孫 良 徐亞丹 黃恒敏 王振飛 張國鳳 武傳宇

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院， 杭州 310018； 2.浙江省種植裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 杭州 310018；3.杭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 杭州 310018)

0 引言

非圓齒輪行星輪系機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于移栽機(jī)構(gòu)、劍桿織機(jī)引緯機(jī)構(gòu)、RCM機(jī)構(gòu)等各種機(jī)械[1-5]。常用的設(shè)計(jì)方法有正向設(shè)計(jì)法與反向設(shè)計(jì)法。正向設(shè)計(jì)法通過調(diào)節(jié)輪系齒輪節(jié)曲線的形狀獲得滿足設(shè)計(jì)要求的運(yùn)動(dòng)軌跡，反向設(shè)計(jì)法基于給定軌跡通過剛體導(dǎo)引等方法求解機(jī)構(gòu)參數(shù)[6]。以上兩種設(shè)計(jì)方法在實(shí)際應(yīng)用過程中尚存在許多問題：正向設(shè)計(jì)法盲目性大，軌跡形狀與輪系齒輪節(jié)曲線形狀之間的關(guān)系不明確，難以獲得滿足設(shè)計(jì)要求的理想軌跡；反向設(shè)計(jì)法雖然給定了滿足設(shè)計(jì)要求的理想運(yùn)動(dòng)軌跡，但是求解出的齒輪節(jié)曲線形狀凹凸變形程度大，難以獲得合理的非圓齒輪。另外通過給定的運(yùn)動(dòng)軌跡求解出的機(jī)構(gòu)參數(shù)存在尺寸不合理和在回轉(zhuǎn)過程中機(jī)構(gòu)雙臂干涉的情況。

針對上述問題，本文提出一種基于非圓齒輪節(jié)曲線形狀和機(jī)構(gòu)尺寸優(yōu)化的軌跡反求方法。在反向設(shè)計(jì)法的基礎(chǔ)上，將實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)軌跡的行星輪系機(jī)構(gòu)簡化為平面開鏈二桿機(jī)構(gòu)。在軌跡平面所在的全局坐標(biāo)系內(nèi)，通過對輪系中心解析區(qū)域內(nèi)單行星架輪系機(jī)構(gòu)非圓齒輪節(jié)曲線凸性值和桿長參數(shù)的求解，給出約束條件下的理想?yún)?shù)解域。通過設(shè)置解析區(qū)域給定輪系中心點(diǎn)在參考坐標(biāo)系內(nèi)的變化范圍，求解在解析區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)給定軌跡的輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)和齒輪節(jié)曲線凸性值。根據(jù)解析區(qū)域的求解結(jié)果，得到單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖。由圖可得各點(diǎn)對應(yīng)的齒輪節(jié)曲線的凸性值、桿長、桿長比參數(shù)等信息，為對輪系中心位置和機(jī)構(gòu)尺寸的選取提供指導(dǎo)，以得到滿足設(shè)計(jì)要求的最優(yōu)行星輪系機(jī)構(gòu)[7-9]。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立與計(jì)算

1.1 行星輪系機(jī)構(gòu)簡化

單行星架輪系機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡C由行星輪上某一點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)所形成，且行星輪軸心與點(diǎn)Q連線的絕對運(yùn)動(dòng)為往復(fù)擺動(dòng)，即行星輪的絕對角位移為某一小角度的周期性函數(shù)[10-13]。不考慮輪系中傳動(dòng)齒輪的嚙合關(guān)系，將這類輪系機(jī)構(gòu)簡化為二桿二自由度開鏈機(jī)構(gòu)，并以太陽輪中心為坐標(biāo)系中心建立參考坐標(biāo)系，如圖1所示。本文運(yùn)用已知運(yùn)動(dòng)軌跡反求機(jī)構(gòu)參數(shù)的方法，以給定的平面軌跡所處的坐標(biāo)系為全局坐標(biāo)系，在全局坐標(biāo)系內(nèi)以輪系中心O1為原點(diǎn)建立參考坐標(biāo)系和輪系機(jī)構(gòu)簡化模型，如圖2所示。在全局坐標(biāo)系中隨著輪系中心點(diǎn)位置的變化，可以求解出無數(shù)組開鏈二桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)軌跡再現(xiàn)，每組解對應(yīng)的桿長和齒輪節(jié)曲線形狀各不相同。因此，確定輪系中心的位置是求解平面開鏈二桿機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵。

