張 月，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133）

文獻(xiàn)[1]研究了半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性，證明了存在正常數(shù)b?，使對(duì)所有正數(shù)b＜ b?，（1）式存在正解，而當(dāng)b＞ b?時(shí)，無解。

文獻(xiàn)[2]研究了環(huán)型區(qū)域上半線性橢圓型方程邊值問題，即討論了解的存在性。

文獻(xiàn)[3]研究了半線性橢圓型方程組邊值問題解的存在性。

文獻(xiàn)[4]討論了半線性橢圓型方程邊值問題解的存在性與不存在性。

受文獻(xiàn)[1-4]研究思想啟發(fā)，考察半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性與唯一性，其中Ω為Rn中有界光滑區(qū)域，Γ1為Ω的內(nèi)邊界，Γ2為Ω的外邊界，?Ω=Γ1?Γ2光滑，b＞0是常數(shù)。設(shè)問題（2）中函數(shù)f(x,u)滿足下列條件（或部分條件）：

(H1)f(x,s)關(guān)于(x,s)在×[0,+∞)上非負(fù)局部Holder連續(xù)；

(H4)f(x,s)關(guān)于s單調(diào)增加；

(H5)f(x,u)為 ×[0,+∞)上關(guān)于 u的 Lipschitz連續(xù)函數(shù)，Lipschitz系數(shù)為L(zhǎng)，且L ＜ λ1，其中λ1為算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值。

(2)式中非線性項(xiàng)f(x,u)在0與∞點(diǎn)處是超線性的，比文獻(xiàn)[1]中非線性項(xiàng)更具一般性，與文獻(xiàn)[2-4]中非線性項(xiàng)滿足條件也不同，采用的證明方法也不盡相同，證得了解的存在性。下面證明解的存在性。設(shè)h為問題的解，則由強(qiáng)極值原理知，在Ω上，0＜h＜1，做變換=u+bh，則(2)式轉(zhuǎn)換為

定理1若條件(H1)～(H4)成立，則存在b?＞ 0，使當(dāng) b＜ b?時(shí)，（3）式有非負(fù)解；若b＞ b?，則無解。

證明 按下面三步證明。

(I)設(shè)k(x,y)為算子-Δ在0-Dirichlet邊界條件的Green函數(shù)。R(x)為方程記 ||R0為R在Ω上的上確界，由條件(H2)知，存在常數(shù)b＞0，使當(dāng)x∈Ω，u∈(0,2b)時(shí)，有的解。

由條件(H1)知f(x,ω+bh)≥ 0，從而Δuˉ≤ 0，結(jié)合上調(diào)和函數(shù)極值原理知uˉ≥0。現(xiàn)證uˉ∈D。

記 算 子 A=(-Δ)-1f∶D→D 如下 ：對(duì) 任 意ω∈D，Aω=uˉ∈D，其中 uˉ為(4)式的解。因?yàn)長(zhǎng)-1=(-Δ)-1為緊算子，f連續(xù)，從而A是映射D到D的緊映射，由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理[5]知，A有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)uˉ∈ D，從而(3)式即(2)式對(duì)上面b＞ 0存在有界非負(fù)解。

(II)當(dāng)b充分大時(shí)，(3)式?jīng)]有非負(fù)解。

記λ1是算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值，Φ()x是相應(yīng)的正特征函數(shù)，將(3)式中方程兩邊乘上Φ()x，并在Ω上積分，利用Green第一恒等式，得

由條件(H2)、(H3)知，存在正常數(shù)C使

將(6)式代入(5)式得：

(III)記Λ={b|(2)式有正解}，由(I)中所證知，Λ非空，記b?=supΛ，由(I)與(II)知0＜ b?＜+∞，任取b＜ b?，存在bˉ，b ＜ bˉ＜ b?，(2)式有正解 ubˉ，由上調(diào)和函數(shù)極值原理及ubˉ在連續(xù)性知存在C＞0，使得作輔助函數(shù)由條件(H1)及(7)式知(x,u)是在Ω × [ 0 ,C]上的非負(fù)有界連續(xù)函數(shù)，從而問題

由下調(diào)和函數(shù)極值原理知ω≤0, x∈Ω0，從而在Ω0內(nèi)0 ≤ ub≤ ubˉ，這與Ω0的定義矛盾，Ω0為空集，所以0≤ ub≤ ubˉ, x∈ Ω。從而(8)式的正解亦為(2)式的正解。作為定理的應(yīng)用，下面給出了一個(gè)實(shí)例。

下面給出并證明(2)式解的唯一性定理。

定理2若條件(H5)成立，則(2)式至多只有一個(gè)解。

證明 設(shè)u1與u2為(2)式的兩個(gè)解，則有

成立。將(10)式與(11)式相減后，左右兩邊乘以u(píng)1-u2，在Ω上積分并利用Green第一恒等式、Poincare不等式及條件(H5)得

矛盾，所以u(píng)1=u2，即解至多是一個(gè)。