鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué)(212143) 徐繼林

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強解題訓(xùn)練.”這一理念已經(jīng)深入人心,我國的基礎(chǔ)教育也非常重視解題教學(xué),變式訓(xùn)練已經(jīng)成為中國數(shù)學(xué)教育的一大特色.然而,面對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出,我們的解題教學(xué)暴露出缺乏新鮮血液,缺少創(chuàng)造性,缺失文化底蘊等等問題.這也一直是造成我們中學(xué)數(shù)學(xué)課堂活力不足、學(xué)生普遍感覺枯燥無味的最大原因.結(jié)合筆者的教學(xué)實際,從平時我們教材中經(jīng)常碰到的一些非常平凡而樸實的習(xí)題中,就如何創(chuàng)造性的開展解題教學(xué),分享我的一些做法.

一、挖掘蘊藏生活經(jīng)驗的好題,體現(xiàn)趣味性

科學(xué)來源于生活,中學(xué)數(shù)學(xué)也不例外.高中數(shù)學(xué)諸如不等式、數(shù)列、概率知識原理等等都來源于生活,從不同側(cè)面反映實際生活.我們?nèi)裟茉谶m當(dāng)時候挖掘蘊藏生活經(jīng)驗的好題,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性,這樣的解題教學(xué)能夠吸引學(xué)生,富有創(chuàng)造性,教學(xué)是高效的.

案例1已知a＞b＞0,m＞0,試用分析法證明：.(蘇教版選修2-2第105頁第11題)

分析教材上的一道課后習(xí)題,要求用分析法證明,當(dāng)然也是最優(yōu)解法.然而我們?nèi)绻痛私Y(jié)束,只能是一般的解題教學(xué),本題的教學(xué)價值沒有得到充分開發(fā).教學(xué)效果不會太大,沒有達到思維訓(xùn)練的目的.實際上,本題蘊含著豐富的教學(xué)價值,比如我們?nèi)裟芤龑?dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實際巧妙聯(lián)想,便可得到上述不等式蘊含著糖水加糖更甜的很有意思的生活經(jīng)驗.

當(dāng)然,本題除了分析法,還有作差法,如果從函數(shù)角度考慮,我們還可以啟發(fā)學(xué)生,靈活變換,構(gòu)造函數(shù)來證明,也很富有意趣,更能訓(xùn)練學(xué)生思維.

證明令因為b-a＜0,所以f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù).又m＞0,所以f(m)＞f(0),即.

二、探究欣賞一題多解,體現(xiàn)思維靈活性

對于公式的應(yīng)用教學(xué),靈活運用公式是學(xué)生的思維高地,很多學(xué)生雖然能記住公式,可一旦出現(xiàn)變式題,學(xué)生卻是很難掌握其精髓的.

筆者在三角函數(shù)的教學(xué)中,總是感想：學(xué)生怎么就記不住三角變換那幾個公式?同一道題變換了一個符號或是一個數(shù)據(jù)或者某個結(jié)構(gòu),學(xué)生怎么就不會運用三角公式了呢?是學(xué)生智商不夠?我想這是不太負責(zé)任的推辭,這說明我們是不是沒有講透公式?生成公式的教學(xué)是定理公式教學(xué)的第一重要環(huán)節(jié),即使?jié)饽夭室膊蛔銥檫^,另外,還有一個直接關(guān)系到學(xué)生能否靈活運用公式的環(huán)節(jié),即探究典型例題,讓學(xué)生內(nèi)化公式不斷反思的環(huán)節(jié).

案例2求值.(蘇教版必修 4第123頁第2(4)題)

師：你能從不同角度用多種方法求解此題嗎?

法一：從函數(shù)名出發(fā),化切為弦,逆向運用兩角差的正切公式,原式=

法二：從角度出發(fā),湊配特殊角,逆向運用兩角和與差的正弦公式,原式=.

法三：從角度出發(fā),湊配特殊角,正向運用兩角差的正余弦公式由 sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-

法四：從結(jié)構(gòu)出發(fā),逆用平方差公式,靈活運用正余弦的二倍角公式,原式=.

法五：從角度出發(fā),上下平方,靈活運用平方關(guān)系和二倍角公式,原式=.而sin15°-cos15°＜0,sin15°+cos15°＞0,故原式=.