圖1 行星輪系機(jī)構(gòu)原理圖Fig.1 Schematic of planetary gear mechanism1.行星架 2.太陽輪 3.下中間輪 4.上中間輪 5.行星輪 6.運(yùn)動(dòng)臂

圖2 開鏈二桿機(jī)構(gòu)模型Fig.2 Two-link open loop chain mechanism model

圖2中Oxy為全局坐標(biāo)系，O1x1y1為參考坐標(biāo)系，矩形框?yàn)榻馕鰠^(qū)域，O1點(diǎn)為輪系中心，Q點(diǎn)為與行星輪固連的某一點(diǎn)，圖1中C為在輪系周轉(zhuǎn)過程中Q點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下形成的運(yùn)動(dòng)軌跡。Lo表示在運(yùn)動(dòng)過程中輪系中心點(diǎn)O1與Q點(diǎn)的連線長度，La(第1桿)表示輪系的行星架長度，即太陽輪軸心到行星輪軸心的距離，Lb(第2桿)表示行星輪軸心到運(yùn)動(dòng)臂尖點(diǎn)Q的距離，L1表示軌跡曲線與輪系中心最近距離，L2表示軌跡曲線與輪系中心最遠(yuǎn)距離。β1表示x1軸正方向到O1Q1的夾角，β2表示O1Q1到O1B的夾角，θ1表示x1軸正方向到O1B的夾角，θ2表示x1軸正方向到BQ1的夾角。

當(dāng)輪系中心O1點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)時(shí)，行星架La做周轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，Q從初始位置(x,y)沿給定軌跡移動(dòng)，行星齒輪軸心B點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)。根據(jù)其運(yùn)動(dòng)學(xué)理論可知，行星輪軸心與點(diǎn)Q連線的絕對運(yùn)動(dòng)為在(-π/2, π/2)范圍內(nèi)往復(fù)擺動(dòng)。由圖2可知，輸入角θ1和輸出角θ2計(jì)算公式為

θ1=β1+β2

(1)

(2)

行星架做周轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中不會(huì)出現(xiàn)回轉(zhuǎn)的情況，故θ1是周期為2π的單調(diào)函數(shù)。根據(jù)β1、β2的定義可知，β1、β2均為矢量角，β2大小為三角形O1BQ1的內(nèi)角。當(dāng)桿La和桿Lb所在直線重合時(shí)，即Q處在軌跡曲線上距離輪系中心最遠(yuǎn)、最近兩點(diǎn)。上述參數(shù)計(jì)算公式為

(3)

(4)

(5)

在單行星架周轉(zhuǎn)輪系機(jī)構(gòu)中，太陽輪與機(jī)架固定，行星架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)行星架的轉(zhuǎn)速為nH(即第1桿的轉(zhuǎn)速)，行星輪的轉(zhuǎn)速為ni(即第2桿的轉(zhuǎn)速)。單行星架周轉(zhuǎn)輪系機(jī)構(gòu)的總傳動(dòng)比計(jì)算公式為

(6)

1.2 非圓齒輪傳動(dòng)比的分配

單行星架輪系機(jī)構(gòu)采用二級(jí)齒輪傳動(dòng)，故需要對計(jì)算得到的總傳動(dòng)比進(jìn)行分配。一對非圓齒輪傳動(dòng)要保證主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周從動(dòng)齒輪也轉(zhuǎn)動(dòng)一周，傳動(dòng)比應(yīng)滿足

i=i1i2

(7)

(8)

式中i1——一級(jí)齒輪傳動(dòng)比

i2——二級(jí)齒輪傳動(dòng)比

1.3 非圓齒輪節(jié)曲線凸性判定

假設(shè)一對嚙合齒輪中主動(dòng)齒輪為齒輪1，從動(dòng)齒輪為齒輪2，兩齒輪中心距為a。由一對嚙合齒輪傳動(dòng)的原理可知傳動(dòng)比i12為

(9)

