余 震，趙昊坤，李 穎

(武漢科技大學(xué) a.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室；b.機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，武漢 430081)

0 引言

近年來，隨著高速加工技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，為了提高加工效率而需要增大主軸轉(zhuǎn)速、切削深度等工藝參數(shù)，這樣在加工過程中，由于非周期性外力作用而激起加工系統(tǒng)劇烈振動的切削顫振，嚴(yán)重制約了高速加工技術(shù)的發(fā)展[1]。

目前確定無顫振加工條件的一個有效的方法是通過繪制穩(wěn)定性lobe圖來選取合理的工藝參數(shù)，Y Altintas等[2]提出了一種解析的方法來繪制銑削過程當(dāng)中的穩(wěn)定性lobe圖，但繪制穩(wěn)定性lobe圖需要獲取機床系統(tǒng)刀尖點的頻率響應(yīng)函數(shù)。通常通過實驗的方法(力錘模態(tài)測試)可以獲得主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的頻響函數(shù)[3-5]。但是在實際應(yīng)用中，由于需要頻繁地更換刀具和刀柄，需要重復(fù)測量系統(tǒng)的頻響函數(shù)，因此在本研究中，為了克服重復(fù)試驗的不足，而采用響應(yīng)耦合法(RCSA)預(yù)測主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的頻率響應(yīng)函數(shù)，利用實驗以及反向RCSA方法獲得主軸-刀柄基座的頻響函數(shù)，并用Timoshenko梁理論計算外伸刀柄和刀具的頻響函數(shù)，并進行子結(jié)構(gòu)耦合得到整個系統(tǒng)刀尖點的頻響函數(shù)。

1 機床主軸-刀具系統(tǒng)動力學(xué)模型構(gòu)建

主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的動力學(xué)特性可以利用刀尖點的頻率響應(yīng)函數(shù)來描述[4-5]。利用RCSA方法[6]可以將主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點頻率響應(yīng)函數(shù)用各個子結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)以及結(jié)合面的參數(shù)來表示。本研究中將該主軸-刀具系統(tǒng)劃分成3個子結(jié)構(gòu)，主軸-刀柄基座、外伸刀柄和刀具，如圖1所示。利用Timoshenko梁理論來計算刀具、外伸刀柄的頻響函數(shù)。將刀柄裝夾在主軸上，實測該主軸-刀柄系統(tǒng)的頻響函數(shù)，并利用反向RCSA方法得到主軸-刀柄基座的頻響函數(shù)，利用最小二乘擬合以及改進的粒子群算法識別刀柄和刀具結(jié)合面的動力學(xué)參數(shù)，最后將各個子結(jié)構(gòu)進行剛性或柔性耦合，從而得到預(yù)測的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)。

圖1 主軸-刀具系統(tǒng)

1.1 刀柄和刀具動力學(xué)模型構(gòu)建

刀柄和刀具的動力學(xué)模型采用忽略了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的歐拉梁或Timoshenko梁模型構(gòu)建[7]：刀具和外伸刀柄被分割成橫截面幾何形狀不同的梁單元，利用Timoshenko梁理論對具有相同幾何形狀的單元進行建模。由于立銑刀的螺旋槽部分各截面的慣性矩的一致性，故將刀具劃分成螺旋槽部分以及圓柱部分兩個子結(jié)構(gòu)，刀柄的錐形部分也劃分為兩個子結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu)劃分如圖2所示)。

(a) 刀具

(b) 外伸刀柄圖2 刀具及外伸刀柄子結(jié)構(gòu)劃分

在圖3的為x-y平面內(nèi)的Timoshenko梁模型中，x-y平面內(nèi)自由狀態(tài)下的Timoshenko梁單元的動力學(xué)方程[8]可以表示為：

(1)

(2)

式中，ρ—密度，E—彈性模量，G—剪切模量，A—橫截面面積，I—橫截面慣性矩，y—x軸橫位移，φ—x軸上任意一截面的角位移，k—剪切系數(shù)，刀柄的剪切系數(shù)k[7]表示為：

(3)

式中，v為材料的泊松比，m為橫截面內(nèi)外徑之比(m=dinner/douter)，對于刀具而言，橫截面的內(nèi)徑dinner=0，剪切系數(shù)可以表達為：

(4)

圖3 x-y平面內(nèi)的Timoshenko梁模型

(5)

式中，yiφi分別為點i處的橫向位移及角位移，fjmj分別為施加在點j處的力和力矩，Hij、Lij、Nij、Pij分別為位移/力(力矩)、角位移/力(力矩)頻率響應(yīng)函數(shù)。假設(shè)刀具(外伸刀柄)的阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼，且損耗因子為γ，利用上述的Timoshenko梁動力學(xué)方程可以求解梁單元在點1、2處(見圖4)的頻率響應(yīng)函數(shù)[7]Hij、Lij、Nij、Pij(i=1,2且j=1,2)為：

