夏 力，羅路平，徐 琦

(浙江工業(yè)大學(xué) 浙江省特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

0 引 言

隨著我國工業(yè)自動化的發(fā)展，裝備生產(chǎn)線對機(jī)械臂的需求日益增多。機(jī)械臂的運(yùn)動精度及可靠性直接決定了整條生產(chǎn)線的性能。而在實(shí)際工作中，機(jī)械臂存在許多類型的不確定性誤差，會引起機(jī)械臂精度低、可靠性差、制造成本高等問題。常見的誤差影響因素主要有桿件形變、運(yùn)動副間隙、磨損等[1]。在機(jī)械臂研制過程中，對其影響因素進(jìn)行分析優(yōu)化，能有效地提高其精度及可靠性。

運(yùn)動精度是反映機(jī)械臂性能的一個(gè)重要指標(biāo)，運(yùn)動精度可靠性是指機(jī)械臂在規(guī)定的使用條件下和規(guī)定的使用期限中，精確、及時(shí)、協(xié)調(diào)地完成規(guī)定機(jī)械動作的能力[2]。近年來，運(yùn)動精度可靠性受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注:LIU G F, WU J[3]針對潛艇蓄電池日常維護(hù)困難的問題，對蓄電池設(shè)計(jì)的維修設(shè)備進(jìn)行了運(yùn)動精度分析，從傳輸誤差的原因出發(fā)，對其進(jìn)行了理論分析、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)分析;XIE Z[4]通過對6自由度機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析，建立運(yùn)動方程,給出了基于運(yùn)動參數(shù)的精度可靠性分析結(jié)果;劉恩等[5]通過建立含加工和裝配的尺寸誤差和間隙誤差的運(yùn)動誤差模型，結(jié)合可靠性理論，對鉚接機(jī)械手運(yùn)動精度可靠性進(jìn)行了分析；劉桂峰等[6]通過分析誤差產(chǎn)生原因，針對潛艇蓄電池保養(yǎng)機(jī)械臂進(jìn)行了運(yùn)動精度分析；張永文[7]通過對運(yùn)動副間隙進(jìn)行建模，對含間隙可控噴涂機(jī)械臂動態(tài)特性及運(yùn)動可靠性進(jìn)行了分析。以上研究均以簡單機(jī)械臂或者剛性機(jī)械臂作為研究對象，對可靠性的影響因素考慮較少，無法詳盡闡述機(jī)械臂可靠性的變化機(jī)理;同時(shí)，針對的大部分是理想狀態(tài)下的模型，不能如實(shí)反映對實(shí)際的工程狀況，難以為機(jī)械臂后續(xù)任務(wù)規(guī)劃提供理論支撐。

本文將以關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂為研究對象，針對運(yùn)動過程中剛?cè)狁詈咸匦裕C合考慮桿長、間隙和同步帶柔性等因素建立可靠性模型；通過機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺獲取相應(yīng)參數(shù)的可靠性數(shù)據(jù)，并運(yùn)用一階二次矩法求解；將模型求解得到的可靠性指標(biāo)與實(shí)驗(yàn)獲得的可靠性指標(biāo)對比以驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性；基于靈敏度分析對機(jī)械臂精度進(jìn)行可靠性優(yōu)化，以確定機(jī)械臂精度參數(shù)。

1 機(jī)械臂末端誤差模型

關(guān)節(jié)式同步帶機(jī)械臂運(yùn)動示意圖如圖1所示。

圖1 機(jī)械臂運(yùn)動示意圖

該機(jī)械臂為串聯(lián)二自由度機(jī)械臂，其最主要的特征是運(yùn)用同步帶進(jìn)行減速傳動。同步帶在傳動過程中，無滑動，能保證恒定的傳動比，預(yù)緊力小[8]。在實(shí)際使用中，有許多因素會影響同步帶的傳動可靠性，如同步帶的彈性伸長、帶輪傳動的多邊形效應(yīng)、帶輪的偏心等等。除此之外，機(jī)械臂大臂小臂受到加工誤差、受載變形的影響、關(guān)節(jié)處受到關(guān)節(jié)間隙的影響，都會對機(jī)械臂的末端位姿造成影響。