式中n1——主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)速

n2——從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)速

r1——主動(dòng)齒輪節(jié)曲線半徑

r2——從動(dòng)齒輪節(jié)曲線半徑

當(dāng)主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)過φ1時(shí)，從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)角φ2為

(10)

對于一對非圓齒輪傳動(dòng)時(shí)，當(dāng)主動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)角為φ1時(shí)，對應(yīng)的齒輪傳動(dòng)比為函數(shù)i(φ1)，在極坐標(biāo)系中主動(dòng)齒輪半徑為

(11)

封閉非圓齒輪節(jié)曲線為全凸形即節(jié)曲線的曲率半徑為非負(fù)數(shù)。在極坐標(biāo)方程中曲線曲率半徑ρ的計(jì)算公式為

(12)

式中r——齒輪節(jié)曲線半徑

當(dāng)主動(dòng)齒輪節(jié)曲線為全凸形時(shí)，主動(dòng)齒輪節(jié)曲線曲率半徑ρ1≥0。將主動(dòng)齒輪節(jié)曲線半徑函數(shù)式(11)代入式(12)中可得ρ1為

(13)

由式(11)可得

(14)

(15)

式中i′——傳動(dòng)比曲線的一階導(dǎo)函數(shù)

i″——傳動(dòng)比曲線的二階導(dǎo)函數(shù)

式(14)、(15)代入式(13)中可得

(16)

由式(16)知，主動(dòng)非圓齒輪為全凸形齒輪時(shí)，ρ1≥0。因?yàn)槭?16)的分子為正數(shù)，所以分母

pa=1+i+i″≥0

(17)

式中pa——主動(dòng)齒輪凸性值

從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)角為φ2，在極坐標(biāo)系中從動(dòng)齒輪的半徑

(18)

從動(dòng)齒輪節(jié)曲線為全凸形時(shí)，從動(dòng)齒輪節(jié)曲線曲率半徑ρ2≥0。將從動(dòng)齒輪節(jié)曲線半徑函數(shù)式(18)代入曲率公式(12)中可得ρ2為

(19)

由式(10)可得

(20)

(21)

(22)

式(21)、(22)代入式(19)中可得

(23)

由式(23)可知，從動(dòng)非圓齒輪為全凸形齒輪時(shí)，ρ2≥0。因?yàn)辇X輪傳動(dòng)比為正數(shù)，即分子為正數(shù)，所以分母為非負(fù)數(shù)。

pb=1+i-ii″+i′2≥0

(24)

式中pb——從動(dòng)齒輪凸性值

將各子級(jí)傳動(dòng)比代入式(17)、(24)，計(jì)算表示非圓齒輪節(jié)曲線凸性值pa、pb，越小表明非圓齒輪節(jié)曲線上該位置的凸性越差，選取pa、pb較小值表示一對非圓齒輪節(jié)曲線凸性。

2 運(yùn)動(dòng)軌跡求解與分析

2.1 圓軌跡的求解與分析

在全局坐標(biāo)系內(nèi)給定滿足設(shè)計(jì)要求的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，并確定輪系中心解析區(qū)域范圍。設(shè)置搜索步長確定計(jì)算精度，在解析區(qū)域內(nèi)輪系中心點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)按步長遞進(jìn)。在軌跡曲線不變的情況下，輪系中心點(diǎn)的變化使得形成該軌跡的輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)(桿長La、桿長比、齒輪節(jié)曲線凸性值)發(fā)生變化。對輪系中心點(diǎn)位于解析區(qū)域內(nèi)各位置點(diǎn)時(shí)輪系機(jī)構(gòu)屬性進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果用桿長等高線、桿長比等高線、齒輪節(jié)曲線凸性值等高線表示，繪制單行星架輪系機(jī)構(gòu)屬性圖，計(jì)算過程如下：輪系中心的坐標(biāo)為(x0+Δx0,y0+Δy0)，其中Δx0、Δy0為中心點(diǎn)坐標(biāo)的變化量即步長，在解析區(qū)域內(nèi)按步長搜索整個(gè)目標(biāo)區(qū)域。軌跡方程為f(x,y)，軌跡上某點(diǎn)到輪系中心的距離為L。輪系中心點(diǎn)和軌跡曲線最近距離為L1，最遠(yuǎn)距離為L2。式中輪系中心坐標(biāo)值已知，軌跡曲線x、y為自變量，有