(6)

(7)

(8)

(9)

因梁單元處于兩端自由邊界條件，此時存在兩個剛體模態(tài)(當(dāng)r=0時，ω0=0)，質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化的兩個剛體模態(tài)的形函數(shù)可以表達如下：

(10)

(11)

對于刀具螺旋槽部分的慣性矩計算，需要先計算出區(qū)域1的慣性矩(如圖4所示)，其他區(qū)域的慣性矩可以通過將區(qū)域1的慣性矩進行轉(zhuǎn)換獲得，然后將所有區(qū)域的慣性矩進行疊加，得到整個橫截面的慣性矩。

圖4 4齒螺旋立銑刀橫截面

區(qū)域1的慣性矩[9]可以通過計算等效半徑Req來獲得，Req與扇形區(qū)域的半徑r、扇形的中心位置a、θ有關(guān)，其表達式為：

(12)

當(dāng)獲得等效半徑Req后，區(qū)域1關(guān)于x軸、y軸的慣性矩可以分別表達為：

(13)

(14)

式中，0<ρ≤Req(θ)，0<θ≤π/2，fd為螺旋槽的深度。則整個橫截面對x軸和y軸的慣性矩表示為：

Ix=Iy=2(Ixx+Iyy)

(15)

每個刀具(外伸刀柄)單元的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣可表示為：

(16)

其中，

(17)

當(dāng)求得每個刀具(外伸刀柄)單元的頻響函數(shù)矩陣后，利用RCSA方法將每個單元的頻響函數(shù)矩陣進行剛性耦合，得到整個刀具和刀柄的頻響函數(shù)矩陣。如圖5所示，單元A和單元B剛性耦合在一起，形成單元C，重復(fù)該過程直到獲得整個刀具(外伸刀柄)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣。

圖5 單元A和B的耦合過程

單元A和單元B的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣可以表達為：

(18)

利用相容性條件和連續(xù)性條件，單元C的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣[3,6]可以表達為：

(19)

其中，

(20)

(21)

(22)

(23)

1.2 主軸-刀柄基座動力學(xué)模型構(gòu)建

如圖6所示，主軸-刀柄基座和外伸刀柄看成剛性耦合，對于刀柄而言，只需要利用如前所述方法，把刀柄外伸部分的頻響函數(shù)矩陣計算出來，再與主軸-刀柄基座進行剛性耦合就可以獲得整個主軸-刀柄系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。利用反向RCSA方法[10]，主軸-刀柄基座的頻響函數(shù)矩陣可以表達為：

(24)

式中，[S55]為主軸/刀柄基座系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣，[SH33]為實驗測得的主軸-刀柄系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，[H33]、[H34]、[H43]、[H44]為外伸刀柄的頻響函數(shù)矩陣。

圖6 主軸-刀柄基座與外伸刀柄剛性耦合

2 主軸-刀具系統(tǒng)動力學(xué)模型的實驗驗證

2.1 實驗系統(tǒng)建立

利用力錘測試[11]的方法測量主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的位移/力頻響，并采用Matlab對前面的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點位移/力頻響函數(shù)模型進行仿真分析，并與測量的結(jié)果進行對比。

本實驗原理示意簡圖如圖7所示。選取4齒平底硬質(zhì)合金螺旋立銑刀以及HSK A 63 SPD刀柄為研究對象。實驗設(shè)備由三向加速度傳感器、力錘以及NI PXI-1042Q數(shù)據(jù)采集前端組成(如圖9所示)。實驗采集的數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)據(jù)采集前端進行處理，并通過MODALVIEW軟件獲得頻響函數(shù)數(shù)據(jù)。

圖7 實驗原理示意圖

圖8 刀柄系統(tǒng)測點

(a) 試驗數(shù)據(jù)采集前端 (b) 力錘和加速度計

(c) 試驗刀柄安裝圖9 實驗系統(tǒng)

因刀具材料牌號未知，在實驗過程中，測量自由狀態(tài)下刀具的頻響函數(shù)，采用最小二乘法將計算得到的刀具頻響函數(shù)曲線與測量曲線進行擬合，識別出刀具的材料參數(shù)。將內(nèi)徑為16mm的HSK A 63 SPD刀柄裝夾在主軸上，實驗測量主軸-刀柄系統(tǒng)的位移/力頻響函數(shù)，由式(24)計算出主軸-刀柄基座的頻響函數(shù)矩陣，再將直徑為12mm的立銑刀連同內(nèi)徑為12mm的HSK A 63 SPD刀柄裝夾在主軸上，測量系統(tǒng)刀尖點的位移/力頻響函數(shù)，與采用數(shù)學(xué)模型計算出系統(tǒng)刀尖點的頻響函數(shù)值進行對比。

