何世明，劉 森，趙轉(zhuǎn)玲，湯 明，李 恒，鄧富元

(1.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室(西南石油大學(xué))，四川成都 610500；2.中石化中原石油工程有限公司鉆井工程技術(shù)研究院，河南濮陽 457001)

對于以碳酸鹽巖為代表的裂縫性儲層來說，由于其安全窗口極小，在鉆井過程中極易發(fā)生溢流或漏失。了解發(fā)生溢流時流體從地層流入井筒的過程是研究環(huán)空多相流的基礎(chǔ)，弄清不同條件下的溢流機理有助于更好地模擬環(huán)空流體運移情況。目前，關(guān)于裂縫性地層溢流機理的研究主要有試驗探究、理論模型分析和模擬分析等3種方式。張志等人[1-3]研制了可視化試驗裝置，通過室內(nèi)試驗，分析了負壓溢流、正壓漏失和重力置換溢流的發(fā)生條件；R.Majidi等人[4-6]建立了單條裂縫模型，模擬了井下溢流、漏失、重力置換情況；舒剛[7]則進一步用模擬軟件證實了重力置換溢流規(guī)律。但是，目前針對裂縫性地層欠平衡溢流機理的研究尚不充分，多數(shù)是沿用滲透性地層滲流理論。因此，有必要建立裂縫性地層欠平衡溢流模型，探究其溢流機理，并在此基礎(chǔ)上分析天然條件下裂縫閉合對溢流規(guī)律的影響。為此，筆者建立了考慮裂縫閉合情況的單條裂縫欠平衡溢流侵入動態(tài)模型，采用有限差分法對其進行了求解，分析了影響因素及影響規(guī)律，以期為建立更加完善的裂縫性地層溢流、漏失模型提供依據(jù)。

1 模型的建立

1.1 裂縫微觀閉合模型

假設(shè)條件：1)裂縫為徑向單條裂縫；2)裂縫面微凸體受壓滿足赫茲彈性接觸定律；3)各方位水平地應(yīng)力相等。

地層條件下，裂縫內(nèi)壓力滿足有效應(yīng)力定理[8]：

σn=σ-pp

(1)

式中：σn為裂縫有效應(yīng)力(由微凸體承擔)，MPa；σ為作用于裂縫面的正應(yīng)力，MPa；pp為裂縫內(nèi)流體壓力，MPa。

考慮裂縫傾角、水平應(yīng)力和垂向應(yīng)力[9]，式(1)可改寫為：

式中：ρm為上覆巖層密度，kg/m3；H為裂縫所在深度，m；ν為巖石泊松比；θ為裂縫傾角，(°)。

采用B&S模型描述裂縫閉合[10]，裂縫上下兩面皆為微凸體，粗糙平面高度隨機分布，將上下兩個粗糙平面合成為一個粗糙平面與一個光滑平面(見圖1，圖1中：z為復(fù)合接觸面上的微凸體高度，mm；z1，z2分別為原始接觸面兩面上微凸體高度，mm)，認為接觸發(fā)生在合成表面與光滑平面之間。微凸體為半球體形狀，滿足赫茲彈性接觸理論，如圖2所示(圖2中:R為微凸體期望半徑，mm；Δh為法向變形量，mm；b0為裂縫初始開度，mm；δ為裂縫閉合量，mm)。

根據(jù)赫茲彈性接觸理論[11]，裂縫有效應(yīng)力與裂縫閉合量之間的關(guān)系為：

圖1 B&S模型復(fù)合接觸示意Fig.1 Schematic of composite contact in B&S model

圖2 赫茲彈性接觸示意Fig.2 Schematic of Hertz elastic contact

式中：αd為微凸體密度，mm-2；Ψ為剪切應(yīng)力校正因子；E′為巖石有效彈性模量，GPa；φ為裂縫面微凸體高度分布函數(shù)。

假設(shè)裂縫上下表面巖石性質(zhì)相同，裂縫面微凸體高度分布一般滿足正態(tài)分布[12]，則：

(4)

(5)

1.2 裂縫氣體流動模型

假設(shè)條件：1)徑向平板裂縫中心為井筒，裂縫屬于中—大裂縫；2)裂縫內(nèi)流體僅為天然氣，裂縫空間封閉，無外界氣源供給，也不考慮基質(zhì)系統(tǒng)向裂縫供氣；3)氣體流動滿足高速非達西流動條件；4)溢流期間井底流動壓力恒定；5)不考慮氣體重力作用；6)氣體流動過程中溫度恒定。

基于以上假設(shè)，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，可得氣體運動連續(xù)性方程：

(6)

