董志俊 王英姿

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）.教師結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)“四基”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累并非一朝一夕，需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步形成的，教師如何讓學(xué)生積累真實(shí)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是一個(gè)值得思考的問題.

1 問題提出

在教育教學(xué)活動(dòng)中，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可謂無處不在，在筆者的教學(xué)過程中，遇到了以下一些問題：

1.1教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)有著深深的“個(gè)人烙印”，教師之間常有沖突

針對(duì)某個(gè)問題或某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重要性，教師之間有時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的看法，有的會(huì)說“這個(gè)知識(shí)點(diǎn)考試肯定不考的，不用講的”，而另有教師會(huì)說“這個(gè)知識(shí)點(diǎn)挺重要的，需要講給學(xué)生，”他們都是通過自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)得出的判斷，但為什么會(huì)有矛盾呢？教學(xué)經(jīng)驗(yàn)體現(xiàn)著教師區(qū)別于他人的、個(gè)性化的獨(dú)特教學(xué)風(fēng)格，正如歷史哲學(xué)家邁克爾-奧克肖特所言：“一個(gè)觀念，就其經(jīng)驗(yàn)中的完滿狀態(tài)而言，它是具有個(gè)體性的，個(gè)體性是經(jīng)驗(yàn)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)驗(yàn)所探尋的是個(gè)體性，它是對(duì)個(gè)體特征生成的不懈追求，”在教學(xué)過程中，不同的教師對(duì)教學(xué)問題會(huì)有不同的推論和假設(shè)，對(duì)教學(xué)過程會(huì)有不同的設(shè)計(jì)和處理，對(duì)教學(xué)行為會(huì)有不同的體會(huì)和感悟，那么到底應(yīng)該聽哪位教師的呢？

1.2 對(duì)問題的認(rèn)識(shí)及理解角度不同，師生之間的經(jīng)驗(yàn)常有沖突

問題1 求值：cos 24°cos 36° - cos 66°cos 54°，

問題引入作為常規(guī)教學(xué)環(huán)節(jié)的“餐前開胃菜”，希望調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如對(duì)于問題1，本意是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)兩角和（差）公式的應(yīng)用能力，但有學(xué)生是這樣做的：cos 24° COS 36° - cos 66° cos 54°= cos（30° - 6°）.cos（30°+ 6°） - cos（60°+ 6°） cos（60° - 6°），然后再分別展開化筒求值，筆者問他為什么要這樣做，學(xué)生說“我記得一些特殊的三角函數(shù)值，所以我就想把它轉(zhuǎn)化成有特殊值的式子解決，”學(xué)生的方法雖可做，但過程復(fù)雜且計(jì)算量大，在筆者看來本應(yīng)簡單的轉(zhuǎn)化，利用兩角和的余弦公式解決，但為什么學(xué)生沒有這樣想呢？可見，教師與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)有分歧，關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)不在同一個(gè)維度，增加了問題的復(fù)雜性，如何將講授的知識(shí)真正融入到學(xué)生自身的經(jīng)驗(yàn)中，并促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展是一個(gè)重要的課題.

2 理論基礎(chǔ)

杜威提出了“經(jīng)驗(yàn)即實(shí)驗(yàn)”的觀點(diǎn)，認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)“首先是實(shí)際的，不是認(rèn)知的——是行動(dòng)和承受行動(dòng)的后果，”同時(shí)認(rèn)識(shí)到行動(dòng)可以加以指導(dǎo)，吸收思維所提出的一切變?yōu)樽约旱膬?nèi)容，形成牢固的經(jīng)過檢驗(yàn)的知識(shí)，于是經(jīng)驗(yàn)不再是經(jīng)驗(yàn)性的，而變成實(shí)驗(yàn)性的了，教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)者要建構(gòu)的生活經(jīng)驗(yàn)主要包括三個(gè)方面，即認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)、行動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與精神經(jīng)驗(yàn)（即體驗(yàn)），每一種生活經(jīng)驗(yàn)的形成都能夠影響學(xué)習(xí)者的后續(xù)經(jīng)驗(yàn)過程，增加這些經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵與意義，甚至干預(yù)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)方式.

李文吳從教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)如何表示出發(fā)進(jìn)行了探索，認(rèn)為教學(xué)案例是教師教育經(jīng)驗(yàn)的外化方式，教育經(jīng)驗(yàn)敘事是呈現(xiàn)、表征教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的又一理論方式，王珩主張從教育故事中吸取教師的教育觀念、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，他認(rèn)為教育故事能呈現(xiàn)出教師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)形成的全貌，能給人充分地審視機(jī)會(huì)，劉成明教授則把教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看成是教師個(gè)體在具體的日常教育實(shí)踐中的經(jīng)歷與體驗(yàn)，以及由此而獲得的知識(shí)或技能.

