蘇順

摘 要 本文致力于解決函數(shù)復(fù)習(xí)中的盲目性，力求做到有正確導(dǎo)向，有貼切內(nèi)容，有基本方法。本文分為三部分。第一部分從一道“常規(guī)函數(shù)題”說起，從原則定位、角色定位、內(nèi)容定位分析了中考復(fù)習(xí)中的問題所在。第二部分以《課標(biāo)》核心詞（符號意識、幾何直觀、運算能力、模型思想）為導(dǎo)向，從理論分析、內(nèi)容概括、真題特征三個角度概括了中考函數(shù)命題方向，并在理論上駁斥了函數(shù)命題解析化的不合理性。第三部分以組織者的角度分析了教師在函數(shù)復(fù)習(xí)中應(yīng)該具備的全局性的視野。

關(guān)鍵詞 中考；函數(shù)；研究

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）11-0188-03

【邏輯框圖】

一、問題陳述

（一）命題走向分析

以下是一個在教輔資料中頻繁出現(xiàn)的“常規(guī)”題（如右圖）：反比例函數(shù)圖像和一次函數(shù)圖像交于A、C兩點，求△AOC的面積。

現(xiàn)從兩個方面來探討命題走向。

1.如果本題的條件為“A、C是給定坐標(biāo)”，則根據(jù)A、C、O三點的坐標(biāo)位置易求△AOC面積。這與《課標(biāo)》中的核心詞——“空間觀念”要求相一致，可以作為中考命題方向。但此時，題目已經(jīng)與函數(shù)考查無關(guān)，僅僅是一道幾何問題，并不屬于函數(shù)命題的范疇。

2.如果本題的條件改為“給定兩個函數(shù)表達式y(tǒng)=3/x和y=x+2”，那么這個題目就與中考函數(shù)命題方向嚴(yán)重沖突。理由如下：

（1）考試說明不要求聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)求交點的解法。

（2）即便求解方法在允許范圍內(nèi)（比如將反比例函數(shù)改為一次函數(shù)），這類問題也明顯違背了《課標(biāo)》核心詞——“幾何直觀”對于函數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求。此題走到與函數(shù)研究無關(guān)的幾何領(lǐng)域中去，這是典型的函數(shù)解析化問題，在函數(shù)復(fù)習(xí)中應(yīng)該堅決回避。（后面章節(jié)將詳細(xì)論述函數(shù)解析化的不合理的理由）

（二）教學(xué)定位分析

教師必須在研讀課標(biāo)核心詞的基礎(chǔ)上研究命題方向，否則會出現(xiàn)三個問題：

角色定位被動：不少教師將自己定位為“解題者”角色，以“教輔資料”的內(nèi)容規(guī)劃來安排復(fù)習(xí)方案，以“模擬考試”衡量自己復(fù)習(xí)質(zhì)量。這樣就不可避免的陷入被動化的復(fù)習(xí)模式。

原則定位缺失：作為中考復(fù)習(xí)的組織者，沒有指導(dǎo)原則就會迷失在題海戰(zhàn)術(shù)中。作為國家數(shù)學(xué)教學(xué)與考試的綱領(lǐng)性文件——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)》，它為函數(shù)教學(xué)、中考命題指明了方向；同時，中考緊扣《課標(biāo)》要求，為人才選拔提供了公平的、符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的平臺。簡言之，《課標(biāo)》是函數(shù)學(xué)習(xí)的基本原則和基本導(dǎo)向，中考是《課標(biāo)》要求的具體體現(xiàn)。

內(nèi)容定位偏差：由于導(dǎo)向原則的缺失，經(jīng)常會出現(xiàn)“南轅北轍”的情況。比如不少教師青睞的所謂“函數(shù)解析綜合題”，從中花費了大量講解時間，導(dǎo)致復(fù)習(xí)有效性大為減弱。

二、函數(shù)命題方向研究

研究中考函數(shù)命題方向?qū)τ诟倪M復(fù)習(xí)效率具有較強的作用。以下分別從理論導(dǎo)向、內(nèi)容概括、表述特征三個方面進行研究。

（一）《課標(biāo)》導(dǎo)向性分析

1.課標(biāo)核心詞與函數(shù)命題方向的關(guān)系

課標(biāo)對函數(shù)命題的導(dǎo)向作用主要以核心詞來體現(xiàn)。命題方向就是對《課標(biāo)》相關(guān)核心詞所提及的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體實現(xiàn)和價值重構(gòu)。尋找相關(guān)核心詞就是尋找中考函數(shù)命題的基本原則。

