黃雄

1 問題的緣起

去年10月份，筆者被抽調擔任某市中高級教師職稱晉級片斷教學的評委，同時承接該次片斷教學的學科命題任務，當天上午，按照主管部門的要求分別命好初、高中片斷教學課題后，還要命制一道學科專業(yè)的問答題，供所有參評教師在片斷教學結束后回答，考慮到參評教師是該市即將要被聘任中學一級教師或中學高級教師的群體，其中既有高中教師也有初中教師，所以，命制的題目必須既要承載考核高中教師的功能，又不為難初中教師，當然，我們更想籍此從一個側面檢測即將擔任中學一級或中學高級的數學教師的學科素養(yǎng)，連同命制片斷教學試題的時間在內，命題總時長只有半小時，而且所命題目要適合參評教師進行現場問答，經過一番斟酌，決定以“等式0.9 =1正確嗎？請說明理由”為題對參評教師進行考核.

2 問題的解答

當然，本問題還可以使用Dedekind分割及Cauchy序列等數學知識進行說理，于此不再贅述.

3 問題的反饋

當天上午，參加面試的數學教師總共38人（分三個小組），其中初中教師20人，高中教師18人，對該問題判斷正確的初中教師僅7人，判斷正確的高中教師10人，不難得出：認為“等式0.9 =1”正確的教師不足一半;其中，在判斷正確的17名教師中，能正確說明理由的教師總共8人，而且均使用理由1和理由2進行解釋;另外9名教師要么說不出所以然，要么表述為：無限接近1，因此可以認為兩者相等，值得注意的一個現象是：參加面試的教師中，有18人來自該市一級達標校，其中13人認為“等式”正確，其比例遠高于非一級達標校教師.

面試結束后，筆者與幾位面試教師進行簡短交流，從交流的信息來看，不少認為“等式”不正確的教師，大多表示自己在讀小學時，就有的深刻印象，總覺得0.9比1總小那么一點點，兩者不可能相等，同時表示，雖然大學期間學習過有關極限的數學知識，但在多年的教學工作中卻極少遇到， 早已淡忘，而那些判斷正確但又無法正確說理的教師表示：這個等式之所以正確，是因為大學時學習極限時留下的印象，該等式的正確性就像幾何學中的公理一樣理所當然，至于如何證明，平時就沒有思考過.

4 啟示

啟示1 中學數學教師的學科專業(yè)素養(yǎng)亟待提升 考慮到面試教師都至少受過本科教育，執(zhí)教多年，具備被聘中學高級或中學一級職稱的基本條件，筆者命制本題的初衷只是想考查面試教師的學科基本素養(yǎng)，并不想難為他們，原以為絕大部分教師至少都能判斷正確，但從面試教師的回答情況來看，與預期有較大出入，無獨有偶，前不久面試一位申請調入新單位、具有10年教齡的教師，在他完成人教版九年級數學《隨機事件與概率》片斷教學后，我們針對教材內容：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=m/n，提出以下三個問題：

問題1 是否存在：一次試驗中，有n種可能的結果，但它們發(fā)生的可能性不都相等，

問題2 事件A指的是隨機事件嗎？

問題3 在一次試驗中n可以無限嗎？

遺憾的是，這位教師三個問題全部回答錯誤，盡管無論是參加職稱晉級考核還是申請調動的面試，會給面試教師帶來隱性壓力，影響他們的正常發(fā)揮，但根植于內心的學科核心素養(yǎng)在很多情況下是可以自然顯現的，以上兩例從一個側面反映出：當前中學數學教師的學科專業(yè)素養(yǎng)確實堪憂，目前，各地為了提高教師的教育教學水平，不斷地舉行各級各類培訓，但大部分教師培訓，傳授的都是教學理念和方法，而學科知識本身反而受到冷落，人們對教學方法研究情有獨鐘：研究教學導入的藝術，研究指導探究的藝術……但唯獨忘了研究那些貌似簡單卻內涵深刻的數學知識.

實際上，“教什么”始終比“怎么教”重要，內容決定形式，先進理念首先關乎教學內容，從“教什么”的視角來看，數學教師教學水平的高低，首當其沖地體現在對教學內容的把握上，低水平的教師，只會照本宣科，看到什么就教給學生什么，只是知識的低級搬運工;高水平的教師，能透過現象看到本質，在教教材顯性知識的同時，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內容，這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，是數學的本質、過程、思想和結構等四個方面，為此，筆者建議在教師專業(yè)培訓時，一定要關注從以上四個方面提升教師的學科專業(yè)素養(yǎng).