3 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)獲取的途徑

教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是指教師在日常教育教學(xué)實(shí)踐中，獲得的知識(shí)或技能以及教育教學(xué)實(shí)施中所形成的規(guī)律性方法的總結(jié)，它是在一定的教學(xué)理論的指導(dǎo)下教師的長期教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的升華與結(jié)晶，教師在形成自己的一套教學(xué)理論的同時(shí)，也要與時(shí)俱進(jìn)，更新教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，才能更好地教育學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生積累真正有效的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而促使學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成.

經(jīng)驗(yàn)不同于科學(xué)，更不是放之四海而皆準(zhǔn)的真理，它具有極強(qiáng)的易錯(cuò)性，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)不全為真實(shí)性經(jīng)驗(yàn)，還有許多欺騙性經(jīng)驗(yàn)，教師單憑原始的教學(xué)并不能保證它的可靠性，因此教師還需要通過其他途徑獲取經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，主要有以下幾方面：①聆聽專家的講座，在當(dāng)前新高考課改的推動(dòng)下，各地市的學(xué)校加強(qiáng)了與權(quán)威部門專家的學(xué)術(shù)交流，使一線的教師在專家的指引下找到教學(xué)的理論依據(jù);②教育教學(xué)書籍的研讀，通過對(duì)文章的研讀，教師能借鑒他們?cè)谀骋徽n題上的成功經(jīng)驗(yàn)，間接地獲得實(shí)踐知識(shí);③學(xué)習(xí)新課標(biāo)及考綱要求，教師需清楚高中階段對(duì)學(xué)生的知識(shí)及能力的要求，合理安排三年教學(xué)計(jì)劃，對(duì)知識(shí)點(diǎn)難易度的把握，可以做到心中有數(shù);④同事之間的交流，通過不同班級(jí)學(xué)生出現(xiàn)的共性問題，商討教學(xué)對(duì)策，完善教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷提高教學(xué)水平;⑤歷年高考真題的剖析，挖掘試題考查的本源知識(shí)，把握考試方向，明確教學(xué)重難點(diǎn);⑥教師與學(xué)生的交流，教師了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，分析學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的困惑，制訂針對(duì)性的教學(xué)方案;⑦教師教學(xué)的自我反思，課堂教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，不斷反思，才能促使教學(xué)能力的提高.

4 引領(lǐng)學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)的策略

哈佛大學(xué)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家索洛夫斯基曾說“從教育規(guī)律來說，哈佛大學(xué)成功的一個(gè)至關(guān)重要的因素，就是聘請(qǐng)高素質(zhì)的教師，”的確，教師的質(zhì)量決定著學(xué)生的質(zhì)量，這就是所謂的“名師出高徒”的道理， “高徒”是有真材實(shí)學(xué)的，那么對(duì)于高中學(xué)生，在學(xué)習(xí)中應(yīng)該具有“真經(jīng)驗(yàn)”，“真經(jīng)驗(yàn)”是學(xué)生基于“原生態(tài)”思維的經(jīng)驗(yàn)，其表現(xiàn)為對(duì)問題的解決方案是自然的，是可遷移的，是不斷優(yōu)化和更新的思維活動(dòng)，教師應(yīng)該如何引領(lǐng)學(xué)生獲得真經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

4.1 了解學(xué)生學(xué)習(xí)水平，探究學(xué)生“原生態(tài)”思維

“原生態(tài)”思維是指基于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)某個(gè)問題產(chǎn)生最原始的想法，能聯(lián)想到解決問題的某種嘗試性的做法，這種嘗試性的結(jié)果可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的.

問題2若x，y∈R+，x+ y+l=xy，求x+2y的最小值，

學(xué)生1 利用基本不等式求最值，從條件和設(shè)問上觀察是最容易想到的，用了兩次不等式，但等號(hào)取到的條件不能同時(shí)成立，其解法是錯(cuò)誤的，體現(xiàn)出學(xué)生1對(duì)這個(gè)模塊的知識(shí)體系掌握的不完整，有待進(jìn)一步完善，有必要進(jìn)行針對(duì)性強(qiáng)化練習(xí)，以加深理解，學(xué)生2用了判別式法，這是一種通性通法，可以推廣為更一般的問題，學(xué)生3的解法過程雖然較繁瑣，但還是算出了答案，事實(shí)上，若把問題2改為“x，y∈R+，x+y=xy，求x+2y的最小值”，則利用學(xué)生3的解題方法，即“乘1法”會(huì)更簡單，顯然，學(xué)生3已經(jīng)有改編問題解決策略的原始經(jīng)驗(yàn)積累，因此，教師通過夯實(shí)學(xué)生基本的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步優(yōu)化打開了空間.