2.核心詞表述及導(dǎo)向內(nèi)容

（1）符號意識：指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。

命題導(dǎo)向：符號意識是函數(shù)表達式書寫的基礎(chǔ)，因此它是函數(shù)命題的基礎(chǔ)，函數(shù)命題以函數(shù)表達式作為基本考查對象。

（2）幾何直觀：指利用圖形描述和分析問題。

命題導(dǎo)向：用圖形解決代數(shù)化的問題的手段。函數(shù)圖像是幾何直觀最為直接的體現(xiàn)，利用函數(shù)圖像解決代數(shù)化問題的考查形式在中考函數(shù)命題中占據(jù)核心地位。

理解幾何直觀是準(zhǔn)確把握函數(shù)圖像作用的前提——函數(shù)圖像作為尋找問題答案的重要手段，是為解決問題而提供的圖形化工具。

（3）運算能力：主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。

命題導(dǎo)向：用代數(shù)方法解決代數(shù)化問題，是函數(shù)問題中較為重要的考查形式。

（4）模型思想：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。

命題導(dǎo)向：將實際問題以函數(shù)表達式的形式來描述。這是函數(shù)命題的常見入口，也是函數(shù)的生活化接口。模型思想不僅反應(yīng)了量的聯(lián)系途徑，也反應(yīng)了實際問題的數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)換方向。

3.核心詞邏輯梳理

核心詞的宏觀導(dǎo)向使函數(shù)命題具備了四個特征：具備生活化的接口，具備符號化的描述特征，具備運算功能，具備圖形化解決問題的潛力等四大特征。命題允許缺少部分特征，但不能與既定特征相違背。

對照以上特征，“函數(shù)解析化”就違背幾何直觀這條準(zhǔn)則的——幾何直觀不是要求函數(shù)問題幾何化，而是要求解決問題直觀化。

函數(shù)解析化的定義：以函數(shù)圖像作為幾何背景，以長度、面積、幾何關(guān)系作為常見的考查內(nèi)容，以勾股定理、相似三角形等幾何度量手段作為解題方法。

函數(shù)解析化意味著函數(shù)圖像的直觀化不再是解決問題的工具。同時，這種命題方式放棄了函數(shù)研究的基本對象和基本方法。使得教材上常見的研究函數(shù)的方法和函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)在面對此類問題時失去作用，使教師和學(xué)生不得不為了應(yīng)付這樣的考題，花費大量精力尋找解決此類問題的命題和解題技巧。然而此類問題終究不具備科學(xué)的教學(xué)體系，講授的同時已經(jīng)脫離了不少學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這也是從函數(shù)章節(jié)開始兩極分化開始嚴(yán)重的重要誘因之一。

（二）內(nèi)容總括分析

將《課標(biāo)》核心詞要求具體化，從三個維度對函數(shù)考查內(nèi)容進行梳理。

1.（維度一）基本要素：表達式、坐標(biāo)、圖像

函數(shù)命題不論涉及怎樣的背景表述和結(jié)構(gòu)特征，最終必化歸為三個基本要素之一（或組合）。如圖所示：

2.（維度二）基本方法：外在關(guān)系符號表述、幾何直觀揭示核心、代數(shù)運算精確定位

數(shù)學(xué)問題都要明確研究的基本對象和基本方法。雖然具體解題細(xì)節(jié)千變?nèi)f化，但是萬變不離其宗。變量的表層關(guān)系一定通過符號化（建立方程、函數(shù)、不等式）的工具完成；變量的深層關(guān)系一定在函數(shù)圖像內(nèi)體現(xiàn)；變量間的精確定位（位置）一定通過解方程、求代數(shù)式值等運算實現(xiàn)。

3.（維度三）設(shè)問方向：

函數(shù)體系下的問題設(shè)置圍繞函數(shù)研究的核心內(nèi)容展開。

（1）實際問題與函數(shù)模型的互推

這類問題是《課標(biāo)》核心詞——符號意識與模型思想的具體體現(xiàn)。他需要學(xué)生用符號化的語言將題目描述的實際問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)化的問題。這是中考育人功能的一個體現(xiàn)——考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力（包括事件的等效轉(zhuǎn)換和語言的表述轉(zhuǎn)換），這些能力在人生成長過程中將長期發(fā)揮重要作用。筆者認(rèn)為，在初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路上，轉(zhuǎn)換能力的進步是學(xué)生數(shù)學(xué)水平提升的重要標(biāo)志?，F(xiàn)實中的常見問題主要分為事件驅(qū)動型問題和圖形驅(qū)動型問題兩類。事件驅(qū)動型包括生活常識型事件和科學(xué)常識型事件。圖形驅(qū)動型包括幾何圖形和現(xiàn)實圖形。