(25)

(26)

由式(5)可得，輪系中心在該位置點(diǎn)時(shí)形成該軌跡的機(jī)構(gòu)桿長和桿長比參數(shù)。由式(1)～(6)可計(jì)算出機(jī)構(gòu)復(fù)演該軌跡兩桿轉(zhuǎn)角角位移曲線與輪系總傳動(dòng)比。將總傳動(dòng)比按照運(yùn)動(dòng)學(xué)原理分配成兩級(jí)子傳動(dòng)比，并計(jì)算由子傳動(dòng)比曲線得到的非圓齒輪節(jié)曲線的凸性值。按步長移動(dòng)輪系中心的坐標(biāo)重復(fù)上述計(jì)算過程。將解析區(qū)域內(nèi)輪系中心在各點(diǎn)時(shí)的輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)以La等高線、桿長比等高線、非圓齒輪節(jié)曲線凸性值等高線連接，形成單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖。

通過分析解析區(qū)域內(nèi)單行星架機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖，為設(shè)計(jì)可形成特定軌跡的輪系機(jī)構(gòu)提供參考。以上方法建立了非圓齒輪節(jié)曲線形狀與運(yùn)動(dòng)軌跡之間的直接聯(lián)系，避免了調(diào)試非圓齒輪節(jié)曲線的盲目性。另外，解析區(qū)域內(nèi)的單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖將指導(dǎo)特定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡的單行星架輪系機(jī)構(gòu)的快速求解，給出了約束條件下最理想的實(shí)用解[14-15]。

例如，利用上述求解方法對全局坐標(biāo)系內(nèi)的圓形軌跡進(jìn)行分析計(jì)算。計(jì)算精度取0.1 mm，解析區(qū)域選取(-50 mm,-50 mm)—(50 mm,50 mm)矩形范圍進(jìn)行分析計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 圓軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖Fig.3 Parameter information diagram of single planetary gear train mechanism with circular trajectory

從計(jì)算結(jié)果可知，對于形成圓軌跡的行星輪系機(jī)構(gòu)，其行星架長度La為圓軌跡的半徑，與輪系中心位置無關(guān)；其傳動(dòng)齒輪組均為圓齒輪且傳動(dòng)比恒為1，節(jié)曲線凸性值為2，齒輪節(jié)曲線形狀與輪系中心位置無關(guān)；桿長比隨著輪系中心位置不同而變化，隨著輪系中心遠(yuǎn)離軌跡曲線而增大。對于圓齒輪傳動(dòng)的單行星架輪系機(jī)構(gòu)，行星輪上固連點(diǎn)Q形成的軌跡與行星輪中心點(diǎn)形成的軌跡形狀相同但位置不同。通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知，傳動(dòng)比恒為1的單行星架輪系機(jī)構(gòu)行星輪繞著太陽輪周轉(zhuǎn)，其齒輪中心點(diǎn)形成的軌跡是以太陽輪中心為原點(diǎn)，以行星架長度為半徑的圓。行星輪固連點(diǎn)與齒輪中心距離的變化引起運(yùn)動(dòng)軌跡位置的改變。驗(yàn)證了圓軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖求解的正確性。Lb可以通過圖中桿長比參數(shù)的最優(yōu)解來確定。設(shè)計(jì)者可以根據(jù)設(shè)計(jì)需要改變解析區(qū)域的范圍，進(jìn)而重新計(jì)算單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖。

2.2 水稻移栽機(jī)構(gòu)軌跡的計(jì)算與分析

常見的水稻移栽軌跡有適用于高速插秧機(jī)構(gòu)的“海豚形”軌跡和“腰子形”軌跡；適用于水稻缽苗移栽機(jī)構(gòu)的“8字形”軌跡和“鷹嘴形”軌跡。為了能得到更好滿足農(nóng)藝要求的水稻移栽機(jī)構(gòu)[16-19]，本文對水稻移栽軌跡進(jìn)行計(jì)算分析。

