卜凡敏 黃曉學(xué)

我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》明確指出：“在學(xué)習數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，”[1]函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用，函數(shù)也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，本文通過對函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計，來闡述如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實到基礎(chǔ)教育的主陣地——課堂教學(xué).

1 教學(xué)過程設(shè)計

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境播放嫦娥一號月球探測衛(wèi)星成功發(fā)射的視頻（圖略）.

教師：衛(wèi)星在發(fā)射的過程中，我們關(guān)注的是衛(wèi)星與地面的距離隨時間的變化，其實早在十六世紀，物體運動的研究已成為自然科學(xué)的中心問題，數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、思想家都強調(diào)用數(shù)學(xué)的方法和思想來研究事物或現(xiàn)象的變化規(guī)律，今天我們就來探討如何用數(shù)學(xué)的眼光描述運動變化量之間的依賴關(guān)系. 設(shè)計意圖正如弗賴登塔爾所說：數(shù)學(xué)化應(yīng)從“原始的現(xiàn)實開始”，而非接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實，通過實際情境引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究的欲望，概括出蘊涵于問題中變量之間的依賴關(guān)系，從而初步抽象出所要研究的數(shù)學(xué)對象即函數(shù)概念.

1.2 喚醒經(jīng)驗，產(chǎn)生認知沖突

問題1 請同學(xué)們回憶初中函數(shù)概念是如何定義的？初中我們學(xué)過哪些函數(shù)？

設(shè)計意圖建構(gòu)主義理論認為，學(xué)習是學(xué)習者基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、建構(gòu)理解的過程，通過回顧初中函數(shù)概念的學(xué)習，激活學(xué)生原有知識，使“熟悉”的函數(shù)成為新知識的“生長點”，推動學(xué)生思維的參與.

問題2 請同學(xué)們思考“y=0”是不是函數(shù)？并說出判斷的理由，

學(xué)生1：“y=0“不是函數(shù)，因為y與x沒有關(guān)系，y不隨x的變化而變化，所以它不是函數(shù)，

教師：我們能不能把“y=0”寫成含有y和x的形式呢？

學(xué)生2：“y=0”可以改寫成“y=O×x”的形式，對于x取任意值，y都等于0.

教師總結(jié)：無論x怎樣變化，y都是“以不變應(yīng)萬變”，這里的“應(yīng)”我們可以理解為“對應(yīng)”的意思，也就是說對于x的每一個值，y都有唯一確定的值“0”和它對應(yīng)，今天，我們就從“對應(yīng)”這個新的視角來探究函數(shù)概念.

設(shè)計意圖 通過設(shè)置有思考力度的數(shù)學(xué)問題，引起學(xué)生的思維沖突，產(chǎn)生認知失調(diào)，從而打開思維的閘門，深入挖掘函數(shù)概念的本質(zhì)，在教師的引導(dǎo)下，“順理成章”地抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性與核心部分即“對應(yīng)”，使教學(xué)活動的推進與學(xué)生認知活動的發(fā)展產(chǎn)生“共振”.

1.3 師生交流，感悟?qū)?yīng)關(guān)系

用幾何畫板演示課本第15頁的3個問題（人教A版高中必修1）.讓學(xué)生推斷“對應(yīng)關(guān)系”，判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系？并嘗試用集合語言來刻畫函數(shù).

設(shè)計意圖教師利用《幾何畫板》創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)運動與變化的問題情境，學(xué)生直觀的感受到函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生初步建立對“對應(yīng)關(guān)系”的認識，并啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生用集合和對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力，在師生交流中，促進學(xué)生思維參與，形成和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的嚴謹性.

1.4 自主探索，發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念本質(zhì)屬性

問題3小組討論：分析、歸納以上3個實例，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么不同特點和相同點嗎？

學(xué)生3：不同點：三個實例的對應(yīng)關(guān)系不同，實例1用解析式來刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，實例2用圖象刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，實例3用圖表刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系，相同點：都有兩個非空集合和一個對應(yīng)關(guān)系.

教師補充：三個實例中都是數(shù)到數(shù)的對應(yīng)，所以函數(shù)有兩個非空數(shù)集，而且兩個非空數(shù)集間有一個確定的對應(yīng)關(guān)系，至于用什么方法（解析式、圖象、表格）建立對應(yīng)是完全不重要的.