學(xué)生思維的發(fā)展是在現(xiàn)有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上不斷地學(xué)習(xí)新的經(jīng)驗(yàn)，而每一個(gè)學(xué)生的現(xiàn)在經(jīng)驗(yàn)總是包含著過去經(jīng)驗(yàn)，因此，教師在開始新的教學(xué)活動(dòng)之前，還可以通過交談、問卷調(diào)查等方式了解學(xué)生

教師可以對(duì)學(xué)生的作業(yè)情況和課堂的一些教學(xué)片斷進(jìn)行記錄，在記錄時(shí)，教師可以利用文本整理，還可以拍照記錄，并且可以錄入學(xué)生自我反思的結(jié)論，如對(duì)問題3的教學(xué)片斷，問題3解決的關(guān)鍵是求c_n的最大值，多數(shù)學(xué)生傾向前兩種方法，對(duì)于第三種方法，學(xué)生雖易入手，但計(jì)算過程較復(fù)雜，做不完整，問題在于2^x的導(dǎo)數(shù)難以處理，教師把這些作為教學(xué)反思的資源，挖掘源于學(xué)生自然的想法，可以更好地了解學(xué)生的思維習(xí)慣，重視學(xué)生的體驗(yàn)過程，為通性通法的落實(shí)探索一條捷徑.

美國心理學(xué)家波斯納（G.J.Posner）指出：“沒有反思的經(jīng)驗(yàn)是狹隘的經(jīng)驗(yàn)，充其量只能形成膚淺的知識(shí)，”教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的反思是教師個(gè)人不斷地重新審視和評(píng)價(jià)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)，在關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，教師自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)也得到提升，教師還可以通過撰寫教后記、教學(xué)日志、教學(xué)隨筆等方式，將自己的點(diǎn)滴經(jīng)歷與體會(huì)以文字的形式將教學(xué)經(jīng)驗(yàn)呈現(xiàn)出來.

4.3 變式使學(xué)生思維螺旋上升，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

變式訓(xùn)練為學(xué)生提供更加廣泛的想象空間，使學(xué)生思維更具廣闊性，如以下問題4中的變式1及變式2，考查了學(xué)生對(duì)幾何動(dòng)態(tài)問題的解決能力，其中變式2主要考查學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力，由于空間想象是抽象的思維過程，學(xué)生的想象要從二維平面過渡到三維空間難度較大，教師在教學(xué)過程中應(yīng)逐步引導(dǎo)，使學(xué)生有效積累解決此類問題的一些策略.

問題4等腰Rt△BC的直角邊的兩端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，若|AB|=2，則點(diǎn)C到原點(diǎn)0的距離的最大值為____.

變式1 等邊三角形ABC的邊長為2，兩頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，求點(diǎn)C到原點(diǎn)0的距離的最大值為____.

變式2 棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D在空間直角坐標(biāo)系中移動(dòng)，并保持點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，則點(diǎn)C到原點(diǎn)0的最遠(yuǎn)距離為____.

問題4 中學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是通過坐標(biāo)用代數(shù)的方法研究幾何問題，教師應(yīng)適時(shí)地進(jìn)行對(duì)問題的改編，變式1運(yùn)用類似問題4的想法引入坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算量大，比較難解決，這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考解題途徑，在思維受阻時(shí)能及時(shí)自我調(diào)節(jié)，改變思考路線，修訂原方案，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，若直接考慮變式1的動(dòng)態(tài)問題比較繁瑣，聯(lián)想到物體運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，變式1的問題可以轉(zhuǎn)化為讓等邊三角形不動(dòng)，使坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則原點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)軌跡是以邊長為直徑的圓，原問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)C到圓上一動(dòng)點(diǎn)距離的最大值問題，從變式1到變式2的解決，是由二維平面到三維空間的思維轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，變式2根據(jù)A，B，0三點(diǎn)位置關(guān)系，始終有OA⊥OB，可以判斷點(diǎn)0在以AB為直徑的球面上（圖1），變式2中把正四面體ABCD放入正方體中，可以把問題轉(zhuǎn)化為一點(diǎn)到球面上點(diǎn)的最值問題，當(dāng)OC過球心時(shí)距離最大，這與變式1的解題思想是一致的，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到遷移，觸類旁通，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

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