2.2.1高速插秧機(jī)構(gòu)軌跡計(jì)算與分析

(1)“海豚形”軌跡

對高速插秧機(jī)構(gòu)的“海豚形”軌跡進(jìn)行計(jì)算，在全局坐標(biāo)系內(nèi)給定控制軌跡整體形狀的若干型值點(diǎn)(表1)，通過三次非均勻B樣條擬合求得軌跡曲線如圖4a所示。綜合軌跡在全局坐標(biāo)系內(nèi)的范圍和輪系中心點(diǎn)的范圍，選取(-80 mm, -30 mm)—(20 mm, 50 mm)為解析區(qū)域進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如圖4b所示。

表1 “海豚形”軌跡型值點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 Dolphin-shaped trajectory point coordinates mm

圖4b中桿長La曲線在解析區(qū)域內(nèi)漸變式分布，桿長隨輪系中心由上到下逐漸減?。挥捎谲壽E平面形狀較為復(fù)雜，形成該軌跡的輪系齒輪是非圓齒輪，輪系中心點(diǎn)在不同位置時(shí)齒輪節(jié)曲線凸性值有很大差別，齒輪節(jié)曲線凸性值等高線在解析區(qū)域內(nèi)分布不均勻，解析區(qū)域從上到下齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度迅速增長；桿長比曲線在解析區(qū)域內(nèi)從右上角向左下角逐漸增大。在輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，根據(jù)齒輪節(jié)曲線形狀和桿長條件的設(shè)計(jì)要求，在所需解析區(qū)域內(nèi)尋找約束條件下的最優(yōu)解[20-21]。

圖4 “海豚形”軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖Fig.4 Parameter information diagram of single planetary gear train mechanism with dolphin-shaped trajectory

(2)“腰子形”軌跡

對高速插秧機(jī)構(gòu)的另一種移栽軌跡“腰子形”軌跡進(jìn)行計(jì)算。在全局坐標(biāo)系內(nèi)給定控制軌跡整體形狀的若干型值點(diǎn)(表2)，通過三次非均勻B樣條擬合求得軌跡曲線如圖5a所示。綜合軌跡在全局坐標(biāo)系內(nèi)的范圍和輪系中心點(diǎn)的范圍，選取(-50 mm, -30 mm)—(50 mm, 50 mm)為解析區(qū)域進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如圖5b所示。

表2 “腰子形”軌跡型值點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 Porcine lumbar trajectory point coordinates mm

由計(jì)算結(jié)果可知，“腰子形”軌跡和“海豚形”軌跡機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖類似，桿長La、桿長比、非圓齒輪節(jié)曲線呈漸變式分布，桿長La隨輪系中心由右上到左下逐漸減??；由于軌跡形狀與圓軌跡類似，較為簡單。輪系中心點(diǎn)在不同位置時(shí)齒輪節(jié)曲線凸性值差別較小，齒輪節(jié)曲線凸性值等高線在解析區(qū)域內(nèi)分布不均勻，解析區(qū)域從左上到右下齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度變大；桿長比曲線在解析區(qū)域內(nèi)從右向左逐漸增大。在輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，根據(jù)齒輪節(jié)曲線形狀和桿長條件的設(shè)計(jì)要求，在所需解析區(qū)域內(nèi)尋找約束條件下的最優(yōu)解。

圖5 “腰子形”軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖Fig.5 Parameter information diagram of single planetary gear train mechanism with porcine lumbar trajectory

2.2.2水稻缽苗移栽機(jī)構(gòu)軌跡計(jì)算與分析

(1)“8”字形軌跡

夾苗式行星輪系水稻缽苗移栽機(jī)構(gòu)的移栽軌跡為形狀不規(guī)則且較為復(fù)雜的“8”字形軌跡，取若干型值點(diǎn)如表3所示，利用三次非均勻B樣條擬合出“8”字形軌跡曲線如圖6a所示。根據(jù)實(shí)際需要，選取(-30 mm, -30 mm)—(50 mm, 50 mm)為解析區(qū)域，求解結(jié)果如圖6b所示。

表3 “8”字形軌跡型值點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 “8” shaped trajectory point coordinates mm

圖6 “8”字形軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖Fig.6 Parameter information diagram of single planetary gear train mechanism with “8” shaped trajectory