（2）函數(shù)圖像與特定坐標(biāo)的互求

這類問題是《課標(biāo)》核心詞——運算能力的具體體現(xiàn)。

（3）函數(shù)性質(zhì)與圖像描述的互譯

函數(shù)性質(zhì)的主要內(nèi)容包括：增減性、對稱性、點的存在性、變量范圍、極值、方程不等式在函數(shù)圖像上的體現(xiàn)等。這類問題是《課標(biāo)》核心詞——幾何直觀的具體體現(xiàn)。近年來，隨著對幾何直觀的重要性認(rèn)識的不斷加強，函數(shù)類命題基本上是在沒有圖像的，命題組越來越傾向于讓考生自己畫出函數(shù)圖像解決問題。這對于考生畫圖能力的提出了很高的要求。

（三）命題結(jié)構(gòu)分析

結(jié)合近年中考題可以得出幾種命題的具體特征：

（1）基于幾何直觀的設(shè)問特征

在以上命題結(jié)構(gòu)的運算中，代數(shù)運算是次要地位，從圖像上發(fā)現(xiàn)特征并翻譯為結(jié)果是主要地位。

（2）基于運算能力的設(shè)問特征。在這種命題結(jié)構(gòu)中，代數(shù)運算能力占據(jù)主要的位置。

（3）基于模型思想（語言轉(zhuǎn)換）的設(shè)問特征。

三、教師全局性視野

本文提出教師不能局限于“解題者”的身份定位。在對函數(shù)命題方向深度研究之后教師就會有足夠的自信成為函數(shù)復(fù)習(xí)的主動架構(gòu)師，而不是教輔資料的附庸者。

（一）選題視角

用命題組的視角既可以的找準(zhǔn)選題方向，也可以提高選題的質(zhì)量。審視題目的主要原則是：權(quán)威性，公平性。

權(quán)威性：問題的設(shè)置必須符合課標(biāo)中提及的核心詞要求。比如，幾何問題可以借助函數(shù)及其圖像和性質(zhì)來解決問題。但反之不成立，不能將函數(shù)圖像看作圖形去研究幾何的常見問題（包括面積、長度、角度、垂直、平行）。難度依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說明嚴(yán)格制定。題目背景不僅具備數(shù)學(xué)性，也符合科學(xué)觀。（比如一張紙折多少次可以達到一個成年人的身高，這是不符合科學(xué)精神的）

公平性：命題組做到為全體考生負(fù)責(zé)的態(tài)度，絕對不會模仿偏題和怪題，導(dǎo)致做到過題目的人很快瞄準(zhǔn)解題路徑，沒有做過的人無從下手，造成選拔性考試的不公平。解答的方法必須以常見的運算，觀察，思維步驟入手。

（二）結(jié)構(gòu)提煉。

一些函數(shù)問題在命題表述方式和邏輯關(guān)系上呈現(xiàn)一些共性。筆者將這種共性稱為命題結(jié)構(gòu)。命題結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出一類題目的共同特征，提煉結(jié)構(gòu)的過程就是抓住函數(shù)問題本質(zhì)的過程。

（三）細(xì)節(jié)關(guān)注

（1）區(qū)分圖形與圖像。圖像是變量內(nèi)在關(guān)系的呈現(xiàn)，圖形是數(shù)據(jù)外在特征的描述。他們在研究對象和領(lǐng)域上的區(qū)別意味著解題過程和方法截然不同。給出圖像，意味著要將問題翻譯為圖像的語言，從圖像中尋找問題的答案。給出圖形，那么一定會經(jīng)歷實際問題抽象、幾何直觀描述、代數(shù)運算求解這個過程。

（2）關(guān)注方法與方向。方向是解題的線索，方法是解題的步驟。兩者都是解決問題的重要組成部分。方向由背景、表述、研究對象的產(chǎn)生多變的組合，方法卻是有限的幾種。

（3）明確考題與例題。很多時候我們將考題（特別是解析化的“綜合問題”）作為重點范例講解。這源于函數(shù)解析化過程中大量的非函數(shù)本質(zhì)的問題出現(xiàn)，使得學(xué)生無法將教材中呈現(xiàn)的函數(shù)研究思路和基本方法應(yīng)用在實際的考試中。經(jīng)過撥亂反正，教師對于中考函數(shù)命題方向有深刻理解后，應(yīng)該將函數(shù)復(fù)習(xí)回歸到函數(shù)的本質(zhì)問題：函數(shù)的基本要素，函數(shù)的講究方向，函數(shù)的研究方法。