式中：r為徑向距離，m；v為氣體流動速率，m/s；ρ為氣體密度，kg/m3。

氣體為高速非達西流動，滿足二項式運動方程[13]，其運動方程為：

(7)

式中：p為縫內(nèi)氣體壓力，Pa；μ為天然氣黏度，Pa·s；K為裂縫等效滲透率(滿足立方定律)，m2；β為慣性系數(shù)，m-1。

慣性系數(shù)采用A.Firoozabadi等人[14]提出的經(jīng)驗公式計算：

(8)

由于存在裂縫面微凸體，氣體流動通道等效開度應(yīng)小于裂縫幾何開度，計算井底溢流總量時也會用到裂縫水力等效開度。等效開度采用R.W.Zimmerman等人[15]給出的公式計算：

(9)

式中：be為裂縫水力等效開度，mm；b為裂縫幾何開度，mm；c為裂縫接觸面積比(裂縫面相互接觸的面積與裂縫面總面積之比)。

1.3 考慮裂縫閉合情況的溢流侵入模型

將裂縫微觀閉合模型與裂縫氣體流動模型聯(lián)立，便得到考慮裂縫閉合情況的單條裂縫欠平衡溢流侵入模型。

2 模型的求解

考慮裂縫閉合條件的單條裂縫欠平衡溢流侵入模型是一維瞬態(tài)模型，難以獲得解析解。因此，采用有限差分法對其進行數(shù)值模擬。

2.1 差分方程

為方便求解，引入氣體壓縮系數(shù)：

(10)

式中：C為氣體壓縮系數(shù)，Pa-1。

將式(7)、式(10)代入式(6)，得到：

(11)

其中，ζ為二項式紊流修正系數(shù)，計算公式為：

(12)

將式(11)展開，可得：

(13)

式(13)的差分格式為：

(14)

式中：rw為井筒半徑，m。

井底流壓pwf是常數(shù)，可確定內(nèi)邊界條件。裂縫系統(tǒng)封閉，無外界氣體供給，因此外邊界條件為：

(15)

裂縫鉆開之前裂縫內(nèi)壓力處處相等且等于裂縫初始壓力pi，得出初始條件：

p(0,r)=pi

(16)

2.2 求解步驟

裂縫微觀閉合模型與裂縫氣體流動模型的結(jié)合點是裂縫內(nèi)氣體壓力。隨著縫內(nèi)氣體逐漸流出，裂縫壓力逐漸降低，裂縫有效應(yīng)力逐漸增大，導(dǎo)致微凸體被壓縮，裂縫漸漸閉合，開度減小，而裂縫閉合又會導(dǎo)致縫內(nèi)氣體被壓縮，壓力有所上升，形成耦合關(guān)系。在求解時，先算出該時刻的壓力分布，再聯(lián)立閉合方程，耦合處理后得到新的壓力分布，作為計算下一時刻壓力分布的已知條件。計算流程如圖3所示。

算出任意時刻任意空間的壓力、速率等參數(shù)后，對每一個時刻的溢流量進行求和運算。溢流總量計算公式為：

(17)

式中：Q為井底溢流總量，L；v0為氣體從地層流至井筒時的速率，m/s。

圖3 裂縫壓力分布計算流程Fig.3 Calculation flow of fracture pressure distribution

3 溢流規(guī)律及影響因素分析

利用上述所建模型，分析了考慮裂縫閉合和不考慮裂縫閉合兩種情況下的溢流規(guī)律及其影響因素。若文中未特別說明，以下參數(shù)的取值分別為：地層溫度373 K，裂縫深度4 000 m，井底流壓55 MPa，井筒半徑0.075 m，巖石等效彈性模量19 GPa，微凸體密度10個/mm2，微凸體半徑0.1 mm，裂縫傾角0°，上覆巖層密度2.5 g/cm3，巖石泊松比0.3，裂縫接觸面積比0.4。

3.1 不考慮裂縫閉合時的溢流規(guī)律及影響因素

與滲透性地層相比，氣體在裂縫性地層中的流動通道大，流動速率快，導(dǎo)致氣體在裂縫中的流動規(guī)律與滲透性地層不同。根據(jù)所建模型，分析了裂縫開度、裂縫半徑和壓差對溢流規(guī)律的影響。

3.1.1 裂縫開度的影響

假設(shè)裂縫壓力與井底流壓的差為2 MPa，裂縫半徑為20 m，分別分析裂縫開度為0.1，0.3，0.5，0.7和0.9 mm時，裂縫平均壓力及溢流量隨時間的變化規(guī)律，結(jié)果如圖4所示。

