林 數(shù) 呂文元

（上海理工大學管理學院 上海 200093）

1 引言

生產(chǎn)的連續(xù)進行是制造企業(yè)創(chuàng)造利潤的基本條件，保持高生產(chǎn)率的前提是保證連續(xù)的生產(chǎn)，減少生產(chǎn)線不必要的等待時間，這對制造企業(yè)顯得尤為重要［1～2］。怎樣保持生產(chǎn)的連續(xù)進行是企業(yè)一直研究的問題，2M1B（即二個設備中間設一個緩沖庫存區(qū)）的出現(xiàn)讓企業(yè)尋求到了連續(xù)生產(chǎn)的保障。這種生產(chǎn)方式可使生產(chǎn)線的柔性增加，對于不可預測的因素，如設備故障等，某一設備出現(xiàn)故障，其設備后的緩沖庫存可以繼續(xù)的為下一工序提供產(chǎn)品，從而保證了生產(chǎn)的連續(xù)性，使企業(yè)的生產(chǎn)率大幅度提高。

串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)問題一直是研究的熱點問題，串行生產(chǎn)線是其它類型生產(chǎn)線的基礎，對串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)的研究可作為其它類型生產(chǎn)線緩沖區(qū)研究的基礎，因此有著重要的指導意義。目前，已經(jīng)有許多學者進行了研究。Enginarlar等［3］在確保生產(chǎn)率的基礎上，提出了串行生產(chǎn)線最小緩沖模型。葉濤鋒［4］等分析了不同類型的緩沖機制和用于確定瓶頸資源前緩沖大小的方法，建立了相應的模型，用于確定系統(tǒng)中瓶頸工序前的緩沖大小。郭彩芬等［5］以極大代數(shù)理論為基礎，應用變分法建立生產(chǎn)與庫存控制模型，將整個串行生產(chǎn)線的生產(chǎn)率為目標函數(shù)，得出每個中間緩沖區(qū)理想的在制品庫存量應盡量接近其初始庫存量。周軍等［6］利用緩沖區(qū)內(nèi)在制品量狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率模型，求解其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，得出串行生產(chǎn)線的可用度與緩沖區(qū)容量緊密相關。譚民［7］對多級串行生產(chǎn)線進行了深入的研究，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度表達式，緩沖區(qū)的設置增加了系統(tǒng)的可用度，并且隨著緩沖區(qū)容量的增加，系統(tǒng)可用度也增加，對系統(tǒng)運行是有利的。周炳海等［8］為提高串行生產(chǎn)線可用度和產(chǎn)出率，提出一種基于可用度評價的緩沖分配方法。疏松桂［9］針對帶有中間緩沖庫存的可修CIMS系統(tǒng)，基于馬爾科夫過程的排隊理論，解決了各設備之間生產(chǎn)率丟失問題。Malathrons等［10］建立了一種兩機一緩沖區(qū)的可用度模型，通過馬爾科夫理論求解該模型得到了該系統(tǒng)的可用度水平。以上研究多是從理想的串行生產(chǎn)線角度出發(fā)，只是考慮了緩沖區(qū)容量的優(yōu)化，卻沒有研究緩沖區(qū)庫存的補給控制。本文從實際生產(chǎn)線的布置結(jié)構出發(fā)，主要以串行兩級子系統(tǒng)為主要研究對象，從系統(tǒng)的可用度入手，分析了緩沖區(qū)最小安全庫存量，以及用非均勻節(jié)拍法對緩沖區(qū)庫存進行動態(tài)的補充。

2 問題描述

理論研究中一般都是假設整條生產(chǎn)線每相鄰的兩工序之間設一緩沖區(qū)，如圖1，然后在求解每個緩沖區(qū)的庫存容量。這種方法比較費時費力，而且與實際的情況不相符。