啟示2 加強薄弱校教師的學科專業(yè)培訓更加必要

從面試結果統計的情況來看，一級達標校教師的表現比非一級達標校教師的表現來得好，這也反映了：越是好的學校，由于自身的教科研氛圍濃厚，學生素質高，教師的專業(yè)成長就更全面，對教材的把握也更加到位;越是薄弱校，由于自身的教科研氛圍不足，學生素質相對弱，教師鉆研教材的積極性也受影響，很多薄弱校長期以來，一直將無法提高學校的教育教學質量歸咎于生源質量低下，然而，客觀地說，教師自身的學科專業(yè)水平不高也是影響該校教學質量的重要因素之一.

我們欣喜地看到，目前從頂層設計層面，已經開始關注薄弱校教師的成長，在各地舉行的各級各類教師培訓、職稱評定、評優(yōu)評先等方面，都有專門的指標和項目向薄弱校傾斜，應該說，長期以來，薄弱校在多媒體等硬件配套設施方面存在先天不足，隨著國家對薄弱校軟硬件設施的改善，薄弱校教師要學習的東西很多，但如果通過各級各類培訓，僅僅提高了使用硬件的技術，對提升教師學科專業(yè)素養(yǎng)關注不夠，那么提高薄弱校的教學水平依然無法落到實處.

不難想象，如果不加強對薄弱校數學教師的學科專業(yè)培訓，經過若干年后，這些教師能夠保留解中、高考題的能力已經非常了不起了，如此陷入題海戰(zhàn)術的教師，要引導學生跳出題海，根本就是件天方夜潭的事，那么培養(yǎng)學生學習數學的興趣，激發(fā)學生學習數學的熱情，提高學生的數學核心素養(yǎng)，讓學生學到數學的本質將是一句空話，因此，加強薄弱校數學教師的學科專業(yè)培訓顯得更加必要.

啟示3 居高臨下提高教師學科素養(yǎng)

從面試結果統計的情況來看，高中教師判斷該問題的正確性比初中教師好，在說理環(huán)節(jié)，沒有人使用理由4（極限方法），大部分初中教師使用理由2（設元方式），有相當數量的高中教師采用：“0.9無限接近1，因此可以認為兩者相等”的方式說理，尤為遺憾的是：沒有一位高中教師使用理由3（無窮遞降等比數列的求和公式）說理，眾所周知，方程是初中數學教學的重要內容，極限知識在高中有所涉及，而無窮遞降等比數列的求和公式在現今高中數學教學中已不做要求，這表明：教師對教材的把握、對數學本質的理解，受本人長期執(zhí)教內容的影響頗深.

作為一名數學教師，如果要精準地把握數學教材，把教給學生的數學知識本質講透講明白，自身必須具備居高臨下的學科素養(yǎng)，正如前面所述案例中，倘若那位申請調動的教師對概率的古典化定義、統計定義、公理化定義了然于胸，要正確解答評委提出的三個問題就不困難了，在教學過程中，教師不能從學科角度高觀點把握新舊知識之間的聯系與區(qū)別，往往還容易導致教學失誤，使學生的學習誤入歧途，如不少教師在教學切線概念時，受到圓切線概念的影響，錯誤地將“曲線與直線相切”當作“曲線與直線只有一個公共點”的充要條件，其實，曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點，求曲線過某一點的切線方程，這一點未必是切點，有可能以另一點為切點的切線剛好過該點，同樣地，曲線與直線只有一個公共點未必就是相切，如：平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但此時該直線并不是雙曲線的切線，而要深刻地掌握切線概念必須從大學課程微積分的角度來理解，唯有這樣，才能避免相關概念的負遷移，可見，只有居高臨下地提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，才能有效避免本不該出現的教學失誤.

因此，只有具備居高臨下的學科素養(yǎng)、精準把握數學學科核心素養(yǎng)的教師，在具體的數學教學過程中，才能夠將數學知識的本質講清楚、教到位，真正將培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)落到實處，可見，提高教師學科素養(yǎng)，要有高站位，不能局限于自身長期執(zhí)教的教學內容，有必要從更高角度系統化、組織化地加深對數學知識本質的理解.

5 結語

弗賴登塔爾曾經說過：“為了真正的數學及其進步，普通的常識必須要系統化和組織化，如同以前一樣，普通常識的經驗被結合成為規(guī)律（比如加法的交換律），并且這些規(guī)律再次成為普通的常識，即較高層次的常識，作為更高層次數學的基礎——一個巨大的等級體系，是由于非凡的相互影響的力量來建立的.”

對一個教師來說：當教師明白數學知識的內在的知識特點，教師就明白在自己的講課過程中，哪里是講授之重點，才能夠做到教師在課堂上因勢利導地點撥，敢于讓學生在數學的學習過程中放手，相信學生，講清知識的來龍去脈，讓學生理解知識的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學生加深理解，更重要的是教師才能夠講清知識點之間的關系，課堂上，教師才能夠講前面的知識會為后面的知識奠基，講后面的知識時，與前面的知識相結合不斷進行反思和溫故.