評析這道題看起來真的很普通,大部分教師會用方法一講完了事,可這對學(xué)生掌握公式形成靈活運用公式的能力作用很有限.深入探究后,我們不難發(fā)現(xiàn)這道題的五種解法幾乎能用遍所有三角變換公式(兩角和與差的正余弦正切公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式),包含三角章節(jié)解題中全部三個思路(化角、化函數(shù)名、化結(jié)構(gòu)),囊括所有常見的技巧(1的妙用、平方、湊配角度、公式逆用)以及幾乎所有常用特殊角,這對訓(xùn)練學(xué)生思維、復(fù)習(xí)和內(nèi)化公式的作用可想而知,對學(xué)生靈活掌握公式、建構(gòu)知識系統(tǒng)和形成綜合能力大有裨益!

三、揭開命題背后規(guī)律,體現(xiàn)思維深刻性

一道小小的習(xí)題,表面上看,似乎真的沒什么價值,可背后可能就隱藏著某個一般性規(guī)律或者結(jié)論.引導(dǎo)學(xué)生探索習(xí)題背后的一般原理,是訓(xùn)練學(xué)生思維深刻性的有效手段,這正是小題也有大價值.

案例3求lg32+lg35+3lg2lg5的值.

解lg32+lg35+3lg2lg5=(lg2+lg5)(lg22+lg25-lg2lg5)+3lg2lg5=(lg2+lg5)2-3lg2lg5+3lg2lg5=1

評析本題只需幾次運用對數(shù)運算的常見結(jié)論lg2+lg5=lg10=1即可化簡求解,不能算難題,考察的主要知識點就是常用對數(shù)的化簡求值.倘若就此結(jié)束,這道小題也就完成了它的使命.然而,我們從代數(shù)式的運算角度出發(fā),發(fā)現(xiàn)了更一般的結(jié)論,這就是小題中蘊含著的大價值.

事實上,由(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b),不難發(fā)現(xiàn),只要a+b=1,就有a3+b3+3ab=1.即由此,得到一個含有一般性結(jié)論的變式題：

變式1若a+b=1,求a3+b3+3ab的值.

變式2若a+b=-1,求a3+b3-3ab的值.

這一案例對于教師命題也有一定的啟發(fā),有命制試卷經(jīng)歷的老師可能都這樣的：從恒等式中尋找靈感!

四、推廣探究一般情況,體現(xiàn)思維抽象性

案例4已知x,y為正數(shù),求的最大值.

評析這是鎮(zhèn)江市高三期末一道填空題,然而正是這道小題卻極具研究價值.

筆者在文[1]從解題方法的視角,根據(jù)學(xué)生解題活動的思維沖突不同,給出了本題四種簡便有效的方法,并指出了如何具體運用基本不等式來求解這類函數(shù)的最值.這是從解題方法角度上發(fā)現(xiàn)的大價值.

另外,經(jīng)過筆者進一步研究,發(fā)現(xiàn)本題數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)過于特殊(分母系數(shù)正好是對稱輪換的),筆者將原題進行了推廣探究,發(fā)現(xiàn)了一組優(yōu)美而又一般化結(jié)論.如果進行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計,這正是訓(xùn)練學(xué)生思維抽象性的絕好素材.

變式1已知x,y為正數(shù),m≥1,求二元函數(shù)的最大值.

變式2已知x,y為正數(shù),m,n≥1,求二元函數(shù)的最大值.

變式3已知x,y,m,n為正數(shù),討論二元函數(shù)f(x,y)=的最值.

變式4已知x,y,m,n,p,q為正數(shù),討論二元函數(shù)的最值.

變式5已知x,y,m,n,p,q,a,b為正數(shù),討論二元函數(shù)的最值.

五、嘗試特殊思想,培養(yǎng)化解難點的素養(yǎng)

案例5在△ACB中,D是BC延長線上的點,CB=3CD,E是線段DC上的任意一點,且求實數(shù)λ的范圍.

評析本題如果運用建系坐標法,會面臨一個難處,沒有直角不太好建立直角坐標系,但是我們發(fā)現(xiàn),結(jié)論對△ACB的形狀并沒有什么要求,也就是△ACB可以是任何的三角形,這為我們運用特殊法提供了技術(shù)保障,假設(shè)△ACB是等腰直角三角形,便可化解難處,順利建系運用坐標法解決本題.

