)提供了許多有利途徑，但在模型的精度和實(shí)用性上仍然有很大的改進(jìn)空間。

本文在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)上，根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)滿足非齊次指數(shù)特征提出基于改進(jìn)歐拉公式的參數(shù)表達(dá)式進(jìn)而直接建立GM（1，1）模型，不僅減小了計(jì)算難度，同時(shí)不需要構(gòu)造背景值。簡(jiǎn)化了算法并且擴(kuò)大了該方法的適用范圍，可用于等間距和非等間距的建模。實(shí)例表明了本文所提方法的有效性。

1 灰色模型的建模機(jī)理

1.1 改進(jìn)非等間距GM（1，1）模型的建模機(jī)理[14]

從表4可以看出，使用本文所推導(dǎo)出的參數(shù)表達(dá)式建立等間距GM（1，1）模型，與文獻(xiàn)[17]的所建立的模型結(jié)果進(jìn)行比較，文獻(xiàn)[17]模擬精度的平均相對(duì)誤差為1.339%，本文方法的平均相對(duì)誤差為0.3157%，可見(jiàn)優(yōu)化模型的模擬精度得到顯著提高.

4 結(jié)束語(yǔ)

為了提高GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度，本文提出在已有方法將非等間距序列進(jìn)行轉(zhuǎn)換等間距序列的基礎(chǔ)上，結(jié)合GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的非齊次指數(shù)特征，用改進(jìn)歐拉公式推導(dǎo)參數(shù)[a，b]的表達(dá)式直接建模.應(yīng)用實(shí)例的結(jié)果證明了改進(jìn)后的模型無(wú)論是非等間距模型還是等間距模型，擬合精度均得到顯著提高，使得該方法在實(shí)際的應(yīng)用中具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】