理想狀態(tài)下運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方程建立如下：

(1)

1.1 桿長模型的構(gòu)建

在工程應(yīng)用中，機(jī)械臂大臂和小臂的實(shí)際長度主要受制造加工誤差和受載后變形量的影響，所以在對機(jī)械臂誤差進(jìn)行分析時(shí)，必須將桿長的變化考慮在內(nèi)。

實(shí)際桿長L為：

L=L0+ΔL

(2)

式中：L0—初始桿長；ΔL—桿長形變量。

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]，在考慮初始桿長時(shí)將其加工誤差默認(rèn)為服從正態(tài)分布。因此，由中心極限定理可得到初始桿長的分布為：

(3)

(4)

(5)

式中：L0—加工得到的桿件初始長度；uL0—加工得到的桿件尺寸均值；σL0—加工得到的桿件尺寸標(biāo)準(zhǔn)差。

對關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂進(jìn)行分析，將其等效成截面形狀規(guī)則的桿件，可利用材料力學(xué)相關(guān)原理計(jì)算，由胡克定律知：

(6)

式中：FN—桿件在定位時(shí)刻的軸向拉力或壓力；E—材料的彈性模量；A—桿件的橫截面積。

對于桿件的變形量ΔL的標(biāo)準(zhǔn)差σΔL可以表示為：

(7)

因此，變形量ΔL服從以下分布：

(8)

由上述分析可得因此實(shí)際桿長的分布為：

uL=uL0+uΔL

(9)

(10)

即：

(11)

1.2 關(guān)節(jié)間隙的碰撞力模型的構(gòu)建

關(guān)節(jié)間隙是影響機(jī)械臂可靠性的重要因素。在機(jī)械臂的分析中，對間隙的處理方式主要有無質(zhì)量連桿方法、彈簧-阻尼法和動量交換法。

關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂正常運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于關(guān)節(jié)間隙的存在，軸與軸承接觸碰撞過程中會產(chǎn)生接觸碰撞力Fc，關(guān)節(jié)間隙模型如圖2所示。

圖2 關(guān)節(jié)間隙模型

該接觸力由兩部分組成：分別是切向摩擦力Ft和法向碰撞力Fn，兩力正交。故本研究采用Lankarani-Ni-

kravesh接觸力模型和Coloumb摩擦力模型進(jìn)行求解[11-12]：

(12)

1.2.1 法向碰撞力模型

本研究采用摩擦模型來描述軸與軸承之間的法向碰撞力，表達(dá)式為：

(13)

1.2.2 切向摩擦力模型

間隙的存在會使得機(jī)械臂在轉(zhuǎn)動時(shí)產(chǎn)生摩擦力，摩擦力對機(jī)械臂的運(yùn)動特性有影響，因此在建立含關(guān)節(jié)間隙機(jī)械臂的動力學(xué)方程時(shí)必須考慮摩擦力。本文中軸與軸承之間沒有潤滑，是干摩擦，筆者使用Coulomb摩擦模型來描述副元素之間的摩擦力，軸與軸承切向接觸摩擦力為：

(14)

式中：f—摩擦系數(shù)；σ—sign(vt)，關(guān)于vt的符號函數(shù)；Ct—切向阻尼系數(shù)。

在計(jì)算摩擦力時(shí)通常忽略切向阻尼，這時(shí)有：

Ft=-fσFn

(15)

1.3 同步帶動力學(xué)模型的構(gòu)建

同步帶的傳動誤差主要包含同步帶彈性變形和齒帶輪傳動的多邊形效應(yīng)、齒帶輪的偏心等[13-14]。在同步帶減速機(jī)械臂中，關(guān)節(jié)處減速皮帶過多，得到的方程過于復(fù)雜，故本研究將模型進(jìn)行簡化，主要考慮關(guān)節(jié)處的同步帶組。同步帶Vogit模型如圖3所示。