由圖4(a)可知，隨著溢流時間的增長，裂縫平均壓力下降速度先快后慢。隨著裂縫開度增大，曲線逐漸由近似線性關(guān)系發(fā)展到越來越下凹，說明裂縫壓力下降越來越快，原因是裂縫開度越大，等效滲透率越大，氣體流動的慣性系數(shù)越小，流動阻力越小，流動速率越快，裂縫壓力加速衰竭。

圖4 不考慮裂縫閉合時不同開度下裂縫平均壓力與溢流量變化規(guī)律Fig.4 Variation laws of fracture average pressure and overflow volume under different opening degrees without considering the closure

由圖4(b)可知，溢流量隨著時間的增長而下降，在最初的2 s內(nèi)溢流量迅速下降，之后呈近似線性關(guān)系降至約為0。隨著裂縫開度的線性增大，初始溢流量增加越來越快；隨著時間的增長，裂縫開度大的溢流量衰減較快，很快降至0。

圖4說明裂縫開度對溢流產(chǎn)生重要影響。隨著裂縫開度線性增長，氣體初始流動速率不斷加快，壓力衰減也加快，越來越呈現(xiàn)裂縫溢流的規(guī)律；裂縫開度越小，越來越呈現(xiàn)滲透性地層流動規(guī)律。模擬條件下，在裂縫開度為0.1 mm的裂縫中溢流衰竭時間約10 min，而在裂縫開度為0.9 mm裂縫中僅約52 s。由此可見，在鉆遇開度較小(微米級)的裂縫(組)地層時，氣體溢流持續(xù)時間較長，溢流速率較小，有利于地面發(fā)現(xiàn)后采取措施；但在鉆遇開度較大的裂縫、溶洞地層時，溢流將會在較短時間內(nèi)結(jié)束，速率較大，可能地面尚未發(fā)現(xiàn)時就已結(jié)束，無法采取相應(yīng)措施，并且隨著大量氣體向上運移、膨脹，可能產(chǎn)生嚴重的井涌甚至井噴，對井控安全造成巨大威脅。

3.1.2 裂縫半徑的影響

假設(shè)裂縫壓力與井底流壓的差為2 MPa，裂縫開度為0.8 mm，分別分析裂縫半徑為1，5，10，15，20，25和30 m時，裂縫平均壓力及溢流量隨時間的變化規(guī)律，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不考慮裂縫閉合時不同半徑下裂縫平均壓力與溢流量變化規(guī)律Fig.5 Variation laws of fracture average pressure and overflow volume under different radius without considering the closure

由圖5(a)可知，隨著溢流時間的增長，裂縫壓力下降的速度先快后慢。隨著裂縫半徑的增大，裂縫壓力衰減越來越慢，鉆遇半徑較小的裂縫時氣體釋放將在10 s內(nèi)結(jié)束。溢流量隨時間的變化規(guī)律與裂縫平均壓力隨時間的變化規(guī)律基本一致。

由圖5(b)可知，隨著裂縫半徑增大，初始溢流量恒定。裂縫半徑越大，裂縫內(nèi)儲存的氣體量越多，井筒附近的氣體流出后裂縫遠端的氣體能夠及時補給，整體的平均壓力衰減也更慢。

3.1.3 壓差的影響

假設(shè)裂縫開度為0.8 mm，裂縫半徑為20 m，分別模擬壓差為1，2，3，4和5 MPa時，裂縫平均壓力及溢流量隨時間的變化規(guī)律，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不考慮裂縫閉合時不同壓差下裂縫平均壓力與溢流量變化規(guī)律Fig.6 Variation laws of fracture average pressure and overflow volume under different pressure difference without considering the closure

由圖6(a)可知，裂縫平均壓力降低速度隨時間先快后慢，壓差越大，同一時間段內(nèi)壓力衰減的幅度越大，流出的氣體量越多；由圖6(b)可知，隨著壓差增大，溢流量逐漸增大，但增幅依次減小，滿足高速二項式滲流規(guī)律。

3.2 考慮裂縫閉合時的溢流規(guī)律及影響因素

在自然條件下，隨著氣體從裂縫流動至井筒，裂縫壓力減小，有效應(yīng)力增大，將會壓縮裂縫表面的微凸體，從而壓縮裂縫空間，導(dǎo)致溢流情況更加趨于惡劣。因此，分析了裂縫閉合時壓差、裂縫開度對溢流規(guī)律的影響。

3.2.1 壓差的影響

假設(shè)裂縫開度為0.8 mm，裂縫半徑為20 m，分別模擬壓差Δp為1，2和3 MPa條件下考慮/不考慮閉合情況時的裂縫平均壓力和溢流量變化規(guī)律，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同壓差下裂縫平均壓力與溢流量變化規(guī)律Fig.7 Variation laws of fracture average pressure and overflow volume under different pressure difference