教師追問：y與x的這種“對應(yīng)關(guān)系”與前面提到的“依賴關(guān)系”含義一致嗎？

設(shè)計意圖 函數(shù)概念的獲得是一系列弱抽象的過程，將初中數(shù)學(xué)教材中的“變量說”進一步抽象為高中數(shù)學(xué)教材中的“對應(yīng)說”，把更加抽象的“對應(yīng)說”與現(xiàn)實情境中的事物、現(xiàn)象和抽象層次較低的“變量說”聯(lián)系在一起，逐步“去情境化”，凸顯本質(zhì)屬性，最終脫離較低層次的“變量說”的支持，發(fā)展為更為一般的“對應(yīng)說”，讓學(xué)生意識到函數(shù)作為“依賴關(guān)系”的描述和作為“對應(yīng)關(guān)系”的描述本質(zhì)是一致的，是從不同的側(cè)面來認識函數(shù)概念的[2].

1.5 巧用類比，引入函數(shù)符號

問題4初中我們學(xué)過很多運算符號，你能回憶起哪些呢？

學(xué)生4：算術(shù)平方根符號;絕對值符號Ⅱ正弦符號sin;余弦符號cos等.

教師板書：算術(shù)平方根符號√：b→√b;絕對值符號II：6一lbl;正弦符號sin：B→ sinB;余弦符號cos：B → cosB.

教師追問：類比以前學(xué)過的運算符號，我們是不是可以把3種“對應(yīng)”類型（解析式、圖象、表格）用一個數(shù)學(xué)符號統(tǒng)一表示成對應(yīng)關(guān)系？

師生活動：教師在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上引入對應(yīng)關(guān)系f并板書：f：x→y;A→ B.（f也可以用g，h等表示）.讓學(xué)生交流討論對“對應(yīng)關(guān)系f”的含義或作用的理解，并嘗試用數(shù)學(xué)符號語言來更加直觀、簡潔的表達數(shù)集A中變量x與數(shù)集B中變量y之間的“對應(yīng)關(guān)系”，

師生總結(jié)：對應(yīng)關(guān)系的含義，簡單地說就是，對變量x施加一個對應(yīng)關(guān)系后得到變量y，對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x（在黑板上寫下x），按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f（在黑板上寫出“f”，并用括號將x括起來），得到數(shù)集B中唯一的y值（在黑板上已經(jīng)寫下的“f （x）”前寫出“y=”），從而寫出等式y(tǒng)=f（x），也就是說初中學(xué)習的y與f （x）本質(zhì)是一樣的，都表示自變量x所對應(yīng)的函數(shù)值，在師生總結(jié)的基礎(chǔ)上教師給出課本上對函數(shù)概念的完整敘述.

教師追問：那么你能不能準確地判斷出問題2中的“y=0”是不是函數(shù)？

設(shè)計意圖 如果不能準確地把敘述性語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，則談不上數(shù)學(xué)的應(yīng)用和具備良好的數(shù)學(xué)思維能力，由運算符號√、II、sin、cos類比引導(dǎo)學(xué)生得出對應(yīng)關(guān)系的符號f，進而給出“函數(shù)概念”的定義，使學(xué)生不但容易理解概念，而且學(xué)會如何將概念轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言，促進數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展.

1.6 借用比喻，深化對函數(shù)概念符號的理解

問題5 符號f（x）最初是由克雷羅和歐拉在1734年前后引進的，因其形象、直觀，一直沿用至今，而函數(shù)符號y=f（x）是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀引入的，他用符號f （x）替換少，即x→f（x）=y，有人說函數(shù)y=f（x），x∈A是個“產(chǎn)品加工廠”，談?wù)勀愕睦斫猓@里的f （x）是“f”和“x”的乘積嗎？

師生總結(jié)：“f”和“x”不是乘積關(guān)系，而表示x對應(yīng)的函數(shù)值，如f（x）= 3x2+1，當x=2時，函數(shù)值是13.簡便起見，我們分別把它寫成f（2） =13.一般地，如果x=a時，函數(shù)對應(yīng)的值是6，那么，就可以記為f（a）=b.

教師追問：你能求出f（a+1）、f（a）+1分別是多少嗎？

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)的邏輯推理和運算離不開數(shù)學(xué)符號語言，如果不能理解和把握符號語言的語義和句法，就不可能進行數(shù)學(xué)推理和運算，借用“產(chǎn)品加工廠”讓學(xué)生形成感性認知，然后再去偽存真，抽象出共同的本質(zhì)屬性，達到對函數(shù)抽象表達理性思維層次的認知，形成對函數(shù)概念的本質(zhì)特征和定義本身的特點與含義的理解.

1.7 概念變式，深度剖析函數(shù)概念

問題6 你認為函數(shù)的定義中哪些是關(guān)鍵詞呢？

學(xué)生5：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.