圖3 同步帶Vogit模型

在同步帶分析中，本研究將同步帶離散為具有一定數(shù)量的具有質(zhì)量、慣量的單元，通過彈簧阻尼將相鄰兩個(gè)帶單元聯(lián)結(jié)。同步帶離散化模型如圖4所示。

圖4 同步帶離散化模型

本研究將同步帶離散化，分成n個(gè)離散系統(tǒng)單元組成的系統(tǒng)，其中每塊代表一個(gè)同步帶離散系統(tǒng)單元。根據(jù)力的平衡方程，在輸送帶切向有等式：

(16)

上述同步帶系統(tǒng)離散動態(tài)模型方程用矩陣的形式可表示為：

(17)

1.4 機(jī)械臂誤差模型的構(gòu)建

面對關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂這一復(fù)雜系統(tǒng)，普通的剛性動力學(xué)模型已經(jīng)不能滿足其特征描述的要求，故筆者采用柔性動力學(xué)對其剛?cè)峄旌系膭討B(tài)特性進(jìn)行描述。將前面得到的實(shí)際桿長模型、關(guān)節(jié)間隙力學(xué)模型和同步帶柔性動力學(xué)模型進(jìn)行耦合，得到耦合柔性多體動力學(xué)模型[15]。

根據(jù)多體理論，將式(11，12，17)代入式(1)中，得出含桿長誤差、關(guān)節(jié)間隙和同步帶柔性耦合的動力學(xué)方程為:

(18)

本研究采用D-H法對機(jī)械臂進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，可得到機(jī)械臂末端的運(yùn)動顯示方程為：

(19)

式中：L1，L2—機(jī)械臂大臂和小臂的桿長；θ1，θ2—機(jī)械臂大臂和小臂的轉(zhuǎn)角。

本研究將實(shí)際桿長模型、關(guān)節(jié)間隙力學(xué)模型和同步帶柔性耦合的動力學(xué)模型式(18)和機(jī)械臂運(yùn)動顯式方程式(19)聯(lián)立在一起，可以得到機(jī)械臂誤差模型：

(20)

2 機(jī)械臂末端精度可靠性分析

2.1 機(jī)械臂末端精度極限狀態(tài)函數(shù)

設(shè)δi為機(jī)械臂末端在X，Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限狀態(tài)函數(shù)為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(21)

式中：δi—X、Y軸的許用誤差；Ei(X,Y)—X、Y軸的誤差值。

由式(20)可知，當(dāng)機(jī)械臂末端位置坐標(biāo)X、Y已知時(shí)，極限狀態(tài)函數(shù)中變量為：

2.2 基于一次二階矩的可靠性分析方法

目前，可靠性研究方法主要有蒙特卡洛法[14]，模糊集法[16]。蒙特卡洛法計(jì)算量較大，模糊集對變量的假設(shè)適用于模糊不確定性的場合，針對機(jī)械臂運(yùn)動過程中的隨機(jī)不確定性變量，筆者使用一階二次矩法對運(yùn)動精度可靠性進(jìn)行研究[17]。

假設(shè)各變量默認(rèn)為服從正態(tài)分布，本研究使用一階二次矩方法進(jìn)行可靠性分析，機(jī)械臂的運(yùn)動精度可靠性分析流程如圖5所示。

圖5 可靠性分析流程圖

Δqi=qo-qi

(22)

(23)

(24)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲取考慮間隙與同步帶柔性機(jī)械臂的參數(shù)誤差統(tǒng)計(jì)分布值，即可計(jì)算出機(jī)械臂運(yùn)動參數(shù)誤差的均值和方差：

(25)

(26)

基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)式(25，26)可以計(jì)算得到任意時(shí)刻機(jī)械臂任意輸出的運(yùn)動參數(shù)誤差的均值和方差。

設(shè)δi為機(jī)械臂末端在X、Y軸上的最大誤差，則其可靠性極限方程為：

Gi(X,Y)=δi-Ei(X,Y)