案例6設(shè)P為橢圓長軸上的一個動點,過點P斜率為k的直線交橢圓于A,B兩點,若|PA|2+|PB|2的值僅僅依賴于k而與P無關(guān),則k的值是_____．

評析常規(guī)方法解答此題,運算過于復(fù)雜,很難在短時間內(nèi)得到正確答案,即使花上十多分鐘算出了正確結(jié)果,這在高考中也是不允許的,而特殊思想就能大顯身手.本題中|PA|2+|PB|2的值僅僅依賴于k而與P無關(guān),我們可以讓點P特殊化,分別在坐標原點和長軸的一個端點,采用“算兩次”的方法,就可以求出斜率為k．如此,不難發(fā)現(xiàn)本題斜率k只會與橢圓方程有關(guān),即我們可以得到這樣的一般性結(jié)論：

設(shè)P為橢圓長軸上的一個動點,過點P斜率為k的直線交橢圓于A,B兩點,若|PA|2+|PB|2的值僅僅依賴于k而與P無關(guān),則．

所以,解題教學(xué)不能按部就班,容易造成思維定式,嘗試特殊思想,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,培養(yǎng)克服難點的核心素養(yǎng),從平時遇到的小題中也能發(fā)現(xiàn)大價值,我想,這正是開展創(chuàng)造性解題教學(xué)的一個重要方面.

六、沐浴歷史精華,體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價值

案例7(2011湖北高考理科A型卷第13題)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共為3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為__升.

背景介紹《九章算術(shù)》是我國一部流傳至今的古代數(shù)學(xué)典籍,據(jù)考證,大約成書于東漢初期,作者姓名不詳.這部中國古典數(shù)學(xué)最重要的經(jīng)典著作,總結(jié)了我國先秦至西漢的數(shù)學(xué)成果,形成了以問題為中心的算法體系.《九章算術(shù)》是一部以問題集形式編寫的算書,共有246個問題,按不同算法類型分為九章.《九章算術(shù)》是幾代人中國人共同勞動的結(jié)晶,它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成.后世的數(shù)學(xué)家,大都是從《九章算術(shù)》開始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識的.該書的一些知識還傳播至古代印度和阿拉伯,甚至遠至歐洲,因此,該書不僅是我國傳統(tǒng)文化的一部分,更是世界數(shù)學(xué)寶庫中的一支奇葩.

賞析案例1中“竹九節(jié)”問題出自《九章算術(shù)》第三章“衰分”有關(guān)求解等差數(shù)列問題.不過,原書中采用的是比例方法.這兩個題實際上是考查這樣一個數(shù)列問題：已知一個等差數(shù)列共9項,前4項的和是3,后3項的和是4,求第5項是多少?然而命題題者并沒有這樣出題,而是賦予了其深刻的歷史文化內(nèi)涵,進行了別具匠心的包裝,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值,使高考數(shù)學(xué)試卷增色不少.這樣一來,本題考查的就不僅僅是數(shù)學(xué)本身的知識(等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容),更重要的是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力即運用數(shù)學(xué)的能力,這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面,而這正是如今高中數(shù)學(xué)教育所缺失的,近幾年的湖北高考卷為我們改革突破提供了參考和建議.

七、結(jié)束語

一些很小很小的習(xí)題,平凡而簡單,如果我一帶而過,也就沒有精彩的探究,也就不會發(fā)現(xiàn)蘊含其中的大價值.而如何創(chuàng)造性的開展解題教學(xué)?從上述案例中,我們可以得到這樣的啟發(fā)：就是從這些所謂的小題中,發(fā)現(xiàn)講解的妙法,找到開發(fā)小題的價值依托,選準某個方向,深入挖掘,肯定別有洞天!

讓我們的解題教學(xué)充滿智慧,充滿樂趣,充滿思想的火花,我想這也是高效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)方向.從小題的探究過程中,我們關(guān)注教學(xué)中的每一個細節(jié),你會發(fā)現(xiàn)蘊藏其中的精彩,用心思考,小題也有大價值!