圖1 每兩個工序間都有緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)線

在實際生產(chǎn)線中并沒有這么多的緩沖區(qū)，一般串行流水生產(chǎn)線減少緩沖區(qū)數(shù)量可以通過工位整合的方式來實現(xiàn)［11］。根據(jù)TOC理論，只是選擇在生產(chǎn)系統(tǒng)的幾個關鍵瓶頸工序前設置緩沖區(qū)，如圖2，這種串行生產(chǎn)線結(jié)構正是本文所重點研究的。

圖2 若干個相鄰工序間有緩沖區(qū)的串行生產(chǎn)線

在文中將緩沖區(qū)及其之前的一個工序和之后的瓶頸工序三部分組成的部分稱為生產(chǎn)線的“兩級串行生產(chǎn)線”（圖中虛線框所示）。本文以整條串行生產(chǎn)線上有限的這樣幾個“兩級串行生產(chǎn)線”為研究對象，對每個兩級串行生產(chǎn)線進行單獨分析，從而大大簡化了問題的復雜性。以保證生產(chǎn)線的可用度為目標，對緩沖區(qū)的容量進行簡單近似的設計，建立緩沖區(qū)最小安全庫存量模型以及庫存補給模型，來解決串行流水生產(chǎn)線因瓶頸工序降低生產(chǎn)線生產(chǎn)率的問題。

3 兩級串聯(lián)生產(chǎn)線模型

3.1 兩級生產(chǎn)線可用度模型

對于每個兩級串行生產(chǎn)線是串行生產(chǎn)線的基礎，研究兩級串行生產(chǎn)線對于整個生產(chǎn)線有著重要的意義。兩級串行生產(chǎn)線如圖3所示，M2是生產(chǎn)線的瓶頸設備，在其前面設置緩沖區(qū)，保證生產(chǎn)的連續(xù)性。

圖3 兩級串行生產(chǎn)線

對兩級串行生產(chǎn)線的求解思路為，首先對生產(chǎn)線的正常工作狀態(tài)進行分類，計算出每類狀態(tài)的概率，然后計算出每一類中保證生產(chǎn)線能夠正常工作的緩沖區(qū)所處的狀態(tài)概率，最后計算出兩級生產(chǎn)線的可用度。如圖3所示，設 Mi（i=1，2）為可修設備，其失效率、修復率、生產(chǎn)率分別為 λi、μi、wi，并且均服從指數(shù)分布，B為緩沖區(qū)，其容量為K。

根據(jù)生產(chǎn)線的實際生產(chǎn)情況，同時為了分析問題的需要，作出如下假設：

1）設備發(fā)生故障時可通過及時修理使其恢復如新。

2）緩沖區(qū)絕對可靠，不會發(fā)生故障。

3）兩個設備不會同時發(fā)生故障。

4）前一設備不饑餓，后一設備不堵塞。

5）從緩沖區(qū)中存取工件的時間忽略不計。

6）隨機變量之間相互獨立。

對于圖3所示的兩級串行生產(chǎn)線，可以將其所有狀態(tài)總結(jié)為以下幾種情況：

1）狀態(tài)1：M1和M2均正常工作。

2）狀態(tài)2：M1故障，M2正常工作。

3）狀態(tài)3：M1正常工作，M2故障。

其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖4所示。

圖4 兩級串行生產(chǎn)線狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)圖4可得兩級串行生產(chǎn)線的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率方程為

當生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)運行時，另P2=0，P3=0，由式（1）～（4）解穩(wěn)態(tài)方程得：

所以，兩級串行生產(chǎn)線位于狀態(tài)1的概率為P1=1（1+ λ1μ1+ λ2μ2），位于狀態(tài) 2的概 率 為P2=（λ1μ1）P1，位 于 狀 態(tài) 3 的 概 率 為 P3=（λ2μ2）P1。