從圖7(a)可以看出，考慮裂縫閉合與不考慮裂縫閉合兩種情況下，裂縫平均壓力具有相同的變化趨勢?？紤]裂縫閉合時裂縫壓力衰減較慢，28 s后壓差為2 MPa；壓差3 MPa時，考慮裂縫閉合時的壓力曲線甚至在不考慮裂縫閉合的壓力曲線之上。抽取壓差為2 MPa時的壓力曲線，研究不同溢流時間下裂縫壓力隨徑向距離的變化趨勢(見圖8)，可知在壓力衰竭之前，隨著時間的增長，同一位置下考慮/不考慮裂縫閉合的裂縫壓力差值越來越大。同時，壓差越大，同一時刻下考慮/不考慮裂縫閉合時的裂縫壓力差值也越大。

由圖7(b)可知，考慮裂縫閉合時溢流量的變化趨勢與裂縫壓力變化趨勢相似，但曲線斜率絕對值更小，說明溢流量衰減更慢，原因在于裂縫閉合后壓縮氣體，使得裂縫內(nèi)氣體壓力盡可能地保持在較高值，而壓力值較高意味著與井底流壓的差值始終較大，所以氣體流速較大，溢流量較大。經(jīng)計算，壓差為2 MPa時，考慮裂縫閉合時的溢流總量約為不考慮裂縫閉合時的1.7倍。

圖8 不同時刻裂縫壓力的徑向分布Fig.8 Radial distribution of pressure at different times

3.2.2 初始裂縫開度的影響

假設(shè)壓差為2 MPa，裂縫半徑為20 m，分別模擬初始裂縫開度為0.3，0.5和0.7 mm時考慮和不考慮裂縫閉合情況下裂縫的平均壓力和溢流量變化規(guī)律，結(jié)果見圖9。

圖9 不同開度下裂縫平均壓力與溢流量變化規(guī)律Fig.9 Variation laws of fracture average pressure and overflow volume under different opening degrees while considering the closure

由圖9(a)可知，考慮裂縫閉合時3種裂縫初始開度的壓力大于同時刻不考慮裂縫閉合時的壓力；隨著初始裂縫開度的增大，同一時刻下，考慮與不考慮裂縫閉合時的裂縫壓力差值逐漸減小，是因為初始開度小的裂縫其縫寬減小幅度大于初始開度大的裂縫。由圖9(b)可知，裂縫的閉合延長了溢流衰竭時間，溢流總量也有所增大。

由此可見，考慮裂縫閉合情況的模型顯示裂縫的壓力降低、流量減小更慢，同一時間內(nèi)的溢流量更多，衰竭時間更長。分析認為，其原因是裂縫閉合之后，裂縫空間減小，會對其本身因氣體流出而造成的壓力降低起到緩解作用，使壓力盡可能保持在較高的水平，裂縫閉合空間的氣體也最終流入井筒。因此，由考慮裂縫閉合情況的模型得到的溢流表現(xiàn)出速率更快、總量更多、時間更長的特點。

4 結(jié)論與建議

1) 通過建立裂縫氣體流動模型，模擬了鉆遇裂縫、溶洞時的溢流侵入動態(tài)規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)鉆遇裂縫、溶洞時會發(fā)生短時間劇烈的溢流過程，裂縫壓力、溢流量的變化與裂縫開度、裂縫半徑和欠壓值有關(guān)。

2) 自然條件下，隨著裂縫中氣體流入井筒，裂縫會產(chǎn)生閉合，這種閉合一方面受氣體流動的影響，另一方面也會影響氣體流動。在裂縫氣體流動模型的基礎(chǔ)上，聯(lián)立裂縫微觀閉合模型，將裂縫的閉合與氣體從裂縫流至井筒的過程耦合起來，揭示了自然條件下的溢流規(guī)律，與不考慮裂縫閉合情況的模型相比，考慮裂縫閉合后得到的裂縫壓降更慢，溢流速率更快、溢流總量更多、溢流持續(xù)時間更長。

3) 所建立的考慮裂縫閉合條件的單條裂縫欠平衡溢流侵入模型，將裂縫閉合與裂縫內(nèi)流體運動進行了耦合，對今后裂縫性地層溢流、漏失模型的建立具有一定指導(dǎo)意義。但綜合而言，本文所建模型的假設(shè)條件較為理想化，未考慮外界氣源的供給與基質(zhì)對裂縫的供氣情況，建議進一步研究完善。