(27)

本研究設(shè)定各參數(shù)初值，在Matlab中編寫程序，將變量代入程序開始進(jìn)行迭代計(jì)算；當(dāng)新一代的數(shù)值不滿足判定條件時(shí)，繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到其滿足判定條件，終止程序，獲得可靠度數(shù)據(jù)β值；將可靠性數(shù)據(jù)β值代入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，查表可得其可靠度。

2.3 實(shí)驗(yàn)平臺的搭建

為了對機(jī)械臂的末端精度可靠性進(jìn)行研究，本文搭建了實(shí)驗(yàn)平臺，對大臂小臂的角度和角速度和末端誤差進(jìn)行測量，如圖6所示。

圖6 安裝傳感器機(jī)械臂圖

實(shí)際機(jī)械臂選擇在大臂和小臂的驅(qū)動電機(jī)處進(jìn)行傳感器的安裝，在機(jī)械臂運(yùn)動的終點(diǎn)在X、Y方向安裝百分表，測得其末端誤差。根據(jù)其數(shù)據(jù)精度和安裝方式，選用上海開地公司的德國CARLEN絕對值編碼器，其采集精度為0.02°。

編碼器參數(shù)如表1所示。

表1 編碼器參數(shù)

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的設(shè)計(jì)主要根據(jù)編碼器的信號進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)表1可知：編碼器的信號為SSI信號，通過其配套的角度顯示器將信號處理成RS232信號，再通過U-PORT串口數(shù)據(jù)線將信號導(dǎo)入計(jì)算機(jī)，使用AccessPort軟件進(jìn)行信號的接收，最后使用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)如圖7所示。

圖7 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知，在實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100組時(shí)能較好地反映數(shù)據(jù)情況，故筆者對機(jī)械臂重復(fù)進(jìn)行100組實(shí)驗(yàn)，得到大臂和小臂的角度、角速度以及末端誤差等數(shù)據(jù)。首先根據(jù)誤差模型運(yùn)用一階二次矩方法求解可靠度，再通過末端誤差根據(jù)概率的知識對其進(jìn)行末端精度可靠度指標(biāo)求解，可靠度如表2所示。

表2 模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)下的機(jī)械臂末端精度可靠度

通過對表2模型進(jìn)行分析可知：模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)狀態(tài)下Y軸末端精度可靠性要略高于X軸，并且誤差模型計(jì)算得出的X、Y軸可靠度均大于實(shí)驗(yàn)?zāi)┒苏`差直接測量所得的可靠度；X軸方向的可靠度相對誤差為0.19%，Y軸方向的可靠度相對誤差為0.32%，這主要是由于實(shí)驗(yàn)平臺的搭建過程存在一定的裝配誤差、制造誤差以及電機(jī)本身的運(yùn)動誤差。

3 精度可靠性靈敏度分析及優(yōu)化

3.1 精度可靠性靈敏度分析

由于所有變量的分布類型、分布參數(shù)都將對可靠度的靈敏程度產(chǎn)生影響，本研究通過可靠性靈敏度分析確定各誤差的分布參數(shù)靈敏度程度。筆者用直接微分法進(jìn)行靈敏度分析。

對極限狀態(tài)函數(shù)分別對各變量進(jìn)行偏導(dǎo)可得：

(28)

并對可靠度靈敏度進(jìn)行歸一化處理，得到對應(yīng)靈敏度系數(shù)：

(29)

對各個(gè)變量進(jìn)行偏導(dǎo)求得靈敏度系數(shù)，如表3所示。

表3 X、Y軸方向誤差源靈敏度系數(shù)

3.2 精度可靠性優(yōu)化

基于誤差靈敏度的分析結(jié)果，本研究對精度分配進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2.1 優(yōu)化目標(biāo)

以降低制造成本為目標(biāo)，本研究建立機(jī)械臂精度分配優(yōu)化模型[19]:

(30)