下面討論緩沖區(qū)的情況，兩級生產(chǎn)線正常工作的狀態(tài)包括：

1）處于狀態(tài)1時，M1和M2都正常工作且M2不空閑。

2）處于狀態(tài)2時，M1故障，M2正常工作且緩沖區(qū)不空。

3）處于狀態(tài)3時，M1正常工作，M2故障且緩沖區(qū)不滿。

首先看狀態(tài)1，此時要使兩級生產(chǎn)線正常工作，必須保證M2不空閑。在兩級生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)時，其生產(chǎn)率為w=min(w1，w2)，所以M2不空閑的概率為

在狀態(tài)2時，緩沖區(qū)的容量為K，所以要在此狀態(tài)下正常工作，只要使緩沖區(qū)不空即可，此時緩沖區(qū)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖5所示。

圖5 緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

由圖5可得在狀態(tài)2下的緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

在兩級串行生產(chǎn)線穩(wěn)態(tài)情況下，依次令，PiB=0（i=0，1，2，…，k-1），得到：

所以在狀態(tài)2時，緩沖區(qū)不空的概率為

在狀態(tài)3情況下，要在此狀態(tài)下正常工作，必須使緩沖區(qū)不滿，此時緩沖區(qū)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖6所示。

由圖6可得在狀態(tài)3下的緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

所以在狀態(tài)3時，緩沖區(qū)不滿的概率為

由式（5）～（10）可以得出兩級串行生產(chǎn)線的穩(wěn)態(tài)可用度為

這就是兩級串行生產(chǎn)線的可用度，從上式可以看出，兩級生產(chǎn)線可用度A是緩沖區(qū)容量K的函數(shù)，可用度的大小與設備的故障率、修復率、生產(chǎn)率、緩沖區(qū)容量相關，只要確定可用度A以后，就可以很快求出緩沖區(qū)的容量。由于我們假設緩沖區(qū)設置在瓶頸工序前面，所以w=min(w1，w2)=w2，所以有

在上式中，我們在對K進行討論，有

這就是不帶緩沖區(qū)的剛性兩級生產(chǎn)線的可用度。

圖6 緩沖區(qū)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

這就是帶有無限緩沖區(qū)的理想兩級生產(chǎn)線的可用度。

通過上述方法，在對整條串行生產(chǎn)線的若干個兩級串行生產(chǎn)線進行逐個分析，就可以分別求出每個緩沖區(qū)的容量。

3.2 緩沖區(qū)最小安全庫存量模型

由兩級生產(chǎn)線可用度模型得出了其穩(wěn)態(tài)可用度，可知系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時，其所處的狀態(tài)與開始狀態(tài)無關，我們假設設備均處于偶然故障期，故障分布服從指數(shù)分布，λi、μi分別為設備Mi的故障率與修復率。對于兩級生產(chǎn)線子系統(tǒng)，系統(tǒng)的可靠度［12～13］R（t）為在兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)中，若要求得緩沖區(qū)最小安全庫存量，則兩級串行生產(chǎn)線需處于狀態(tài)2的情況下。即M1故障，M2正常工作，此時當M1故障時，瓶頸設備M2消耗緩沖區(qū)的庫存，當緩沖區(qū)庫存量消耗盡時，兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)才會失效。在生產(chǎn)周期T（T＞MTTR）內(nèi)，設備M1平均修復時間為

在建立緩沖區(qū)最小安全庫存量模型前，假設：

1）緩沖區(qū)在生產(chǎn)周期內(nèi)完全可靠，工件在緩沖區(qū)運輸時間忽略不計。

2）工序M1不饑餓，瓶頸工序M2不堵塞。

3）r1為M1的生產(chǎn)節(jié)拍，r2為瓶頸工序M2的生產(chǎn)節(jié)拍，r1＜r2，BS為緩沖區(qū)的庫存量。

4）設備發(fā)生故障時可通過及時修理使其恢復如新。

當工序M1發(fā)生故障時，必須要求工序M1的平均修復時間小于緩沖區(qū)的緩沖時間，即

將式（13）帶入上式得，兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)能連續(xù)生產(chǎn)的條件為