2.2 刀具頻響函數(shù)實測值與預(yù)測值實驗驗證

按圖9所示的方式進行連線，將加速度計貼在刀尖點，利用力錘激勵刀尖點的另一側(cè)，通過MODALVIEW軟件采集得到處于自由狀態(tài)下刀具刀尖點的位移/力頻響函數(shù)數(shù)據(jù)曲線，如圖10所示。由式(3)～式(21)，編制Matlab程序計算自由狀態(tài)下刀具刀尖點的位移/力頻響函數(shù)對數(shù)幅值，刀具尺寸參數(shù)如表1所示，并將MODALVIEW軟件中測量的頻響函數(shù)對數(shù)幅值數(shù)據(jù)曲線導(dǎo)入Matlab，并與理論計算值進行最小二乘曲線擬合，構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

(25)

式中，ω=ω1,…,ωn為選取的頻率點，T11為計算的刀尖點位移/力頻響函數(shù)對數(shù)幅值，e_T11為實測的刀尖點位移/力頻響函數(shù)對數(shù)幅值。

求解該優(yōu)化目標(biāo)最優(yōu)值，得到刀具的材料參數(shù)為：E=460GPa，ν=0.3，γ=0.02。

自由狀態(tài)下刀具刀尖點的位移/力頻響函數(shù)對數(shù)幅值的實測值與預(yù)測值如圖10所示，從圖中可以看出，實測的頻響函數(shù)曲線與預(yù)測的曲線較為吻合。

表1 刀具的尺寸參數(shù)(單位mm)

圖10 刀具頻響函數(shù)實測值與預(yù)測值

2.3 主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)實測值與預(yù)測值實驗驗證

將內(nèi)徑為16mm的HSK A 63 SPD刀柄裝夾在主軸上，按圖9進行連線，將加速度計貼在響應(yīng)測點3處(見圖6)，用力錘分別錘擊測點，其中測點間距S=20mm，由MODALVIEW軟件可分別獲得3個位移/力頻響函數(shù)H33 ，H33b，H33c，利用式(19)～式(24)計算得到整個主軸-刀柄系統(tǒng)在自由端的頻響函數(shù)矩陣，根據(jù)16mm HSK A 63 SPD刀柄外伸刀柄的尺寸參數(shù)由式(3)～式(21)計算出外伸刀柄的頻響函數(shù)矩陣，如表2所示，利用反向RCSA方法由式(25)計算得到主軸-刀柄基座的頻響函數(shù)矩陣。

表2 刀柄外伸部分尺寸(單位mm)

然后將直徑為12mm的立銑刀裝夾在內(nèi)徑為12mm的HSK A 63 SPD刀柄上，并裝夾進主軸。實測主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的位移/力頻響函數(shù)，如圖11所示。根據(jù)式(3)～式(21)計算出刀具(不包含裝夾長度部分)以及外伸刀柄(12mm內(nèi)徑)的頻響函數(shù)矩陣，刀具以及外伸刀柄的尺寸參數(shù)如表3所示。分別由式(24)和式(25)將識別得到的主軸-刀柄基座頻響函數(shù)矩陣與計算得到的外伸刀柄(12mm內(nèi)徑)以及刀具的頻響函數(shù)矩陣進行剛性耦合和柔性耦合，得到主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)矩陣的預(yù)測值。將實測與預(yù)測的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點位移/力頻響函數(shù)幅值曲線進行最小二乘擬合，識別刀柄和刀具結(jié)合面之間的參數(shù)如表3所示。

圖11 實測主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點位移/力頻響函數(shù)

表3 刀柄和刀具結(jié)合面參數(shù)

當(dāng)?shù)玫叫碌慕Y(jié)合面參數(shù)后，由式(28)即可求得預(yù)測的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的位移/力頻響函數(shù)。實測和預(yù)測的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點位移/力頻響函數(shù)幅值如圖12所示，從圖中可以看出，實際測量的頻響函數(shù)曲線與預(yù)測的曲線總體來說較為吻合，初步驗證了本研究中所建模型的有效性。

圖12 主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點頻響函數(shù)實測值與預(yù)測值

3 總結(jié)

本研究通過利用Timoshenko梁理論計算刀具、外伸刀柄的頻響函數(shù)、然后利用RCSA方法主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的頻響函數(shù)進行預(yù)測，與采用不同內(nèi)徑刀具所得的主軸-刀具系統(tǒng)的實驗測得的主軸-刀具系統(tǒng)刀尖點的位移/力頻響函數(shù)進行對比研究，研究結(jié)果表明，實測的頻響函數(shù)曲線與預(yù)測的曲線總體來說較為吻合，驗證了本研究中基于子結(jié)構(gòu)偶合法建立機床主軸-刀具系統(tǒng)頻響函數(shù)模型的有效性，為數(shù)控加工過程穩(wěn)定性的理論研究提供研究依據(jù)。