從圖6b可以看出，桿長La曲線在解析區(qū)域內(nèi)呈漸變式分布，桿長隨輪系中心位置的變化而變化；因?yàn)檐壽E平面形狀較為復(fù)雜，形成該軌跡的輪系齒輪節(jié)曲線凸性值比較小即齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹，且在解析區(qū)域內(nèi)分布不均勻，解析區(qū)域從下到上齒輪節(jié)曲線內(nèi)凹程度迅速增長；桿長比曲線在解析區(qū)域內(nèi)從右下角向左上角逐漸增大。在輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，根據(jù)設(shè)計(jì)要求的約束條件在解析區(qū)域內(nèi)尋找最優(yōu)解。

(2)“鷹嘴形”軌跡

夾土式行星輪系水稻缽苗移栽機(jī)構(gòu)的移栽軌跡為鷹嘴形，取若干型值點(diǎn)如表4所示，利用三次非均勻B樣條擬合形成軌跡曲線如圖7a所示。根據(jù)實(shí)際需要，選取(-50 mm, -30 mm)—(30 mm, 20 mm)為解析區(qū)域，求解結(jié)果如圖7b所示。

表4 “鷹嘴形”軌跡型值點(diǎn)坐標(biāo)Tab.4 Eagle-nosed trajectory point coordinates mm

由圖7b可知，桿長La曲線在解析區(qū)域內(nèi)漸變式分布，桿長隨輪系中心位置的變化而變化，在解析區(qū)域內(nèi)由上到下逐漸變大；由于鷹嘴形軌跡形狀較為復(fù)雜，形成該軌跡的輪系齒輪節(jié)曲線凸性值比較小，解析區(qū)域內(nèi)輪系中心點(diǎn)在不同位置時(shí)齒輪節(jié)曲線形狀差異較大且內(nèi)凹較為嚴(yán)重；桿長比曲線在解析區(qū)域內(nèi)從右向左逐漸增大。

從上述實(shí)現(xiàn)4種軌跡的單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖可以看出，軌跡形狀與圓形軌跡越相近，則在解析區(qū)域內(nèi)齒輪節(jié)曲線凸性值越接近2，非圓齒輪工作性能越好。如“腰子形”軌跡齒輪節(jié)曲線凸性值接近圓齒輪凸性值，近似全凸形齒輪，工作性能優(yōu)異?！?”字形、“海豚形”、“鷹嘴形”軌跡形狀較復(fù)雜，形成這類軌跡的輪系在解析區(qū)域內(nèi)齒輪節(jié)曲線凸性值差異較大，齒廓存在一定程度的根切。圓軌跡的輪系機(jī)構(gòu)的桿長La與輪系中心位置無關(guān)，只與圓軌跡的半徑有關(guān)；非圓軌跡的桿長La與輪系中心和軌跡的相對位置有關(guān)。桿長比與輪系中心在全局坐標(biāo)系內(nèi)的位置相關(guān)。在設(shè)計(jì)過程中根據(jù)解析區(qū)域內(nèi)輪系機(jī)構(gòu)的參數(shù)信息選取輪系中心避免了盲目性，可以達(dá)到機(jī)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)化。

圖7 鷹嘴形軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖Fig.7 Parameter information diagram of single planetary gear train mechanism with eagle-nosed trajectory

圖8 不同輪系中心位置對應(yīng)機(jī)構(gòu)齒輪節(jié)曲線組合Fig.8 Combination of gear pitch curves for each position of planetary gear train mechanism center

2.3 參數(shù)信息圖的分析

分析圖6b所示“8”字形軌跡單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖，在解析區(qū)域內(nèi)分別選取輪系中心點(diǎn)為(30 mm, -28 mm)、(25 mm, -25 mm)、(10 mm, -10 mm)、(0, 0)、(5 mm, 5 mm)、(10 mm, 10 mm)，計(jì)算形成該軌跡的輪系機(jī)構(gòu)總傳動(dòng)比，并對總傳動(dòng)比進(jìn)行兩級(jí)分配，得到傳動(dòng)非圓齒輪節(jié)曲線形狀如圖8所示。對比圖8a～8f可知，輪系中心位置對非圓齒輪節(jié)曲線形狀有影響。

