顧 俊

反證法是一種常用的間接證明的方法．法國數(shù)學家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導致矛盾．”

用反證法解題的過程包括反設(shè)、歸謬、存真三個步驟，即假設(shè)命題的結(jié)論不成立（假定原結(jié)論的反面為真）；從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．其中“矛盾”包括了推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾或與已知條件、臨時假定矛盾，以及自相矛盾等各種情形．

使用反證法時要注意適用范圍、表達步驟，下面我們分三個層次，分別從反證法中的表達形式（是什么）、歸謬方向（怎么做）、方法原理（為什么）這三個角度對反證法做些探討．

一、證法之初體驗——表達形式

王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道邊李樹多子折枝，諸兒競走取之，惟戎不動．人問之，答曰：“樹在道邊而多子，此必苦李．”取之信然．

同學們，你們知道王戎的聰明之處在哪嗎？

王戎的聰明之處在于用了反證法的思維看待這個問題：

已知：道旁李樹多子折枝．求證：李子是苦的．

證明：（反證法）假設(shè)李子不是苦的，那么一定早被小孩摘光了，但現(xiàn)在樹上仍有這么多李子，矛盾．所以道旁的李子是苦的．

不摘李子，而想要直接說明李子是苦的這個事實，我們是不能輕易找到一個簡明的敘述方法的．數(shù)學語言必須簡潔明確，采用反證法的敘述思路，條理清晰，一目了然．在王戎論證的過程中，依據(jù)了一個事實：李子不苦的話，就一定被小孩子們摘光了．而在數(shù)學中，我們必須從假設(shè)出發(fā)，用正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果．

下面我們來看看幾個數(shù)學中的例子：

例1已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求證：a+b≥0．

證明假設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，由于函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，從而f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），兩式相加有f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），與已知條件f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以a+b≥0．

例2已知：兩個不同的平面α和β，在平面α內(nèi)有兩條相交直線a，b（交點為P）和平面β平行，求證：平面α∥平面β．

證明假設(shè)平面α與平面β不平行，則平面α與平面β相交，記交線為l．

因為a平行于平面β，a在平面α內(nèi)，平面α與平面β相交于l，所以a∥l．同理b∥l．則過l外一點有兩條相交直線與l平行，這與公理“過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行”矛盾，所以平面α∥平面β．

以上的數(shù)學例子，直接證明比較困難，而借助反證法得以順利解決．由于條件與結(jié)論相對簡單，根據(jù)反證法的步驟，同學們能輕松從反設(shè)導出矛盾．那么在處理一些比較復(fù)雜的問題時，該如何從反設(shè)出發(fā)，導出矛盾呢？我們繼續(xù)往下看：

二、證法之細思量——歸謬方向

古希臘思想家亞里士多德曾經(jīng)斷言：物體從高空落下的快慢同物體的重量成正比，重者下落快，輕者下落慢．1800多年來，人們都把這個表面上看起來確實“正確”的論斷當作真理而信守不移．直到16世紀，伽利略發(fā)現(xiàn)了這一理論在邏輯上的矛盾，并通過“比薩斜塔試驗”用事實進行了證明．同學們，你們知道伽利略發(fā)現(xiàn)的邏輯上的矛盾是什么嗎？

邏輯上的矛盾：假定較重的物體下落較快．不妨設(shè)甲物體比乙物體重，我們把二者捆在一起，讓它們自由下落，一方面，根據(jù)假定，因為它們比甲物體更重，所以應(yīng)比甲物體單獨下落快；另一方面，兩個重、輕不同物體捆在一起下落，重的要快，輕的要慢，快的被慢的拖拽，故它們下落速度比甲物體單獨下落慢．前后矛盾，可見假定較重的物體下落較快是錯誤的．

在使用反證法時，要從反設(shè)出發(fā)，導出矛盾，不一定要面面俱到，只要能經(jīng)過正確的邏輯推理，得到一處矛盾即可判定反設(shè)不正確．同學們來找找伽利略發(fā)現(xiàn)的邏輯上的矛盾還可能是什么，并說一說“物體從高空落下，輕者下落快，重者下落慢”這句話邏輯上的矛盾．

例3求證：函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

證明一假設(shè)T是函數(shù)y=sinx的周期，且0＜T＜2π，則對任意實數(shù)x都有

sin（x+T）=sinx成立．令x=0得sinT=0，即T=kπ，k∈Z．

又因為0＜T＜2π，故T=π，從而對任意實數(shù)x都有sin（x+π）=sinx，

所以，函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

證明二 假設(shè)T是函數(shù)y=sinx的周期，且0＜T＜2π，則對任意實數(shù)x都有sin（x+T）=sinx成 立．令得，即cosT=1，從而T=2kπ，k∈Z，這與0＜T＜2π矛盾．所以，函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

例4設(shè)f（x）=x2+ax+b，求證：中至少有一個不小于．

由①×（-1）+②可得-1＜3+a＜1，所以-4＜a＜-2；

由②×（-1）+③可得-1＜5+a＜1，所以-6＜a＜-4，a的范圍前后矛盾．

命題結(jié)論中含有“否定形式”“最大（最小）”“至多（至少）”時，常用反證法．歸謬方向可以是由反設(shè)推出的結(jié)論與反設(shè)本身矛盾（如例3證明二），也可以是導出的結(jié)論間自相矛盾（如例3證明一、例4），因此，在學習過程中，同學們要細分析、多體悟，方能掌握反證法的精髓．

最后讓我們來了解一下反證法能成功的秘密所在．

三、證法之深探究——方法原理

古代有一個迷信神的國家，死囚在正式處決之前，還有一個由神來決定生死的程序．辦法是：由專職獄吏在兩張小紙條上分別寫上“活”“死”兩字，密封后交專人保管．第二天，由死囚抽取一張，若抽到活字，即可免死．有一次，一個死囚的仇人買通了寫紙條的獄吏，在兩張紙條上都寫上死字．湊巧這死囚預(yù)先從一位朋友那里得到了這一消息，他心中大喜．第二天，他抽紙條后，死罪赦免，終于得救了．這是怎么回事呢？

分析 真相原來是這樣的：主持抽簽獄吏宣布抽簽辦法后，死囚飛快抽了一張紙條，立即塞進嘴里嚼爛吞入腹中，獄吏慌忙斥問死囚：“你抽得的紙條上，寫的是死字還是活字？快說！”死囚答道：“紙條我吞了，表示是死是活我都認了．究竟神要我死還是要我活，您看看剩下的紙條上寫的什么字就清楚了．”在場的見證人急于知道結(jié)果，齊聲說：“對”！因剩下的紙條上寫的是死字，證明死囚抽的是活字，死囚獲赦了．巧用矛盾律和排中律，活了一條命．

反證法的依據(jù)是邏輯思維規(guī)律中的矛盾律和排中律．矛盾律：在同一個思維過程中，兩個互相矛盾（包括互相否定）的命題不能同時都是真的，其中必有一個是假的；排中律：兩個互相否定的命題不能同時都是假的，其中必有一個是真的．

牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦唬币话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者直接證明時思路難尋、表達晦澀，而否定結(jié)論則更明顯（即為正難則反）．

同學們在學習中勤思考、多總結(jié)，方能領(lǐng)悟反證法的精妙所在，使用起來才更得心應(yīng)手．