教師總結(jié)：函數(shù)是一個整體，它必須具備：兩個集合（定義域和值域），一個對應(yīng)（從定義域到值域的單值對應(yīng)），因此我們稱這3部分為函數(shù)的三要素，它最完整的表示是y=f（x），x∈A，因為居函數(shù)核心地位的是對應(yīng)關(guān)系，所以在不致混淆的情況下，可以簡化寫為f（x）或f.

師生活動：讓學(xué)生分析找出前面三個例題中函數(shù)的三要素，并判斷表示炮彈飛行高度h與時間f的函數(shù)x=y²與一般函數(shù)h=130t - 5t²是否相等，討論如果兩個函數(shù)相同，那么它們應(yīng)該滿足什么條件，

設(shè)計意圖 給出了概念的定義并不意味著概念就形成了，教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個不同的角度、不同層次和不同情形去審視概念，探究和感受概念內(nèi)涵的豐富性，讓學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求“變”的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

設(shè)計意圖 “數(shù)學(xué)是思維的體操”，函數(shù)概念的學(xué)習最終是為了獲得數(shù)學(xué)思維過程訓(xùn)練以及更廣泛的運用，從多角度、多層次、全方位地編制類型豐富的變式題目，學(xué)生經(jīng)歷艱苦的探索過程，從而讓學(xué)生學(xué)會思維，并能逐步學(xué)會想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3]，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

問題9課本第21頁的例5和例6（人教A版高中必修1）.

設(shè)計意圖 通過例5和例6來了解簡單的分段函數(shù)，并能夠解決簡單的實際問題.

1.9 小結(jié)反思，提煉深化概念

問題10 與初中學(xué)習的函數(shù)定義相比較，從知識、能力、思想等方面談?wù)勀銓瘮?shù)有什么新認識？

設(shè)計意圖 回顧獲得函數(shù)概念的整個艱苦歷程，發(fā)現(xiàn)這是對學(xué)生“學(xué)”的一種深化過程，通過問題引導(dǎo)學(xué)生從總體上理解和掌握知識，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、歸納總結(jié)的能力.

1.10 課后思考，鞏固運用概念

問題11 我們?yōu)榭坍嬅枋霈F(xiàn)實世界中運動事物或變化現(xiàn)象而構(gòu)建了函數(shù)模型y=f（x）.請你在現(xiàn)實生活中找出至少3個存在函數(shù)關(guān)系的實例（其中包括用圖象法、列表法、解析法表示的函數(shù)），并指出它們的三要素.

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁，使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界，詩人陸游有云，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生通過建立函數(shù)模型來描述、解釋實際問題，不但可以學(xué)會在實際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，并理解函數(shù)圖象的作用，還可以體驗成功解決問題所帶來的成就感，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感素養(yǎng).

2 教學(xué)設(shè)計反思

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是中學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶，其實質(zhì)是反映變量之間依賴關(guān)系的抽象模型，函數(shù)概念作為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決問題和表達思想中發(fā)揮重要作用，學(xué)生對函數(shù)概念的學(xué)習往往存在很多困難，本文在核心素養(yǎng)背景下構(gòu)建了該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計，通過教學(xué)反思凝煉出如下教學(xué)主張[4]：（1）教學(xué)目標設(shè)計要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、為宗旨，函數(shù)概念教學(xué)的目標是幫助學(xué)生理解基于對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，獲得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).（2）教學(xué)策略的設(shè)計要基于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)生學(xué)習的原有經(jīng)驗，一方面，問題是數(shù)學(xué)的心臟（哈爾莫斯），數(shù)學(xué)的本質(zhì)是解決問題、描述和理解結(jié)構(gòu)與范型，為了揭示函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過“問題驅(qū)動”的教學(xué)方式，以“問題來龍一問題實質(zhì)一問題去脈”為抓手設(shè)計教學(xué)流程，另一方面，新的學(xué)習科學(xué)認為，學(xué)習是原有經(jīng)驗的遷移，為了保持數(shù)學(xué)課堂的連貫性，在情境設(shè)計時要時刻關(guān)注學(xué)生過去、現(xiàn)在和未來的經(jīng)驗，并因材設(shè)計熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境，制造不同層次的認知沖突.（3）教學(xué)評價設(shè)計要通過分層問題測驗學(xué)生“四基四能”的獲得，促進核心素養(yǎng)的達成，通過這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[5].

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017

[2]賈丕珠.函數(shù)學(xué)習中的六個認知層次[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004，13（3）：79-81

[3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（3）： 1-5

[4]黃曉學(xué).良好的數(shù)學(xué)教育——基于教學(xué)視角[J].扛蘇師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016 （1）： 43-46

[5]米山國藏.毛正中，吳素華譯，數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986