La為行星輪中心到太陽輪中心的距離，反映了行星架的尺寸。Lb為運(yùn)動(dòng)臂的長度。在設(shè)計(jì)過程中，設(shè)計(jì)不同用途的單行星架輪系機(jī)構(gòu)時(shí)，由于對尺寸的要求不同，首先在La目標(biāo)區(qū)域內(nèi)確定輪系機(jī)構(gòu)的參數(shù)，可以避免因行星架尺寸不滿足設(shè)計(jì)要求而引起的對定軌跡的多次反求計(jì)算。單行星架行星輪系機(jī)構(gòu)一般采用雙運(yùn)動(dòng)臂布局用以提高工作效率，結(jié)構(gòu)簡圖如圖9所示。O3G1D1、O5G2D2為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)臂，輪系周轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，雙臂做擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)桿長比值過大時(shí)，在周轉(zhuǎn)的過程中運(yùn)動(dòng)臂G1D1會(huì)與G2D2發(fā)生干涉。當(dāng)桿長比大于2時(shí)即O3D1的長度大于O3O5時(shí)，G1D1在行星架周轉(zhuǎn)過程做擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，會(huì)與行星齒輪軸O5發(fā)生干涉，影響輪系機(jī)構(gòu)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。故設(shè)計(jì)輪系機(jī)構(gòu)時(shí)桿長比要小于2。不同功能的單行星架輪系機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)臂有不同的結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)臂固定在行星架的初始角，所需移栽臂的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)影響周轉(zhuǎn)過程中雙臂的干涉問題。設(shè)計(jì)者根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)需要考慮G1H1的長度，運(yùn)動(dòng)臂初始安裝角的大小和運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀，初步確定桿長比范圍求解最優(yōu)機(jī)構(gòu)參數(shù)。避免在設(shè)計(jì)過程中因桿長比過大而產(chǎn)生干涉；或因桿長比過小導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)臂結(jié)構(gòu)尺寸偏小，從而增加了零件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的難度。本文通過計(jì)算解析區(qū)域內(nèi)單行星架輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖使設(shè)計(jì)者明確機(jī)構(gòu)的變化趨勢，為機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)參數(shù)的選取提供參考[22-23]。

圖9 雙臂回轉(zhuǎn)示意圖Fig.9 Schematic of double transplanting arm rotation

3 應(yīng)用實(shí)例

根據(jù)上述機(jī)構(gòu)參數(shù)，進(jìn)行移栽機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、樣機(jī)加工[24]與試驗(yàn)驗(yàn)證。將移栽機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)的仿真軌跡(圖11)、試驗(yàn)軌跡(圖12)與理論軌跡(圖7a)作對比，可以看出仿真軌跡、試驗(yàn)軌跡與理論軌跡基本一致，驗(yàn)證了移栽機(jī)構(gòu)物理樣機(jī)的正確性，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的基于節(jié)曲線凸性判別的行星輪系移栽機(jī)構(gòu)求解與分析方法的正確性。

圖10 兩級(jí)非圓齒輪傳動(dòng)節(jié)曲線Fig.10 Pitch curves of two stage non-circular gear transmission

圖11 仿真軌跡Fig.11 Simulation trajectory

圖12 試驗(yàn)軌跡Fig.12 Test trajectory

4 結(jié)論

(1)提出了基于節(jié)曲線凸性判別的行星輪系移栽機(jī)構(gòu)求解與分析方法，得到了解析區(qū)域內(nèi)單行星架輪系中心在各位置時(shí)的桿長La、桿長比、齒輪節(jié)曲線凸性值。

(2)通過輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖的方式為設(shè)計(jì)者提供參考，避免了正向設(shè)計(jì)過程中軌跡的不確定性和反向設(shè)計(jì)過程中輪系中心位置選取的盲目性，有利于設(shè)計(jì)者明確機(jī)構(gòu)參數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)的變化趨勢。

(3)對水稻移栽的幾種常用軌跡進(jìn)行計(jì)算分析，任選一種移栽軌跡進(jìn)行輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)。根據(jù)輪系機(jī)構(gòu)參數(shù)信息圖選取輪系中心，并進(jìn)行虛擬仿真與樣機(jī)試驗(yàn)。進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的基于節(jié)曲線凸性判別的行星輪系移栽機(jī)構(gòu)求解與分析方法的正確性。該方法簡化了輪系機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化過程，簡單實(shí)用。