式中:x—各項(xiàng)誤差源的誤差值(半公差帶的寬度)，x={xi}；αi—公差特征指數(shù)，取αi=2；ki—各設(shè)計(jì)變量的成本權(quán)重系數(shù)；λi—將轉(zhuǎn)角誤差綱量同一化為線誤差綱量的系數(shù)。

在設(shè)計(jì)階段，常常還不能定出制造成本的精確數(shù)值，但是可以定性估計(jì)，本研究以靈敏度系數(shù)為成本權(quán)重系數(shù)。

3.2.2 約束條件

根據(jù)極限思想并結(jié)合導(dǎo)軌精度等級情況，本研究以超精密精度等級的半公差帶帶寬(xi-min)為下限，以精度設(shè)計(jì)要求的最大值為上限對單個(gè)誤差源取值:

(31)

3.2.3 基于Matlab遺傳算法的精度優(yōu)化

本研究采用Matlab中Optimization Tool工具包對機(jī)械臂進(jìn)行優(yōu)化，在該工具包中選擇Genetic Algorithm進(jìn)行精度分配優(yōu)化，配置參數(shù):初始種群數(shù)為100，適應(yīng)度尺度按適應(yīng)度排序并進(jìn)行迭代，然后雜交為啟發(fā)式算法，雜交概率0.8，遷移為forward，突變選擇默認(rèn)。精度分配優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表4 優(yōu)化后的各參數(shù)分布均值

在所有變量中，大臂和小臂的角速度和轉(zhuǎn)角取值得到不同程度放大，說明按照優(yōu)化前的精度分配偏于保守;精度優(yōu)化后，總體上，靈敏度系數(shù)較大的誤差變量得到不同程度的控制，靈敏度系數(shù)較小的誤差因素被適當(dāng)?shù)姆糯?，符合精度分配的思想?/p>

本研究將優(yōu)化前、后的精度分配值代入到誤差模型以及成本模型進(jìn)行計(jì)算，得出優(yōu)化前后可靠度和成本對比如表5所示。

表5 優(yōu)化前后可靠度和成本對比

由表5可知：優(yōu)化后，機(jī)械臂的末端X軸和Y軸的精度可靠度達(dá)到了99.71%和99.78%，提升了機(jī)械臂的總體精度;與傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，成本由優(yōu)化設(shè)計(jì)前的205.163減至147.869，降低了27.92%；由此可見：該方法在不僅提升了機(jī)械臂末端精度可靠度，還有效地降低了制造成本。

4 結(jié)束語

(1)根據(jù)機(jī)械臂桿長、關(guān)節(jié)間隙和同步帶柔性3種誤差影響因素，本文分別對其建立了實(shí)際桿長模型、關(guān)節(jié)間隙碰撞力學(xué)模型和同步帶動力學(xué)模型，并結(jié)合多體柔體動力學(xué)理論，建立了耦合柔體動力學(xué)模型；

(2)在動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)出機(jī)械臂末端誤差方程，建立了關(guān)節(jié)式同步帶減速機(jī)械臂精度可靠性模型；

(3)通過實(shí)驗(yàn)平臺獲取相應(yīng)的可靠性數(shù)據(jù)，并運(yùn)用一階二次矩法進(jìn)行可靠性分析，分析結(jié)果表明：未優(yōu)化前X軸和Y軸可靠度基于模型計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測試的相對誤差為0.16%和0.32%，驗(yàn)證了可靠性模型的準(zhǔn)確性；

(4)對機(jī)械臂可靠性模型進(jìn)行了靈敏度分析，大臂和小臂加速度為主要誤差因素，基于分析結(jié)果建立了機(jī)械臂制造成本為優(yōu)化目標(biāo)的精度分配優(yōu)化模型，利用Matlab軟件中遺傳算法進(jìn)行精度分配優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明：機(jī)械臂經(jīng)過優(yōu)化后，X、Y軸可靠度分別從97.05%和97.38%提高至99.71%和99.78%，且與經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)相比，制造成本降低了27.92%，為機(jī)械臂的加工制造提供了依據(jù)。