式中0.5為設備M1故障時，其下級設備M2正在加工產(chǎn)品數(shù)的均值。由式（15）可得，兩級串行生產(chǎn)線要保持連續(xù)生產(chǎn)，則緩沖區(qū)最小安全庫存量為

由式（16）可知，兩級串行生產(chǎn)線的最小安全庫存量的大小與設備的修復率、瓶頸設備的生產(chǎn)節(jié)拍、生產(chǎn)周期相關。

3.3 緩沖庫存補給模型

緩沖區(qū)庫存的補給一般通過設備的額外工作時間來實現(xiàn)，但這種方法容易影響生產(chǎn)節(jié)奏，并且不易規(guī)范生產(chǎn)等。在研究兩級串行生產(chǎn)線的基礎上，提出了非均勻節(jié)拍控制的方法［14］，可有效地避免這些問題。假設某兩級串行連續(xù)生產(chǎn)線如圖7所示。其中第m臺設備為瓶頸設備，ri為各設備的生產(chǎn)節(jié)拍，因為生產(chǎn)線的生產(chǎn)節(jié)拍取決于瓶頸設備，所以rm=r0。

圖7 兩級串行連續(xù)生產(chǎn)線

假設設備均處于偶然故障期，故障率屬于CFR型，λi、μi分別為設備Mi的故障率與修復率。則由可靠性理論［15］可知，設備Mi的可靠度服從指數(shù)分布：

由圖7所示，以瓶頸設備Mm與前級設備Mm-1為研究對象，設備Mm-1的故障模型如圖8所示。

圖8 設備Mm-1的n次故障模型

設Bm-1Si為Bm-1第i（i=1，2，3…，n）次發(fā)生故障時的庫存量，則：

要滿足Bm-1Si=Bm-1S1，即緩沖區(qū)初始的庫存量等于設備Mm-1第i次故障時緩沖區(qū)的庫存量，必須使：

由式（23）、3.2可知，在兩級串行生產(chǎn)線系統(tǒng)中，當瓶頸前級設備發(fā)生故障時，此時瓶頸設備消耗緩沖區(qū)庫存來保證生產(chǎn)的連續(xù)性，當瓶頸前級設備恢復正常，此時緩沖區(qū)內(nèi)庫存量以不能維持下一次緩沖生產(chǎn)，所以應該調(diào)節(jié)瓶頸前級設備的生產(chǎn)節(jié)拍，來補給緩沖區(qū)的庫存，3.2節(jié)以給出緩沖區(qū)最小安全庫存量，由式（23）得出瓶頸前級設備與瓶頸設備的節(jié)拍關系式，可根據(jù)兩者來平衡緩沖區(qū)內(nèi)的庫存量，使生產(chǎn)線保持生產(chǎn)的連續(xù)性。

4 結(jié)語

1）基于可靠性理論中的可修復系統(tǒng)模型為基礎，建立了兩級串行生產(chǎn)線模型。根據(jù)馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程得到了兩級串行生產(chǎn)線可用度的計算公式。得出兩級串行生產(chǎn)線的可用度與設備的失效率、修復率、緩沖區(qū)容量相關。2）通過建立兩級串行生產(chǎn)線緩沖區(qū)最小安全庫存量模型，為保證生產(chǎn)的連續(xù)性，得到了緩沖區(qū)庫存的最小安全庫存量的計算公式。3）在建立最小安全庫存量庫存補給模型時，提出了非均勻生產(chǎn)節(jié)拍的方法，通過控制節(jié)拍來保障緩沖庫存，避免了串行生產(chǎn)線因補給緩沖庫存增加額外生產(chǎn)時間，具有一定的應用價值。4）本文是基于兩級串行具有瓶頸生產(chǎn)線的研究，串行生產(chǎn)線是一種簡單的結(jié)構，是研究并聯(lián)、混聯(lián)等復雜生產(chǎn)系統(tǒng)的基礎，基于多級具有瓶頸生產(chǎn)線的結(jié)構，還有待進一步研究。